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一轮复习---解析几何之双曲线部分(教师版)
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新人教A版选修2-1圆锥曲线复习题（附解析）
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
新人教A版选修2-1圆锥曲线复习题（附解析）
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文 章来源 莲山 课 件 w w w.5Y k J. c oM 新人教A版选修2-1圆锥曲线复习题（附解析）一、：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设定点 ， ，动点 满足条件& ＞ ，则动点 的轨迹是（& 　 ）.A. 椭圆&&&&&&& B. 线段&&&&&&& C. 不存在&&&&&& D.椭圆或线段或不存在&&&& 2、抛物线 的焦点坐标为（　　　） . A．&&&&&&&&&&& B．&&&&&&&&&&&& C．&&&&&&&&&& D．& 3、双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则 的值为（　　　）.A．&&&&&&&&&&&&&& B．&&&&&&&&&&&& C．&&&&&&&&&&& D． 5、设 是右焦点为 的椭圆 上三个不同的点，则“ 　成等差数列”是“ ”的（　　　）.A.充要条件&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.必要不充分条件&&&& C.充分不必要条件&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.既非充分也非必要6、P是双曲线 的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（& 　 ）.A. 6&&&&&&&&&&&&& B.7&&&&&&&&&&&&& C.8&&&&&&&&&&&&&&& D.97、过双曲线 的右焦点作直线l，交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线的条数为（　　　）.A. 1&&&&&&&&&&& B.2&&&&&&&&&&& C.3&&&&&&&&&&& D.48、设直线 ，直线 经过点(2,1)，抛物线C: ，已知 、 与C共有三个交点，则满足条件的直线 的条数为（　　）.A. 1&&&&&&&&&&&& B.2&&&&&&&&&&&&& C.3&&&&&&&&&&&&&&& D.4&9、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（　　　）.A.直线&&&&&&& B. 抛物线&&&&&&& C.双曲线&&&&&&& D. 圆 10、以过椭圆 的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的　　　位置关系是（& ）.A. 相交&&&&&& B.相切&&&&&&& C. 相离&&&&&&& D.不能确定11、过双曲线M: 的左顶点A作斜率为1的直线 ,若 与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 (&&&&& ).A.&&&&&&&&&&& B.&&&&&&&&&&& C.&&&&&&&&&&&& D.& 12、若抛物线 上总存在两点关于直线 对称，则实数 的取值范围是（& 　）.&&&&&&&&&&&&&&&&&& 二、题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13、已知双曲线的渐近线方程为y=± ，则此双曲线的离心率为________.14、长度为 的线段AB的两个端点A、B都在抛物线 上滑动，则线段AB的中点M到 轴的最短距离是　　　　　　.15、 是椭圆 的两个焦点，点P是椭圆上任意一点，从& 引∠ 的外角平分线的垂线，交 的延长线于M，则点M的轨迹是　　　　&&&& .16、已知 为双曲线 的两个焦点， 为双曲线右支上异于顶点的任意一点， 为坐标原点．下面四个命题（　　　）.Ａ． 的内切圆的圆心必在直线 上；Ｂ． 的内切圆的圆心必在直线 上；Ｃ． 的内切圆的圆心必在直线 上； Ｄ． 的内切圆必通过点 ．其中真命题的代号是&&&&（写出所有真命题的代号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分12分)椭圆 的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且　|P F1|= ,| P F2|=& ，P F1⊥PF2.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程.18、 (本小题满分12分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案是：如图，航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 轴为对称轴、& 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为 . 观测点 同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：若航天器在 轴上方，则在观测点 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？19、 (本小题满分12分)已知两定点 ，满足条件 的点 的轨迹是曲线 ，直线 与曲线 交于 两点.如果 ，求直线AB的方程。 20、(本小题满分12分) 如图，双曲线& 的离心率为 ． 分别为左、右焦点， 为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且 ．（1）求双曲线的方程；（2）设 和 是 轴上的两点，过点 作斜率不为0的直线 ，使得 交双曲线于 两点，作直线 交双曲线于另一点 ．证明直线 垂直于 轴.21、(本小题满分12分)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF→＝λFB→（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（1）证明FM→•AB→为定值；（2）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．22、 (本小题满分14分) 椭圆Q： （a&b&0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点.（１）求点P的轨迹H的方程；（２）在Q的方程中，令a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0&q&& ），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？
答案详解1. 答案：D． 解：当 时轨迹是以 为焦点的椭圆；当 时轨迹是线段 ；当 时轨迹不存在．故选D. 2.答案：D.　解：∵抛物线方程的标准形式为： ，∴其焦点坐标为 ，故选D.3.答案：A.　解：& 是双曲线，∴ m&0，且其标准方程为 .又 其虚轴长是实轴长的2倍，∴& ，∴ ，故选A. 4.答案：C.　解： 椭圆的中心为 它的一个焦点为 　∴& .　又相应于焦点F的准线方程为 ， ∴& ， ∴ ，∴ ，∴所求椭圆的方程是 ，故选C.5.答案：A.解： a＝5，b＝3，∴c＝4，F（4，0）， e＝ .由焦半径公式可得|AF|＝5－ x1，|BF|＝5－ ×4＝ ，|CF|＝5－ x2，故 成等差数列&U（5－ x1）＋（5－ x2）＝2× &U ，故选A.6.答案：D.　解：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心.&& ∴ &＝6＋2＋1＝9,当且仅当点P与M、F1三点共线以及点P与N、F2三点共线时取等号，故选D.7.答案：C.　解：∵ 而 ,∴A,B分别在双曲线两支上的直线有2条；又∵通径长＝4,∴A,B在双曲线同一支上的直线恰有1条，∴满足条件的直线共有3条. 故选C. 8.答案：C.　解：∵点P(2,1)在抛物线内部，且直线 与抛物线C相交于A,B两点，∴过点P的直线 再过点A或点B或与 轴平行时符合题意，∴满足条件的直线 共有3条.9.答案：B.解：易知点P到直线C1D1的距离为 .由C1是定点, BC是定　　直线.据题意，动点P到定点C1的距离等于到定直线BC的距离.由抛物线的定义,知轨迹为抛物线.故选B. 10. 答案：C.　 解：设过焦点P的弦的两个端点及弦的中点分别为A、B、P,它们在右准线上的射影分别为 、 、 ,则圆心P到准线的距离 ,而圆的半径＝ ,又∵e&1,∴圆心P到准线的距离&圆的半径, ∴圆与右准线相离.11. 答案：A.　解：据题意，直线 的方程为y=x－1, 代入双曲线 的渐近线 方程得 ，设两交点为 ,& 则& ，∴x1+x2=2x1x2.又 ,∴点B为AC的中点，∴2x1=1+x2，解得 ，∴ b2=9，∴ ,∴双曲线 的离心率e= ，选A.12. 答案：B. 提示：设P、Q关于 对称，则可设直线PQ的方程为： 和 联立，消去y得 . △=1+4 ,……①& 又PQ中点 在 上，得 ……②　联立①②，解得 ，故选B.13. 答案： 或 .　解：据题意， 或 ，∴ 或 .14. 答案： .提示：当线段AB过焦点时，点M到准线的距离最小，其值为 .15. 答案：以点 为圆心，以2a为半径的圆. 提示：∵｜MP｜=|F1P|,∴|PF1|+|PF2|=|MF2|=2a,∴点M到点F2的距离为定值2a,∴点M的轨迹是以点 为圆心，以2a为半径的圆.16. 答案：A、D.解：设 的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|－|F2M|＝2a可得（x＋c）－（c－x）＝2a，解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故A、D正确.17. 解：(1) ∵点P在椭圆C上，∴ ，a=3.在Rt△PF1F2中， 故椭圆的半焦距c= ,从而b2=a2－c2=4, ∴椭圆C的方程为 ＝1.(2)设A，B的坐标分别为（x1,　y1）、（x2,　y2）. ∵圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,　 ∴圆心M的坐标为（－2，1）.& 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0. ……（*）&&& 又∵A、B关于点M对称.&& ∴&&& 解得 ，∴直线l的方程为&&& 即8x-9y+25=0.& 此时方程（*）的& ，故所求的直线方程为8x-9y+25=0.解法二：(1)同解法一.(2)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,　 ∴圆心M的坐标为（－2，1）.设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).　由题意x1 x2且&&& ……①　　　& ……②由①－②得&&& 　……③又∵A、B关于点M对称，∴x1+ x2=－4, y1+ y2=2,　代入③得 ＝ ，即直线l的斜率为 ，∴直线l的方程为y－1＝ （x+2），即8x－9y+25=0. 此时方程（*）的& ，故所求的直线方程为8x-9y+25=0.18. 解：（1）由题意，设曲线方程为& ， 将点D(8,0)的坐标代入，得 . ∴& ,&&& ∴& 曲线方程为& .&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& && （2）设变轨点为C(x,y)，根据题意可知 　　将（２）代入（１），得4y2-7y-36=0，解之，得y=4（y=-9/4舍去），于是x=6，所以点 C的坐标为（6，4）． 所以 , .因此，在观测点A、B测得离航天器的距离分别为 时，应向航天器发出变轨指令．& 19. 解：由双曲线的定义可知，曲线 是以 为焦点的双曲线的左支，且 ，∴ ， 故曲线 的方程为 .& 　设 ，由题意建立方程组 消去 ，得 .&已知直线与双曲线左支交于两点 ，∴&&&&&& ∴ .又∵&& & ，依题意得&& ，& 整理后得& ，∴ 或&& 但&&& ∴ ，故直线 的方程为 .
20. 解：(1)根据题设条件， &设点 则 、 满足&&& ∴可解得 ，& 　　　&&由 得 于是& 因此，所求双曲线方程为 .（2）设点 则直线 的方程为& &于是 、 两点坐标满足 　　　 &将①代入②得 &由已知，显然 于是 　　& ∴ 　同理， 、 两点坐标满足& 　　可解得 &所以 ，故直线DE垂直于 轴.21. 解：(1)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF→＝λFB→，得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，∴ －x1＝λx2&&&&&& ①1－y1＝λ(y2－1)& ②将①式两边平方并把y1＝14x12，y2＝14x22代入得　y1＝λ2y2&& ③由②、③得y1＝λ，y2＝1λ，∴x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4.又 抛物线方程为y＝14x2，∴y′＝12x．∴过抛物线上A、B两点的切线方程分别是：y＝12x1(x－x1)＋y1，y＝12x2(x－x2)＋y2，即y＝12x1x－14x12，y＝12x2x－14x22．由此可得两条切线的交点M的坐标为(x1＋x22，x1x24)＝(x1＋x22，－1)．& ∴FM→•AB→＝(x1＋x22，－2)•(x2－x1，y2－y1)＝12(x22－x12)－2(14x22－14x12)＝0，∴FM→•AB→为定值0．　　　&　(2)由(1)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝12|AB||FM|．又|FM|＝(x1＋x22)2＋(－2)2＝14x12＋14x22＋12x1x2＋4＝y1＋y2＋12×(－4)＋4＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．又据抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2．∴S＝12|AB||FM|＝ (λ＋1λ)3，由λ＋1λ≥2知S≥4，当且仅当λ＝1λ　即λ＝1时等号成立，∴ 4． 22. 解：如图，（1）设椭圆Q： （a&b&0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则 1°　当AB不垂直x轴时，x1¹x2，（1）－（2）得　b2（x1－x2） 2x＋a2（y1－y2） 2y＝0，∴ &，∴b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）2°　当AB垂直于x轴时，点P即为点F，适合方程（3）.故所求点P的轨迹H的方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0.（2）因为椭圆Q的右准线l的方程是x＝ ，原点距l的距离为 ， c2＝a2－b2，又a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0&q& ），∴ ＝ ＝2sin（ ＋ ）.∴当q＝ 时，上式达到最大值，此时a2＝2，b2＝1，c＝1，D（2，0），|DF|＝1，从而椭圆Q的方程为 .设椭圆Q上的点 A（x1，y1）、B（x2，y2），则三角形ABD的面积S＝ |y1|＋ |y2|＝ |y1－y2|.又设直线m的方程为x＝ky＋1，代入 ，得（2＋k2）y2＋2ky－1＝0，由韦达定理得y1＋y2＝ ，y1y2＝ ，∴4S2＝（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4 y1y2＝ .令t＝k2＋1³1，得4S2＝ ，当且仅当t＝1，k＝0时取等号，∴当直线m绕点F转到垂直x轴的位置时，三角形ABD的面积最大.
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