位置： & && 重要极限的证明重要极限的证明《重要极限的证明》证明书重要极限的证明极限是e
a&0
在n比较大时，(1+(1-a)/n)^n&=原式&=(1+1/n)^n
取极限后，e》=原式的上极限》=原式的下极限》=e^(1-a)
由a的任意性，得
极限为e( 网：www.sanwen.net )
利用极限存在准则证明：
(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;
(2)证明数列{Xn}，其中a&0，Xo&0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1)用夹逼准则:
x大于1时,lnx&0,x^2&0,故lnx/x^2&0
且lnx1),lnx/x^2&(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0
故(Inx/x^2)的极限为0
2)用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a
x0&√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2&0,单调递减
且Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2&√a,√a为数列下界,则极限存在.
设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.
对原始两边求极限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a
同理可求x0&√a时,极限亦为√a
综上,数列极限存在,且为√
(一)时函数的极限：
以 时 和 为例引入.
介绍符号: 的意义, 的直观意义.
定义 ( 和 . )
几何意义介绍邻域 其中 为充分大的正数.然后用这些邻域介绍几何意义.
例1验证 例2验证 例3验证 证 ……
(二)时函数的极限：
由 考虑 时的极限引入.
定义函数极限的“ ”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4 验证 例5 验证 例6验证 证 由 =
为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有
例7验证 例8验证 ( 类似有 (三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义: 介绍半邻域 然后介绍 等的几何意义.
例9验证 证 考虑使 的 2.单侧极限与双侧极限的关系:
Th类似有: 例10证明: 极限 不存在.
例11设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有
= §2 函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限: , .以下以极限 为例讨论性质. 均给出证明或简证.
二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性( 不等式性质 ):
Th 4若 和 都存在, 且存在点 的空心邻域,使 ， 都有 证 设 = ( 现证对 有 )
註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有 以 举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:( 只证“+”和“ ”)
(二)利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值 )
这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.
例1( 利用极限 和 )
例2例3註:关于 的有理分式当 时的极限.
例4 [ 利用公式 ]
例5例6例7随即推荐的专题你可能也喜欢这些文章最新发布的专题 & sanwen.netXn的极限为A 求证X(n+1)的极限也为A
隐身的半兽人_
好吧 我傻逼咯=_=
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求解取N=2K目的是什么？以及为什么k＞K+1/2＞k1就能推出Xn-a绝对值小于ε？
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求助求助，实在想不明白
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或求高手解决极限证明题：设Xn以A为极限,由定义证明（X1+X2+.+Xn)/n以A为极限
ballance1﹐o罕
这是柯西定理.我把题中的xn换成了an.
请问下这个的极限等于零，但这个不是极限，能等于零吗？
有可能为0，比如an≡a。一般地，是不认为它等于0
既然不等于零，那这个是怎么成立的啊？
当n很大时，上式是成立的。即其极限是0。因为分子是有界，而分母是趋近无穷的。再有，极限值与函数值是不同的。
我的意思是并没有这个符号啊，他并不表明n很大
请注意，我在证明时，用到了数列极限的定义。即“存在正整数N2，当n>N2,上式成立。”这里就是在用极限。换句话讲，原来的问题，在证明时必须考虑n足够大。
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