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典型极限问题的求解方法
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官方公共微信一个求极限的问题？
&img src=&/174aad22389bdf9c1ee61cae_b.png& data-rawwidth=&225& data-rawheight=&128& class=&content_image& width=&225&&xx考研老师说这个极限是等价不存在的，不等于1。&br&解释是这样说的：当x趋向于零时，sinx等价于x(等价无穷小)，然后x是趋向于0但x不能等于0，x*sin(1/x)是可能取到0的，因为sin(1/x)是振荡的，此时分母取到零点，就说明函数在这一点是无定义的，违背了函数f(x)在x-&0时处处有定义的说法，所以这个极限是不存在的。&br&但是用MATLAB计算是等于1的&br&&img src=&/d670c42a661c_b.png& data-rawwidth=&296& data-rawheight=&188& class=&content_image& width=&296&&&img src=&/9dd3fcfcf894e_b.jpg& data-rawwidth=&334& data-rawheight=&60& class=&content_image& width=&334&&&img src=&/9ebee32a39c4890c71ee_b.jpg& data-rawwidth=&561& data-rawheight=&496& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&561& data-original=&/9ebee32a39c4890c71ee_r.jpg&&&img src=&/fef5c728cdadac38c46a4aed9c19635f_b.jpg& data-rawwidth=&566& data-rawheight=&496& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&566& data-original=&/fef5c728cdadac38c46a4aed9c19635f_r.jpg&&所以感到很困惑，到底是怎么样的？
xx考研老师说这个极限是等价不存在的，不等于1。解释是这样说的：当x趋向于零时，sinx等价于x(等价无穷小)，然后x是趋向于0但x不能等于0，x*sin(1/x)是可能取到0的，因为sin(1/x)是振荡的，此时分母取到零点，就说明函数在这一点是无定义的，违背了函数f(x)在x-&0时处处有定义的说法，所以这个极限是不存在的。但是用MATLAB计算是等于1的…
按时间排序
洛必达法则不可以么？求出来极限为1。
我感觉其实是原题有错误……因为是否存在时必须规定存在使得在有定义（否则我们谈极限是没有意思的）。另外转一下Rudin在《Principles of
Mathematical Analysis》上的定义[pp. 83~84, Definition 4.1]设和是度量空间, 并设,映到, 并且是的极限点. 我们称当时或者, 如果存在满足下列性质: 对任意, 存在使得当并满足时, .请注意粗体的部分，的选取必须满足在上有定义。所以这个极限可以定义的前提（也就是定义中的，原来函数的自然定义域）必须是的子集。事实上我们可以在上可以补充定义吧，由于，由等价无穷小的定义，。不知道有没有问题……
不存在 不是初等函数p
极限定义需要x附着于集合E上通常情况下略掉x∈E
看了别人然后发现……还是不改了，，我就是永远不认真看题除非做不下去的那种根本不记得极限的定义了，，不过想象了一下可以用 x=1/(2n*pai+1), n趋向无穷大。 解决问题？我一开始没把x=1/k*pai当回事，因为这些都是实际例举出的数，讨论无穷小时可忽略。 又一想他也可趋向0似乎不太对啊，，我们不要x了还不行吗，，，，，==============还有觉得不要什么不会做就去matlab， mathematica（虽然我也会做个弊什么），基础题还是要会动笔算的吧sinx等价于x（x趋向于0）是没错，但x=0时，sinx=0=x你们是傻吗？！虽说“趋向于”不包括等于的情况，但还没讨论怎么就直接扣个“无意义”的帽子？为什么说sinx等价于x呢？（条件略）（ 记得同济六版说这个结论时用的是比值极限为1 ）与其用等价不如直接泰勒展开：sinx=x-x^3/6+....（读高数的都懂就这样了）只是当求sinx/x的极限时如同多项式分式求极限那样sinx展开的后面被忽略了（结果如此，过程略复杂）你高数老师要知道一定气死了（一定不会）。。算了我们看下题吧，第一眼就应该替换成求sint/t，（换元）我们当然要简化简化再简化。。一切逃不出基础。。（瞎扯的，但一看这分母分子一模一样不换元觉得好亏）sinx/x的图一定要知道（这好像是高中的吧喂）（大致如此，只要知道x向0、向无穷时的不同极限就可以了）安卓arity画的，这软件还不错。然后我们只要去求t是向0还是向无穷的就可以了（看上去也不是特殊值对吧）t=x*sin(1/x)看不出吧，换元：t=(1/u)*sin(u)=sin(u)/u，（u趋向无穷）得t趋向0得所求为1
说明是错的为什么要这么长一串。。举个例子就可以了吧。比如说依1/kpi子列不收敛。
的答案是对的，不过比较长，我来答个简短的。这道题的有争议之处在于，一般我们讨论函数f(x)在某点x0处的极限时，f(x)都是在x0的一个去心邻域内有定义的。而此题中的函数在以0为中心的任意去心邻域内都有无定义的点，于是你的老师说极限不存在。如果你的教科书上的极限定义有此要求，那就按这个来。不过，维基百科上给出的函数极限的并不要求f(x)在x0的某个去心邻域内有定义，而只需要在定义域内能找出一列趋向于x0的点。按此定义，此题中函数在0点处极限存在，值为1。
我觉得极限是1. 不过不是用严谨的数学方法证明的。 仅供不严谨的参考。sin（x u）/（x u）， 分两种情况看1 当u是非零的任意±1之间的数，x趋向于0的时候， y极限显然是12 当u趋近于零，而x相对来说还远离0， y 极限（在sin（1/x）等于零的地方的极限）也显然是1整个x趋向0的过程， y会无数次的取到1，然后无数次的偏离1， 确切的来说是小于1， 因为在0附近， sinx/x只有在x为0时才达到最大值1， 在sin（1/x）等于零的地方， y极限是1， 所以y是一直有意义的。重要补充：
关于这个问题， 不能仅仅考虑x关于0的去心邻域， 而是要具体去考虑x关于sin（1/x）等于零的地方的去心领域。 所有 sin（1/x）等于零的地方的去心领域的极限都存在。 那么除了x等于0的地方， y都 “有意义”， 也就是说x关于0的去心领域是有“定义”的。
这里我打了引号， 是因为和一般意义上的定义有点区别。 N 是整数。那么M的去心领域也是不存在的， 然而这个极限存在吗？ 去心领域不存在， 有没有资格讨论极限呢？如果认同以上的话， 就可以把x u 看成一个整体了， x 趋于0时候， xu趋于0， y极限是1.matlab 图， 步长10^-9。图中， y取到1的点都是极限点， 即左极限等于右极限。图中， y取到1的点都是极限点， 即左极限等于右极限。sinx/x的图是上图的红线。
他始终小于等于sin（x sin1/x）/（x sin1/x）。sinx/x的图是上图的红线。
他始终小于等于sin（x sin1/x）/（x sin1/x）。x趋于0的过程， y在震荡，震荡频率加快， 幅值衰减。
定义一元函数的极限时，要求函数在某去心邻域上有定义就是耍流氓。题主可以参见多元函数的极限的定义。所以话应该这么说: 因为可以在*定义域*中找到以0为聚点的序列，序列上的函数值总可以任意精确到1，所以极限存在且为1。进一步，因为任何一个序列都满足这个性质，所以0是一个可去间断点，补充定义可以使函数连续。数学里抠定义是好事儿，但也可能踩到雷，尤其是这种为了教学设置的定义。
此处极限取的基为x→0(也就是所有0的去心区间)，不管怎样取，都会有导致sin(1/x)=0的点存在，使式子无意义。因此没有极限。主要是基没选好，去除点x=1/(kπ)，应该就可以了
因为sin 1/x有界，所以xsin1/x是无穷小，不妨设为y，得到sin y/y的极限是1。
闲人一枚，试着用Mathematica做了一下：下面把图像尽量放大：下面把图像尽量放大：（好没有帮助的回答→_→）
我们说这个极限不存在的角度是指定的去心邻域里会出现无穷个使得分母等于0的瑕疵点，这个集合是{x = 1 / (k*pi)} 交 {给定的epsilon邻域}，k是整数。人类可以从分析的观点解决这个连续的问题，但计算机内部总是离散地处理问题。如果MATLAB的这个limit函数只是赋一个很接近0的值给x，那（几乎）必然会得到这个结果。一方面：刚才说的这个集合是个零测集，x恰好取到这个点的概率是0。另一方面：首先，x的取值始终是模拟，然而这些点都是无理点，计算机无法准确地描述。其次，考察的这个函数里里外外套了几个1/x, sin x，这些函数本身也是模拟。还有你画的那个图，步长取0.01，那才几个点...MATLAB连线的时候肯定给你抹平了啊，你再放大了看也是那几个点描的线..做分析怎么能相信MATLAB的结果:))
谢邀。以前回答过这个问题：，不过那个问题好像被举报了。下面是以前的回答，修订了一下错误。是的，不过更准确的应该是。首先需要知道极限指的是什么？因为并不能取所有的实数，有些点必须排除。要使得函数有意义，分母，于是设集合，那么函数的定义域为。极限指的是（注意是的极限点，因此这个极限是定义良好的，由于不包含，所以和没有区别，但更一般的情形会有区别）。先回顾一下函数极限的定义定义.（函数在一点处的极限） 设是子集，是函数，并设是的子集，是的，而是实数，我们说在处沿着收敛到，写作当且仅当对于每个，都存在，对于一切，当时，。注. 我们只考虑是的极限点时，函数在处的极限，当不是极限点时，不值得定义极限的概念（为什么？）。很多情况我们从上面的记号中略去集合，也就是说，我们只说在处收敛到，或者，但去掉集合有点危险，比如对于极限不存在，但极限，都存在函数极限可以用序列极限刻画，因为我们有下面命题命题. 设是的子集，是函数，并设是的子集，是的极限点，而是实数，那么下述两个命题是逻辑上等价的：在处沿着收敛到对于每个完全由的元素组成，并且收敛到的序列，序列收敛到现在采用序列来证明极限。设，，根据这一命题，由于，于是每个完全由的元素组成，并且收敛到的序列，即，序列收敛到，且对于每个，，因为。又因为，而序列收敛到且每一项都不为，即对每个，，于是序列收敛到，也就是序列收敛到，因此函数在处沿着收敛到，即注意，下面命题不成立命题. （不成立）设是的子集，设是的极限点，是的极限点，设是函数，使得，设是函数，使得，那么这个命题是错误的，因此不能直接根据和来说明不一定等于。但如果函数在处连续，这个命题是成立的。因此可以通过补充定义在处的值使得它连续，这样就可以使用上述命题说明。因为对于每个完全由的元素组成，并且收敛到的序列，序列收敛到，但序列可能有无限多项等于，而只能说明对于每个完全由的元素组成，并且收敛到的序列，序列收敛到，当序列有无限多项等于，我们不能推出序列收敛到，但下面两种情况可以对于每个收敛到的序列，序列只有有限多项等于，那么就有函数在处连续时，我们也有。
谢邀，这个问题很好玩，我来给你解释解释，这是怎么回事儿。当我们谈论极限的时候我们在谈论啥？谈论在某一点的数值吗？非也！而是一种趋近的状态。就针对趋近于0来说：也就是说，可以不包含中间那一点两边取无穷小，换句话说，ε理解为一个橡皮泥一样的变量比较好，这个橡皮泥由考官来捏，你不知道他会捏的多小，所以你要保证不管他怎么捏，只要捏的足够小，你的理论都是对的。但是xsin(1/x)不这么想：从坐标轴可以看出，我已经放到了很小的尺度，但是不管多小的尺度内，都有无穷多个点等于0。这里等于0没事，但是拿到张宇那个式子里面就有事了，看上去你的图是这样的：那是因为数值上你能绕开几乎所有的无定义点。但实际上你的函数是千疮百孔的：这些孔很稀疏，测度和有定义点相比就是个渣渣，导致等间距采样可以完全绕开。但数学不这么看。所以我觉得说映射，拓扑还有matlab预定义那几位也是有点扯，这是个数学问题，不是数值问题，数值解最多是个验证和直观感受，不能作为评价。以上。
我觉得你老师的意思是，x_k=1/(kpi)的时候分母是0，式子没定义，而x_k是一个收敛到0的序列，所以极限不是well-defined的。个人觉得这个解释make sense，但是问题本身属于没什么价值的细枝末节，没太多纠结的必要。
怀疑MATLAB直接是对函数sin x/x补充定义了，当x = 0时，这个函数值为0。当然，如果没有这个补充的话，这个极限过程的意义是比较模糊的。第一种便是如题主所说，要求x = 0处，存在一个一个R中0的邻域，使得这个邻域被包含在函数定义域中。按这个意义，这个极限是没法做的。第二种就是函数的定义域作为R的子空间的导出拓扑。相当于说，就只考虑R中0的邻域与定义域的交。这样，这个极限是可以取的，答案也自然是1。
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共管费用最值问题的极限求解方法
2012年第4期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　摘要：高等数学教学中引入好的案例，一方面能引起学生的学习兴趣，另一方面也有助于学生理解相对深奥的数学概念。本文借用2010年全国大学生数学建模竞赛C题，提炼了一种利用多元函数极限进行建模求解的方法，方法可行，易于理解，供广大数学教师做教学参考 中国论文网 /9/view-1705664.htm　　关键词：案例教学法；多元函数；极限 　　中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：（9-03 　　 　　 高等数学教学是培养高等人才基本素质的重要组成部分，也是很多专业课程的学习基础，但高等数学的学习内容逻辑性强，实用性相对较弱，对于非研究型的高职学生来说往往兴趣不大，教学难度也较大。案例法教学是一种理论与实践相结合的教学方法，案例不仅能够诠释某个具体原理，而且有助于学生加深对学习问题的理解，发展学生的创新精神和实际解决问题的能力和品质。在高等数学教学中引入好的案例，一方面能引起学生的学习兴趣，另一方面也有助于学生理解相对深奥的数学概念。好的案例取样通常来源于实际生活，并且不是为了数学而数学，这样的案例选取往往是教学的难点，比如高等数学中多元微积分中的多元函数极值，就是一个比较抽象的概念，教学中很难找到合适的案例，学生在学习过程中往往很难理解这样的概念在实际生活中的应用，教师的讲解就相对比较枯燥。本文借用2010年全国大学生数学建模竞赛C题，提炼了一种利用多元函数极限进行建模求解的方法（当年C题点评和优秀论文中均未见有使用极限方法的），供广大数学教师做教学参考。 　　一、问题的提出 　　2010年全国大学生数学建模竞赛C题是一个输油管的布置问题，题目要求在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油，如下图所示，A、B是炼油厂，H是车站，CD是铁路线，AP、BP、PH是输油管，其中AP、BP为非共用管线，PH为共用管线，P为共管点。油田设计院希望建立当共用管线与非共用管线费用不同时，管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 　　 　　 　　 　　 　　二、问题分析 　　图中车站H的位置是不固定的，但一定要建在铁路线CD上；共管点P的位置也是不固定的，但由问题需要求解管线建设费用最省可知，PH一定垂直于铁路CD。建立上图所示直角坐标系，C点作为原点，通过前面的分析，可假设?摇H（x，0），P（x，y），显然x，y均为未知，且x≥0，y≥0。 　　共用管线显然不是必须的，当共用管线的费用比较高时，比如共用管线费用超过非共用管线2倍，显然没有共管的必要，换言之是否需要共用管线，取决于共管费用与非共管费用之比。本文假设非公用管线的费用为1，公用管线的费用k，即共用管道的费用为非共用管道的k倍。对于油管布置的总费用来说，即使共用管线的费用不到非共用管线费用的2倍，A、B到车站距离之和上图也不是最短的， 　　三、极限的求解法 　　由问题分析可知，共管点P（x，y）应落在ABCD区域内，当P落在铁路CD上时，PH=0（P与H重合），即没有共用管线。没有共用管线时，管线建设费用最省问题实际就是管线最短问题，此时可以假设P（x0，0），具体见下图。 　　 　　 　　 　　 　　假设Z1表示没有共用管线时的建设总费用，根据前面假设非公用管线的费用为1，即有： 　　Z1=■+■ （1） 　　（1）式为关于x的一元函数，假设x0表示建设总费用Z1最小时x的取值，利用一元函数最值求解方法可求出x0：x0=■ 　　此时，建设总费用为Z1=■+■=■ 　　下面讨论有共用管线的情况，由前面的分析可知，是否需要共用管线，取决于共管费用与非共管费用之比k。由于修建共用管线的费用显然高于非共用管线，同时考虑如果费用高出2倍以上，建设共用管线显然还不如不建，所以1≤k＜2，并且在此范围内k越大，共用管线的建设费用越高，共用管线需要量就会越少，当k大到一定的值时，就会不再需要共用管线，求解k的临界状态就是本文讨论的主要内容。本文假设k的临界值是k0，即当k＜k0时，共用管线存在，当k≥k0时，共用管线不再需要。关于k的求解有很多种方法，本文介绍利用多元函数的极限进行求解，P点是ABCD区域内的点，随着P点在ABCD区域内的游走，管线的总费用随之发生改变，且费用改变是连续的，当P点接近于（x0，0）时，管线总费用（本文假设为Z2）也就接近于（x0，0）对应的管线总费用Z1，由极限知识可知： 　　■（Z2-Z1）=0 （2） 　　由题意可知，Z2包括了PA、PB和PH三段管线的费用： 　　Z2=■+■+ky （3） 　　将（3）、（1）代入（2）可知： 　　■（■+■+ky-■-■）=0 （4） 　　由上式可计算k的临界值： 　　 k0=■■（5） 　　=■■ 　　利用洛必达法则计算： 　　k0=■（■+■） 　　 =■+■ 　　将x0=■代入上式，可得：k0=■ 　　由前面分析可知： 　　当k＜■时，共用管线存在（P与H不重合），P点坐标可以通过Lingo或Matlab软件中的最值函数进行求解。 　　当k≥■时，共用管线不存在（P与H重合）。 　　例如当a=5，b=8，l=20时，k=1.09，即当k＜1.09时（共用管线的费用不超过非共用管线费用的1.09倍），共用管线比非共用管线好，当k≥1.09时，非共用管线比共用管线好。 　　四、极限求解的正确性验证 　　设P的坐标为（x，y）（x≥0，y≥0），模型可归结为 　　minZ2（x，y）=ky+■+■ 　　 只需考虑1≤k＜2的情形，对上述二元费用函数偏导数求驻点可得（不妨假设a≤b） 　　 ■=■+■=0■=k+■+■=0 （4） 　　利用Matlab求解可得： 　　x=■y=a-■?（2ak2-2bk2-8a-8b+2■） （5） 　　或x=■y=a-■?（2ak2-2bk2-8a-8b-2■） 　　因为k值介于1和2之间，当k值增大时，共用管线有可能不存在（点P落在了x轴上，即y=0）。令（5）y=0，利用matlab计算得：k=■ （6） 　　当k＜■时，共用管线存在（P与H不重合），利用（4）matlab求解可得二元函数驻点P=[■（a-b）+■，■（a+b-■l）]，相应地Z2min=■[（a+b）k+■l] 　　显然，关于k的计算结果，利用偏导数的计算与利用多元函数极限完全相同，验证了使用多元函数极限计算的正确性。另外（6）等价于2010年大学生数学建模C题的评阅要点中的l=■（b+a），也说明了此种方法的正确性。 　　五、总结 　　大学生数学建模竞赛一方面给学生提供了一个竞争的平台，让那些数学学习有所长的学生有了展示自己的空间，另一方面数学建模也为我们数学教师提供了很多好的实际应用的案例。例如2007年的易拉罐问题，被我们引入到高等数学导数的教学等。教学是永无止境的，教学方法的研究是教学永恒的主题，案例教学法是高等数学教学的一种有效的教学方式，2010年大学生数学建模C题的极限解法为多元函数的极值问题讲解提供了一个很好的教学案例。 　　参考文献： 　　[1]工程数学学报编辑部.2010大学生数学建模优秀论文集[C].工程数学学报增刊，2010. 　　[2]全国大学生数学建模组委会.2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点[EB/OL].2010 　　http：//wenku.省略/view/03f5b3bef121dd36a32d82d6.html. 　　[3]孔亚仙.应用高等数学[M].杭州：浙江科学技术出版社，2009. 　　作者简介：戎笑（1971-），女，讲师，硕士，多年从事数学教学和大学生数学建模竞赛指导工作。
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