有关高数分部积分法的问题
有关高数分部积分法的问题
分布积分法的公式怎么记忆啊，我总是分不清哪个是u，哪个是v，求高手支下招啊~
其实，你所给的第一个等式就是第二个等式的变形，两者是一回事！
∫uv'dx=∫ud(v)=u*v-∫vd(u)=u*v-∫v*u'dx（因为u，v都是关于x的函数）
至于如何来确定u，v，要视具体的题目而定（不同的方法对解题的难以程度有影响）。
笼统地说，就是按照第二个等式：∫udv=u*v-∫vdu来确定u，v。
【d符号之前为u，其后为v】
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相关问答：
就是uv的乘积，减去前面部分vu调换地方高等数学(一)学习笔记_百度文库
高等数学(一)学习笔记
6、函数的极限
(1)、x→x0时的极限
定义：如果对于任意给定的正数ε(不论它多幺小)，总存在正数δ，使得对于|x一x0|&δ时的一切x,
对应的函数值都满足不等式|f(x)-A|&ε都成立，那幺就称A是函数f(x)的极限，或者称函数f(x)收敛于A,记为limf(x)=A,或f(x)→A(x→x0).
定理一：如果lim
f(x)=A，而且A&0(或A&0),那幺就存在着点x0的某一去心邻域，当x在该邻
f(x)=A,那幺A≥0(或A≤0).
域时，就有f(x)&0(或f(x)&0).
定理二：如果在点x0的某一去心邻域内f(x)≥0(或f(x≤0),而且lim可证明：f(x0-0)=f(x0+0)为lim
f(x)=A存在的充要条件。
(2)、x→∞时的极限
定义：如果对于任意给定的正数ε(不论它多幺小)，总存在正数X，使得对于|x|&X时的一切x,
对应的函数值都满足不等式|f(x)-A|&ε都成立，那幺就称A是函数f(x)的极限，或者称函数f(x)收敛于A,记为limf(x)=A,或f(x)→A(x→∞).
7、无穷小和无穷大
(1)、无穷小，极限为0，则称函数为无穷小(当x→
x0或x→∞).
x0或x→∞)，具有极限
A、定理一(无穷小与函数极限的关系)：在自变量的同一变化过程中(x→
的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之，如果一函数可表示为一常数和无穷小之和，则这常数即为这函数的极限。
B、运算法则：I，有限个无穷小的和也是无穷小。II，有界函数与无穷小的积是无穷小(常数与无穷小的积是无穷小;有限个无穷小的积也是无穷小)C、无穷小的比较：
=0,就说β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α);βα
II、如果lim=∞,就说β是比α低阶的无穷小。
III、如果lim=c≠0,就说β与α是同阶的无穷小。IV、如果lim=1,就说β与α是等价的无
穷小，记作α~β(技巧：求两个无穷小之比的极限时，可用等价的无穷小来代替简化。)
I、如果lim
(2)、无穷大，极限为∞，则称函数为无穷大(当x→
x0或x→∞).
(3)、无穷大与无穷小的关系：互为倒数(f(x)≠0)8、极限的运算法则
(1)、如果limf(x)=A,limg(x)=B,则存在，且limg(x)。
(2)、如果limf(x)=A,limg(x)=B,则lim[f(x).g(x)]存在，且lim[f(x).g(x)]=A.B=limf(x).limg(x)。(特例：如果limf(x)存在，而n是正整数，则lim[f(x)]=[limf(x)]。
(3)、如果limf(x)=A,limg(x)=B,且B≠0，则lim[f(x)/g(x)]存在，且lim[f(x)/g(x)]=A/B=limf(x)/limg(x)。(4)、如果?(x)≥φ(x),而lim?(x)=a,limφ(x)=b,那幺，a≥b.9、极限存在准则
準则一：如果數列xn、yn及zn滿足下列條件：(1)、
yn≤xn≤zn(n=1，2，3…),(2)、
limyn=a,limzn=a,那麼數列xn的極限存在，且limxn=a。
推論：如果(1)，當x屬於x0的r鄰域(或|x|&M)時，有g(x)≤f(x)≤h(x),(2),limg(x)=A,limh(x)=A,那麼limf(x)存在且为A。(夾逼準則)準則二：單調有界數列必有極限。兩个重要極限公式：lim10、函數的連續性概念Mark_Ma
=1；lim(1+)n=e
x→0n→∞xn
定義：設函數y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義，如果函數f(x)當x→
x0時的極限存在且等於它在x0點
處的函數值f(x0)，即limf(x)=f(x0),那麼就稱函數f(x)在點x0連續。(也可用?x-?y或ε-δ定義)
連續和右連續的概念。間斷點類型：
(I)、第一類間斷點：(A)、可去間斷點，即左、右極限相等。(B)、跳躍間斷點，即左、右極限不相等。(II)、第二類間斷點：(A)、無窮間斷點，即極限为∞。(B)、振蕩間斷點。
連續函數的和、乘積、商均連續(分母不为0)反函數的連續性：
若原函數在某區間上單值、單增(減)且連續，則其反函數在對應區間上也單值、單增(減)且連續。複合函數極限与連續的關係：
若lim?(x)=a,而函數y=f(u)在u=a處連續，那麼複合函數極限存在，limf[?(x)]=f(a).
若函數u=?(x)在x=x0處連續，且?(x0)=u0，而函數y=f(u)在u=u0處連續，那麼複合函數,y=f[?(x)]
在x0也是連續的。
基本初等函數的連續性：在它們定義域內都是連續的。
初等函數的連續性：在它們定義區間內都是連續的。(提供了求極限的一個方法)閉區間上連續函數的性質：
(I)、最大值和最小值定理：在閉區間上連續的函數一定有最大值和最小值。而且也一定有界。(II)、零點定理：閉區間上連續的函數，若端點值异號，那麼在這開區間內，至少有一個零值點。(III)、介值定理：閉區間上連續的函數，若端點值为A和B，那麼在這開區間內，至少有一個點使得函數值介于A和B之間。(推論：閉區間上連續的函數必取得介于最大值M和最小值m之間的任何值。)
二、一元函數微分學
(一)、導數与微分
1、導數定義：設y=f(x)在點x0的某個領域內有定義，且當自變量x在x0處取得增量n(點x0+n仍在該領域內)時，相應的函數y取得增量m=f(x0+n)一f(x0)；如果m与n之比當n趨向于0時的極限存在，則稱函數y=f(x)在點x0處可導，并稱這個極限为函數y=f(x)在點x0處的導數，記为y’|x=x0,即：
f(x0+n)-f(x0)mdydf(x)=lim,或f’(x0),|x=x0,|x=x0
n→0nn→0ndxdx
f(x+n)-f(x)
2、導函數定義：f’(x)=lim(注：在某點的極限過程中，x是常量，n是變量)
3、可導的充要條件：I、在x0處，左導數f’_(x0)和右導數f’+(x0)存在且相等。II、在開區間(a,b)
y’|x=x0=lim
內任意點都可導，且右導數f’+(a)和左導數f’_(b)存在，則f(x)在[a,b]上可導。4、切線方程：y-y0=f'(x0)(x-x0)
法線方程：y-
(x-x0)f'(x0)
5、可導与連續的關係：可導一定連續，連續不一定可導。
(無需換元)
7、複合函數的求導：複合前之各函數在其有效的定義域內可導，則複合函數也可導，且=
6、反函數的導數：反函數的導數等於直接函數導數的倒數。即
f'(x)=
8、高階導數：導數的導數。(需熟記基本初等函數的一階導數和部分的n階導數，見附件。)9、隱函數的導數求法：一般地，兩邊都對x求導即可。10、參數方程函數的導數：一般地，
=(/()(相關變化率：dy/dt和dx/dt)dxdtdt
11、微分：通俗說，自變量的增量即微分，記为：dy=f’(x)dx
微分不變性：無論u是自變量還是另一變量的可微函數，微分的形式dy=f’(u)du保持不變。微分近似計算公式：f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)(可取x0=0已簡化計算)
(二)、中值定理与導數應用
1、儸爾定理:如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，且在區間端點的函數值相等，即f(a)=f(b),那麼在(a,b)內至少有一點ξ(a&ξ&b),使得該點導數为零，即f’(ξ)=0.
2、拉格朗日中值定理：如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導),那麼在(a,b)內至少有一點ξ(a&ξ&b)，使等式f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)成立。
3、柯西中值定理：如果函數f(x)，F(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導),且F’(x)在(a,b)內的每一點都不为零，那麼在(a,b)內至少有一點ξ(a&ξ&b)，使等式成立
4、儸比塔法則：lim
f(b)-f(a)f'(ξ)
F(b)-F(a)F'(ξ)
f(x)f'(x)0∞
=lim,條件：原式为或,其它部分如：0.∞,∞一∞,00,∞0
0∞F(x)F'(x)
也可適用。但后者不存在，并不表示前者不存在。
5、泰勒中值定理：如果函數f(x)在含有x0的某個開區間(a,b)內具有直到(n+1)階的導數，則當x在(a,b)內時，f(x)可表示为(x-x0)的一個n次多項式与一個余項之和：
f''(x0)fn(x0)2
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(x-x0)+.....(x-x0)n+Rn(x),其中：
f(n+1)(ξ)
Rn(x)=(x-x0)n+1這裡ξ是x0与x之間的某個值。
6、麥克勞林公式：在上式中，令x0=0，并令ξ=θx(0&θ&1),則得本公式。
7、函數單調性判定法：如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導。
(1)、如果在(a,b)內，f’(x)&0,那麼函數f(x)在閉區間[a,b]上單調增加。(2)、如果在(a,b)內，f’(x)&0,那麼函數f(x)在閉區間[a,b]上單調減少。
8、函數的极值：設函數f(x)在區間(a,b)上有定義，x0是(a,b)內的點，在這一點的去心鄰域內，(I)，若f(x)&f(x0),則f(x0)为f(x)的一個极大值；(II),若f(x)&f(x0),則f(x0)为f(x)的一個极小值。定理1、极值點一定是駐點(導數为0的點)或連續點(若該點不可導)，駐點不一定是极值點(如y=x3中，x=0點僅是駐點)
定理2(第一充分)、設f(x)在點x0的一個鄰域內可導且f’(x0)=0,(I),左側，f’(x)&0,右側，
f’(x)&0,則极大值，(II),左側，f’(x)&0,右側，f’(x)&0,則极小值,(III),左右側,恒正或恒負，非极值點.
定理3(第二充分)、設f(x)在點x0的一個鄰域內可導且f’(x0)=0,f’’(x0)≠0,那麼：(I)，f’’(x0)&0,极大值，(II)，f’’(x0)&0,极小值。
9、最大值和最小值：I、變區間連續，開區間可導，則端點值与极值相比較可得出。II、任意區間可導且只有一個駐點，且就是极值點，則其就是最值點。10、曲線的凹凸与拐點
凹凸定義：設f(x)在(a,b)內連續，如果對(a,b)內任意兩點x1和x2，恒有
f[(x1+x2)/2]&[f(x1)+f(x2)]/2，那麼其在(a,b)內的圖形是凹的；如果恒有大於，則是凸的。如果在[a,b]上連續，且在(a,b)內的圖形是凹(或凸)的，那麼就稱其在[a,b]上的圖形是凹(或凸)的。凹凸判定方法：用二階導數來判定。設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內有一階和二階導數，則I，二階導數大於0，則在[a,b]是凹的，II，二階導數小於0，則在[a,b]是凸的.III、拐點，凹凸弧的分界點为拐點，其二階導數为0，但二階導數为0的點不一定是拐點。
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函數圖形描繪：確定定義域，求一、二階導數为0的實根，劃分定義域，確定升降、凹凸、极值點、拐點，確定水平、垂直漸進線，在補充一些點。11、曲率
弧微分：ds=+y'
|,其極限即为曲率。(圓，K=1/r)?s
平均曲率：單位弧段上切線轉角的大小，記为K,即K=|
|y''|(1+y'2)3/2
三、一元函數積分學
曲率公式：K=
曲率圓於曲率半徑
(一)、不定積分
1、原函數定義：如果在區間I內，可導函數F(x)的導數为f(x),則稱F(x)是f(x)在區間I上的原函數。連續函數一定有原函數。
2、不定積分定義：在區間I內，函數f(x)的帶有任意常項的原函數稱为f(x)在區間I內的不定積分，記作：
3、不定積分性質：I、函數的和的不定積分等於各個函數的不定積分的和。II、常數可提到外面。4、第一類換元積分法：設f(u)具有原函數，u=v(x)可導，則有換元公式：
5、第二類換元積分法：設x=v(t)是單調可導的，並且v’(t)≠0,又設f[v(t)]v’(t)有原函數，則有公式
∫f[v(x)]v'(x)dx=[∫f(u)du]
∫f(x)dx=[∫f[v(t)]v'(t)dt]
使用技巧：I、如果被積函數含有
a2-x2,可作代換x=II、如果被積函數含有x2+a2,
x2-a2,可作代換x=(實際中，需靈活)。
可作代換x=III、如果被積函數含有6、分部積分法：即
∫udv=uv-∫vdu
使用技巧：I、xusinx(cosx)和xuax類型，設冪函數xu=U;II、xulogax和xuarc()類型，設log或arc为U。
7、有理函數的積分。I、真分式可分解成多項式和假分式之和。II、若假分式分母Q(x)能分解成一次因式和二次質因式的乘積，則此式可分解成和的形式。III、若Q(x)含有因式(x一a)k,則分解后有
++...+；IV、若Q(x)含有因式(x2+px+q)k,且p2&4q,則分kk-1
x-a(x-a)(x-a)
Mx+N1M2x+N2Mkx+Nk
解后有下列之和：21++...;V、需求出待定系數A、
(x+px+q)k(x2+px+q)k-1x2+px+q
下列之和：
M、N等。VI、分解后，只出現多項式和
,最后者應用配方公式可求
：有理函數的原函數都是初等函數。)得，即x+px+q=(x+)+q-.(結論結論：有理函數的原函數都是初等函數。
8、三角函數的有理式積分。
I、定義：三角函數(均可化成sinx和cosx的形式)和常數經過有限次四則運算所構成的函數。II、規則，將正、余弦化成半角正切的形式，見下式。III、做變換，即可轉为有理式。
xx=sinx=2sincos=
x1-tg21-tg2
xx=cosx=cos2-sin2=
作u=tg(x/2)替換即可化簡为有理式。
9、簡單無理函數的積分
形如R(x,(二)、定積分1、定義：
ax+b)及R(x,n
)積分均可變量代換去根號變為有理式求積分，之後再代回。
f(x)dx=lim∑f(ξi)?xi
2、充分條件：I，設f(x)在[a,b]上連續，則在[a,b]上可積。II，有界，且只有有限間斷點，則可積3、定積分性質：5,6,7需a&b的條件。I，和差性，II，常數性，III，區間可分性，IV，若f(x)=1,
1dx=b-a,V,若f(x)≥0,則積分≥0,VI,m(b-a)≤∫f(x)dx≤M(b-a)
VII,(定積分中值定理)若連續，則至少存在一點ξ滿足
f(x)dx=f(ξ)(b-a)
4、積分上限函數及其導數，若f(x),在[a,b]連續，則積分上限函數Φ(x)=數，Φ'(x)=
f(t)dt在[a,b]上有導
f(t)dt=f(x)(x在[a,b]).∫adx
5、牛頓—萊布尼玆公式:若f(x)連續，則數。
f(x)dx=[F(x)]ba=F(a)-F(b),F(x)为其一原函
7、定積分的分部法：∫
6、定積分的換元法：
f(x)dx=∫f[Ψ(t)]d[Ψ(t)]=∫f[Ψ(t)]Ψ'(t)dt
udv=[uv]ba-∫vdu(均類似于不定積分的計算)。
8、廣義積分(若存在，則稱廣義積分收斂，否則稱它發散)I、無窮限的廣義積分：
f(x)dx=∫f(x)dx+∫
f(x)dx=lim
f(x)dx+lim∫f(x)dx
II、無界函數的廣義積分。(1)，端點無界，在(a,b]上連續，a的右領域無界，其積分为廣義積
無界，則∫f(x)dx=∫
f(x)dx=lim
ε→+0a+ε
f(x)dx，(2)，內點無界，在[a,b]上除c點外都連續(a&c&b),c的領域
f(x)dx+∫f(x)dx=lim∫
f(x)dx+lim
ε'→+0c+ε'
(三)、定積分的應用1、元素法。
2、平面面積：I，直角坐標，dA=f(x)dx,f(x)需挑選，II，參數方程。III，极坐標，
[?(θ)]2dθ。2
3、體積：I，旋轉體，dV=π[f(x)]dx,或dV=π[f(y)]dy,II,平行截面面積为已知的立體體積。
r=?(θ),dA=
4、平面曲線弧長，(定理：光滑曲線弧是可求長的，且ds=ds=+y'
(dx)2+(dy)2，I，直角坐標，
dx,II,參數方程，ds='2(t)+?'2(t)dt,III,极坐標，可化作II求解。
5、功、水壓力、和引力
I，變力沿直線做功，dW=f(s)ds,II,水壓力，p=ρgv,III,引力計算。6、平均值，I，函數的平均值，y=
f(x)dx，II，均方根(有效值)，Y=f(t)dt∫∫aab-ab-a
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贡献者：ronaldo_ma
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3、数列的概念
　　数列是一种特殊的函数，其定义域为全体或部分自然数。数列的通项公式A（N）就是一个函数，求出通项公式，等于求出了数列的任一项。数列的前N项和S（N）（N=1，2，。。。）构成了一个新的数列，知道S（N）的公式，通过A（1）=S（1），A（N）=S（N）-S（N-1）就能求出原数列的通项公式。
　　mba数学主要考察等差数列和等比数列。有些数列不是等差数列或等比数列，但经过改造后可构造出等差数列或等比数列，如A（1）=1，A（N+1）=2A（N）+1。这个数列的每一项都加上1，就成为等比数列了，通项公式为2^N，因此原数列通项公式为：A（N）=2^N-1
　　其他常见的数列包括A（N）=N^3,
A（N）=N！/（N-K）！，A(N)=1/[N(N-1)]等，都有相应的办法能处理。
　　4、极限、连续、导数、积分的概念
　　极限的概念是整个微积分的基础，需要深刻地理解，由极限的概念才能引出连续、导数、积分等概念。极限的概念首先是从数列的极限引出的。对于任意小的正数E，如果存在自然数M，使所有N》M时，|A（N）-A|都小于E，则数列的极限为A。极限不是相等，而是无限接近。而函数的极限是指在X0的一个临域内（不包含X0这一点），如果对于任意小的正数E，都存在正数Q，使所有（X0-Q，X0+Q）内的点，都满足|F（X）-A|《E，则F（X）在X0点的极限为A。很多求极限的题目都可以用极限的定义直接求出。
　　例如F（X）=（X^2-3X+2）/(X-2),
X=2不在函数定义域内，但对于任何X不等于2，F（X）=X-1，因此在X无限接近2，但不等于2时，F（X）无限接近1，因此F（X）在2处的极限为1。
　　连续的概念。如果函数在X0的极限存在，函数在X0有定义，而且极限值等于函数值，则称F（X）在X0点连续。以上的三个条件缺一不可。
　　在上例中，F（X）在X=2时极限存在，但在X=2这一点没有定义，所以函数在X=2不连续；
　　如果我们定义F（2）=1，补上“缺口”，则函数在X=2变成连续的；
　　如果我们定义F（2）=3，虽然函数在X=2时，极限值和函数值都存在，但不相等，那么函数在X=2还是不连续。
　　由连续又引出了左极限、右极限和左连续、右连续的概念。函数值等于左极限为左连续，函数值等于右极限为右连续。如果函数在X0点左右极限都存在，且都等于函数值，则函数在X=X0时连续。这个定义是解决分段函数连续问题的最重要的、几乎是唯一的方法。
　　如果函数在某个区间内每一点都连续，在区间的左右端点分别左右连续（对闭区间而言），则称函数在这个区间上连续。
　　导数的概念。导数是函数的变化率，直观地看是指切线的斜率。略有不同的是，切线可以平行于Y轴，此时斜率为无穷大，因此导数不存在，但切线存在。
　　导数的求法也是一个极限的求法。对于X=X0，在X0附近另找一点X1，求X0与X1连线的斜率。当X1无限靠近X0，但不与X0重合时，这两点连线的斜率，就是F（X）在X=X0处的导数。关于导数的题目多数可用导数的定义直接解决。教科书中给出了所有基本函数的导数公式，如果自己能用导数的定义都推导一遍，理解和记忆会更深刻。其中对数的导数公式推导中用到了重要极限：limx--&0
(1+x)^(1/x)=e。
　　导数同样分为左导数和右导数。导数存在的条件是：F（X）在X=X0连续，左右导数存在且相等。这个定义是解决分段函数可导问题的最重要的、几乎是唯一的方法。
　　如果函数在某个区间内每一点都可导，在区间的左右端点分别左右导数存在（对闭区间而言），则称函数在这个区间上可导。
　　复合函数的导数，例如f[u（x）]，是集合A中的自变量x，产生微小变化dx，引起集合B中对应数u的微小变化du，u的变化又引起集合C中的对应数f(u)的变化，则复合函数的导函数f’[u（x）]=df（u）/dx=df（u）/du
* du/dx=f’（u）*u‘（x）
　　导数在生活中的例子最常见的是距离与时间的关系。物体在极其微小的时间内，移动了极其微小的距离，二者的比值就是物体在这一刻的速度。对于自由落体运动，下落距离S=1/2gt^2，则物体在时间t0的速度为V(t0)=[S（t0+a）-S(t0)]/a,
当a趋近于0时的值，等于gt0; 而速度随时间的增加而增加，变化的比率g称为加速度。加速度是距离对时间的二阶导数。
　　从直观上看，可导意味着光滑的、没有尖角，因为在尖角处左右导数不相等。有笑话说一位教授对学生抱怨道：“这饭馆让人怎么吃饭？你看这碗口，处处不可导！”
　　积分的概念。从面积上理解，积分就是积少成多，把无限个面积趋近于0的线条，累积在一起，就成为大于0的面积。我们可以把一块图形分割为狭长的长方形（长方形的高度都取函数在左端或右端的函数值），分别计算各个长方形的面积再加总，可近似地得出图形的面积。当我们把长方形的宽度设定得越来越窄，计算结果就越来越精确，与图形实际面积的差距越来越小。如果函数的积分存在，则长方形宽度趋近于0时，求出的长方形面积总和的极限存在，且等于图形的实际面积。这里又是一个极限的概念。
　　如果函数存在不连续的点，但在该点左右极限都存在，函数仍是可积的。只要间断点的个数是有限的，则它们代表的线条面积总和为0，不影响计算结果。
　　在广义积分中，允许函数在无限区间内积分，或某些点的函数值趋向无穷大，只要积分的极限存在，函数都是可积的。
　　严格地说，我们只会计算长方形的面积。从我们介绍的积分的求法看，我们实际上是把求面积化为了数列求和的问题，即求数列的前N项和S（N），在N趋近于无穷大时的极限。很多时候，求积分和求无限数列的和是可以相互转换的。当我们深刻地理解了积分的定义和熟练地掌握了积分公式之后，我们同样可用它来解决相当棘手的数列求和问题。
　　例如：求LIM
N&正无穷大时，1/N*[1+1/（1+1/N）+1/（1+2/N）+。。。+1/(1+（N-1）/N)+1/2]的值。
　　看似无从下手，可当我们把它转化为一连串的小长方形的面积之后，不禁会恍然大悟：这不是F（X）=1/X在[1，2]上的积分吗？从而轻松得出结果为ln2。
　　除了基本的积分公式外，换元法和分步法是常用的积分方法。换元积分法的实质是把原函数化为形式简单的复合函数；分步积分法的要领是：在∫udv=uv-∫vdu中，函数u微分后应该变简单（比如次数降低），而函数v积分后不会变得更复杂。
　　5、排列、组合、概率的概念
　　排列、组合、概率都与集合密切相关。排列和组合都是求集合元素的个数，概率是求子集元素个数与全集元素个数的比值。
　　以最常见的全排列为例，用S（A）表示集合A的元素个数。用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数，则每一个九位数都是集合A的一个元素，集合A中共有9！个元素，即S（A）=9！
　　如果集合A可以分为若干个不相交的子集，则A的元素等于各子集元素之和。把A分成各子集，可以把复杂的问题化为若干简单的问题分别解决，但我们要详细分析各子集之间是否确无公共元素，否则会重复计算。
　　集合的对应关系
　　两个集合之间存在对应关系（以前学的函数的概念就是集合的对应关系）。如果集合A与集合B存在一一对应的关系，则S（A）=S（B）。如果集合B中每个元素对应集合A中N个元素，则集合A的元素个数是B的N倍（严格的定义是把集合A分为若干个子集，各子集没有共同元素，且每个子集元素个数为N，这时子集成为集合A的元素，而B的元素与A的子集有一一对应的关系，则S（A）=S（B）*N
　　例如：从1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取六个数，问能组成多少个数字不重复的六位数。
　　集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！
　　集合B为数字不重复的六位数的集合。
　　把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！
　　这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则
　　S（A）=S（B）*3！
　　S（B）=9！/3！
　　组合与排列的区别在于，每一个组合中的各元素是没有顺序的。无论这些元素怎样排列，都只当作一种组合方式。所以在计算组合数的时候，只要分步，就意味有次序。取N次，N件物品的N！种排列方式都会被当作不同选法，该选法就重复计了N！次。比如10个球中任取三个球，取法应该是C（10，3），但如果先从10个中取一个，得C（10，1），再从9个中取一个得C（9，1），再从8个中取一个得C（8，1），再相乘结果成了P（10，3），结果增大了3！倍。
　　概率的概念。在有限集合的情况下，概率是子集元素个数与全集元素个数的比值。在无限集合的情况下，概率是代表子集的点的面积与代表全集的点的面积的比值。
　　概率分布函数可以描述概率分布的全貌。离散型的概率分布是一组数列，计算事件发生的概率、数学期望和方差都使用数列的计算方法。连续型的概率分布是一个函数，它等于概率密度函数的积分，计算事件发生的概率、数学期望和方差都使用积分的计算方法。
　　概率的概念不难理解，解题能力决定于对数列和积分中的方法掌握的熟练程度。
　　6、线性代数的相关概念
　　向量是一组数，代表从原点向一个点引出的有方向的线段。在平面上容易理解，（X，Y）代表从原点从点（X，Y）引出的线段；三维空间中的向量也好理解，伸出胳膊随便指向一个方向，就是一个向量。超过三维的向量就只能靠想象了。
　　向量之间线性相关的定义是这样的，对于向量B和一组向量A1，A2，。。。，AN，如果存在一组不全为0的数L1，L2，。。。，LN，使B=L1A1+L2A2+。。。+LNAN，则称向量B与向量组A线性相关，否则称向量B与向量组A线性无关。B与A线性相关，即B是A的一个线性组合。如三维空间中的任一向量K（X，Y，Z），都是向量组A1（1，0，0）、A2（0，1，0）、A3（0，0，1）的一个线性组合，因为K=XA1+YA2+ZA3。上述定义对解决线性相关的问题非常重要，必须深刻理解。
　　极大无关组的概念。极大无关组是一组向量A1，A2，。。。，AN中选出的部分向量，组成新的向量组，假定叫向量组S。S满足：A中的任一向量都与S线性相关（保证S的极大性），S中的任一向量与S中其余的向量线性无关（保证S的无关性）。则S为A的一个极大无关组。
　　向量组中可能存在多个极大无关组。假设三维空间中的所有向量组成一个向量组，则向量组A1（1，0，0）、A2（0，1，0）、A3（0，0，1）是其中的一个极大无关组。向量组B1（1，0，0）、B2（0，2，0）、B3（0，0，3）同样是极大无关组。只要选出的三个向量组成的行列式值不为0，就都是一个极大无关组。对于任意维空间，极大无关组可看作一组向量中选出的一组坐标系，每个向量都是这组坐标系中的一个点。
　　矩阵是一组向量排成的长方形。这组向量中，极大无关组中含有的向量的个数称为矩阵的秩。如果每个向量都视为一条信息，矩阵的秩就是矩阵包含的信息量的条数。极大无关组之外的向量，代表无效信息，因为它们可以由极大无关组中的信息表示出来。
　　理解了基本概念，对基本数学方法就更容易掌握。初等数学是高等数学的基础，高等数学除了多出新的概念之外，运用的都是初等数学的方法。数列和微积分又是概率论的基础。
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