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非传统数论研究——费尔马猜想、PRC猜想、哥德巴赫猜想、斋藤慎二猜想等四个猜想的同时证明
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非传统数论研究——费尔马猜想、PRC猜想、哥德巴赫猜
官方公共微信王元一个数学家的荣辱观
　来源：中华读书报　作者:本报特约记者　杨虚杰
“人们对数学家有某些怪异的看法，例如有人列出了当数学家的如下理由：从楼上砸下一个西瓜，会有九个经理被砸着，而一个数学家都不会有；当利息或税率调整时，数学家是算得最清楚的一个；数学这个职业是投资回报率最高的职业之一，因为它的投入只有一支笔加几张纸；数学家永远不会像发明家那样被专利困扰，他不怕有假冒伪劣产品出现；当数学家犯了常识性错误时（比如走路撞墙、洗衣服用味精），人们给予的往往是表扬而不是批评……”，这是张九庆所著《自牛顿以来的科学家》的一段话，当他说明他为什么将数学家作为单独一章来介绍时，他认为“在一般人看来，数学家是比科学家更加令人难以琢磨的一个群体”。 无疑，发表于30年前的徐迟的那篇著名的报告文学《哥德巴赫猜想》，加深了人们对数学家的这种认识。时过境迁，当我们今天走近中国哥德巴赫猜想研究重要当事人之一，为哥德巴赫猜想证明做出重要工作的中国科学院院士、数学家王元先生时几乎颠覆了我们心目中既有的数学家的印象。他说，“数学家不怪才正常”。数学王国的故事与现实总是格格不入，因为演绎着很多神童与天才的故事；数学王国又有着江湖征途的色彩，英雄们用孤独与决绝智慧进行着一个人的战斗。它离我们那么近，每个人都从小时习之并享受着他的成果；它离我们又那么远，当代纯粹数学的最前沿研究全世界没有几个人看得懂。王元院士，50多年前由著名数学家华罗庚先生引领开始解析数论研究，并以证明哥德巴赫猜想中的“2+3”奠定了中国研究的基础。也成为王元先生自己数学研究的起点。半个多世纪过去了，老师华先生已经做古，因哥德巴赫猜想而共同荣获国家自然科学一等奖的两位同仁陈景润与潘承洞先生也已告别。漫漫征程，今天，令人激情澎湃的数论研究还在吸引着王元。只不过，他不再厮杀，而是指点后生如何欣赏它的精妙。在最新（2008）出版的德国期刊《数学评论》中，在列举了王元先生50年代、六七十年代以及80年代等每个阶段有意义的工作后，写到：王元先生是现代中国在数学发展中有影响力的重要人士。并评价王元先生的部分论文有重大的特殊的贡献。王元先生在给记者的留言中写到，此评价与我生前的荣辱无关。还记得，王元先生在《华罗庚》一书的最后曾经写过这样一段话：“对于一个百年之后的数学家，人们只需要知道他数学的贡献是什么，不会再有人管他的出身、爱好、经历与荣辱了。除了学问外，一切的一切都是无足轻重的。”这，真有数学江湖的悲壮意味。天赋与激情如果以现在的教育观点看，王元先生至少在上大学之前还是个平平的学生。他于1930年出生，上小学的时候正赶上兵荒马乱的日本侵华战争，在逃难中读了并不完整的小学，初中时考上了较好的四川的国立第二中学，表现仍旧没有可圈可点之处。高中一年级时抗战胜利，王元回到南京，这个五光十色的城市一下子吸引了这个十五六岁的少年。“高中两年光顾着玩了”，王元先生说，所以，高考时他并没有考上一所最好的学校。1948年，王元在浙江英士大学数学系读了一年书后，该校并入浙江大学。这时，家人都离开南京去了台湾，也许是世事变化，使他一下长大了，而浙大的氛围却唤醒了他内心沉睡着的对数学的兴趣，从此他开始认真学习。很快他发现浙大数学教学的特点―――考试绝不仅局限书本和笔记的内容。发现这个窍门后他自学教材，不仅成绩上来了而且培养了自学的能力，为他今后在数学领域不断攀登做了准备。有报道说，“浙大是我国老一辈数学家陈建功、苏步青多年执教的地方，数学教育卓有传统。二位教授自30年代起就坚持办高年级学生读书讨论班，对于培养学生独立科学研究的能力极有帮助。浙大的教学环境激发了王元对数学真正的兴趣。大学四年级时他在读书讨论班上报告了A?E?英哈姆的《素数分布论》。”1952年，王元大学毕业了，被分配到中国科学院新成立的数学研究所，在这里他遇到华罗庚，并成为他数学生涯中重要的转折。当时，华罗庚建立的数学所成立了微分方程与数论两个组，华先生在数论方面成绩卓著，有优先发展的考虑。与王元先生同期分配来的有4个人。华先生则采用美国“Inter鄄view”的方式来考他们。一天，在华先生主讲的“数论导引”讨论班上，他给出一道题的一般证明，并给出了上界，让他们几个回去以后给出下界报告，一个星期以后交卷。王元说，这种美国式考试很不简单，他印象中只有两个人交了卷。他是花了3天时间完成的，并且比华先生的上界证明方法更简便。几天以后，华罗庚要王元到他的数论组去。王元说，与华先生做数论并不是他的初衷，在上大学时，他对数论有些许了解，他最想做的是泛函方程。考虑几天之后又加上其他老师的劝说，他才同意去做数论研究。多少年以后，王元与潘承洞等人创建了中国的数论学派。回顾跟随华先生共同经历30多年的风雨历程，他说，“现在看来，当时我做了一个正确和幸运的选择。”后来的经历虽然众所周知，但是也有鲜为人知的一面。下面是王元先生的自述：当时（1952年）我是一个22岁的青年，研究这样难的问题，能行吗？弄不出成果怎么办？但强烈的爱国心使我把个人得失放在一边，毅然地向这一难题进攻了。从1920年以来的有关文献，不管是英文，俄文，德文，意大利文，能找到的，我都查了出来。然后，认真分析其中的思路及可能存在的欠缺之处。意大利文我不懂，就从数学式子去猜测文字的含义。为了工作，我忘了星期天。累了，就伏在桌子上休息一下，有时工作到东方发白才去休息。记得有几次，一直工作到病倒了，才强迫自己休息几天。 就这样，一连苦干了两年，但是什么成果也没有取得。我动摇了，自卑了，怀疑自己没有研究哥德巴赫猜想的天分，还不如做点力所能及的工作。正在这时，我偶然用筛法取得了一些别的成果，并获得好评。于是，我放弃了对哥德巴赫猜想问题的研究。这时，华罗庚先生严肃地批评了我：“你要有速度，还要有加速度。”所谓速度，就是要出成果，加速度就是成果的质量要不断提高。“你不要再做这些小问题了，你要坚持搞哥德巴赫猜想。” 我为自己的动摇而惭愧，决心重新振作精神干下去。终于在1955年证明了“3+4”，这就第一次打破了布赫夕塔布在1940年的记录“4+4”。以后，我把我用的方法加以改进，证明了更强的“3+3”与“2+3”。 1957年，王元先生发表论文的时候仅27岁，作为当时新中国成立以后的重要科学成果，《中国青年报》做了整版的报道。1960年，王元先生看到新出版的原苏联数学家布赫夕塔布写的教科书《数论》第358页上写道：“王元在1958年成功地证明了定理347。每一个充分大的偶数2N都可以表成n+n’，其中n的素因子个数不超过2,而n’的素因子个数不超过3（即“2+3”）。”他，激动得热泪盈眶，浮想联翩。“总算为国家做出了一点贡献”。我们看过太多数学界天才的故事：高斯、彭加勒等等，那么王元怎么看待数学研究的天赋问题呢？华罗庚是天才么？陈景润是天才么？他自己是天才么？王元先生答曰，天才不是自封的，而是有公论的。他认为自己绝不是天才，而陈景润对哥德巴赫猜想1+2的证明曾被称为“天才的证明”，而华先生，“在正式出版物中没有表述他是天才的印象。”乌拉姆曾经说：数学上的天才和智者很难定量地确定……很大程度上不仅仅取决于脑。肯定有我所称的“内分泌因素”或品格特征，或者有些人叫做“激情”的东西。所以，在这种激情下面任何辛勤和艰苦都是一种享受吧。孤独与求索很多人谈到过数学这个学科与其他自然科学的研究方法的不同：数学和其他自然科学的研究方法也不一样。数学是在某种公理基础上进行逻辑推理的学科。自然科学，像物理、化学、生物等，通过一系列的实验，进而归纳得出结论。而数学研究还有两个特性：一是很少团体工作，虽然“数学的交流很频繁，很重要，这种交流包括面对面地交流和看别人的东西”，但是在具体问题的解决过程中，一定更多依赖个人的智力和思考，二是像纯粹数学研究都是数学家们在很年轻的时候作出的成果，那么，在未来的漫长岁月里，不能再出成果的可能会像阴影一样笼罩着这些数学家。王元在解析数论研究获得成就后，50年代后期与华罗庚合作开始研究数论在多重积分近似计算方面的应用，1973年证明了用分圆域的独立单位系构造高维单位立方体的一致分布点贯的一般定理，此方法在理论上和实用上都获得了很大成功，被国际学术界誉为“华-王方法”；同时于1981年出版了英译本《数论在近似分析中的应用》专著，对此领域的工作作了系统总结，产生了广泛的国际影响。1980年以后开拓了代数数域上的堆垒数论的新的探索领域（此系涉及解析代数数论中极为困难和基础性问题的精深领域），同时证明当代数数域K为全虚域时定理对偶数次型仍成立；此后又在代数数域上型（即齐次多项式）的丢番图不等式组的研究等方面做出了先进的工作，并将这一领域的工作总结成专著《代数数域上的丢番图方程与不等式》。用英文在国外出版。谈到另辟新的学科，王元先生说道：　　1958年，我们注意到苏联科学院1957年工作总结中提到数论在多重积分的近似计算中的应用。华罗庚先生提出了用代数数论来研究多重积分的近似计算。这一问题有重要的理论与实际意义。他要我跟他一起去尝试。对华罗庚先生来说，开辟一个新的研究方向是经常的，他总是不满足现有的理论和方法，总有很多超前的高瞻远瞩的思想。但对我来说，则意味着过去熟悉的知识和经验基本上都用不上了，许多东西要从头学起，一切都要另起炉灶了。当时，我连最简单的连分数也不掌握，如何当好他的助手呢？怎么办？是沿着已经熟悉的老路走，还是趁自己年轻的时候，另辟新路，在另一个领域也做出贡献呢？我毅然选择了后面这条更为艰难曲折的道路。这个课题，除需要很多数学知识外，还需要电子计算机。不懂，就从头一点点地学，一点点地将问题的研究逐步深入下去。当时计算机还很少，我们就尽量用笔算。完全不能用笔算时，才用计算机算。 这就是他们后来做出成就的“华―王方法”。王元先生说，做科学是极端残酷的，80%的人一辈子默默无闻没有做出来。其中很多人都要经历一个漫长的“苦闷关”，做出来就好了，做不出来时人会有要疯掉的感受。做完哥德巴赫猜想“2+3”的证明后，王元很清晰地意识到没有大的方法上的突破，在这一问题上很难再有进展，于是，他想好了退路：这个成果够我“用”五年时间的，五年以后，我做不出来，就去大学教书了，哪怕是一所外地的三流大学。1980年，王元先生当选为年轻的中国科学院院士，那一年他50岁，也许，对于其他学科的科学家来说，这个年龄还可以有很多突破，但是王元深知，他必须有所选择地分配自己的时间，他认为再发那些无聊的论文和文章已经不合算。所以，他开始通过数学研究，进一步关注到数学的本质，数学和数学家在教育、社会和人类发展中的影响，将数学这门科学通俗解析，让大众感受数学中的乐趣。他将关于这方面的思考部分汇集在论文集《王元论哥德巴赫猜想》、《华罗庚》传记、《王元文集》和《华罗庚的数学生涯》等书中。《华罗庚》可以说是王元科普创作的代表作，他花费八、九年，写了这本数学家的传记。一位著名的数学家来写另一位著名数学家的传记，这在国内外是不多见的。但是，就是到现在王元先生依旧保持着对数学研究的关注，而且是对最前沿领域的关注，这里不得不讲讲2006年获得菲尔茨奖的数学家澳大利亚籍的华人陶哲轩的故事和45岁的华人数学家、哥伦比亚大学教授张寿武的故事。原来，早在陶哲轩获奖之前，在两次中国数学界的集会上，王元都讲到陶哲轩有一篇很好的、可能得到菲尔茨奖的论文。他告诉大家这篇论文引用了陈景润的论文，可以认为中国与世界上最重要、最尖端的成就有关系，这是真正非常重要的。可惜，他的话当时未引起多大的关注，待陶哲轩真的获奖后，大家才惊讶于王元先生的“先知先觉”，原来早在1年多前，王元就注意到了贴在网站上的陶哲轩的这篇文章，“我根本想不到还能证明这个伟大的问题”，王元说，并不止一次地鼓励优秀的年轻人去读这篇文章。他说，“无论如何，陶今天已经是一个明星了，在国内大家都知道他获得了菲尔茨奖，但绝大多数人包括数论学家在内，极少有人知道他的这项伟大证明究竟讲的是什么，以及这项工作与中国数学家的关系。”去年，美国哥伦比亚大学数学家张寿武教授应邀在中国科学院晨兴数学中心作了首场“丘镇英学术讲座”。对于张寿武来说，这里并不陌生，20多年前，他作为王元先生的硕士生从这里毕业，远赴美国读博士学位，现在已经是国际数学界炙手可热的人物，是下一代的领袖数学家。可是，他每次报告后都要感谢王元先生，原来，王元老师做他的导师时，并没有要求他跟着老师的方向做，而是告诉他该怎样做研究，让他自己搞。王元说，“跟着我搞可能就没出息了”。“其实后来他是我的老师，我不愿意吃老本，希望知道很多新的东西，所以，我后来总是向他请教。”王元先生说，“我到现在仍然有忧患意识”，就是做了心脏手术以后，依然没有停下对数学前沿的关注，这使得他现在还能够与学生们一起探讨费马大定理，一起讨论世界上最好的数学是什么样的。“如果这些都不懂了，名气再大，一钱不值，今天的数学家就没有什么必要与你再来往了”。修养与眼光很多人都对王元有这样的疑问：为什么王元有这么大的成就，但在国内的名气却没有那么大，是不是因为他的老师是华罗庚，他的同事是陈景润，他们的光环遮住了王元？王元却不这样想，在后来的日子里，王元先生作为见证人在任何场合都不遗余力地讲述华先生的伟大和陈景润的贡献。在接受记者采访时他说：“（陶哲轩）他们的论文中引用了陈景润的文章，这表明认为中国与世界上最重要、最尖端的成就有关系是有真凭实据的。”“陶哲轩是最好的数学家之一，这个全世界都知道，他的论文中引用了陈景润40年前所做的工作。陈景润伟大在什么地方呢？这么伟大的工作都引用了他的文章，怎么不重要？这可比徐迟的《哥德巴赫猜想》不知要重要多少倍。”这就是王元先生。丝毫没有公众心目中数学家的“怪”，王元曾经翻译过一本写数学家爱多士的传记《我的大脑敞开了》，被称为数学怪才的爱多士在王元看来也不怪，而且颇近人情。“那一年他来北京的时候，要去家里看望中国的数学家柯召先生，得知柯先生有一个孙女时，就请我代买了一块巧克力糖，然后又自己送去”，王元说，“陈景润的怪与当时的政治气候有关，现在不是怪的人越来越少了么？数学家不怪才是正常的。”的确，就像我们经常被某些外在的东西迷惑一样，我们怎么也看不出王元先生年轻时的一个爱好，就是1945年在南京读高中的两年间看了大量的经典电影：《翠堤春晓》、《战地钟声》和《王子复仇记》等。同时，王元非常喜欢阅读文学作品，看了大量屠格涅夫和契诃夫等人的东西。他非常看重这段经历的宝贵，“它们的力量很大，一个人搞科学研究特别是搞数学，你怎么知道什么是好的什么是坏的，对好的数学的判断都是从这个地方得来的”。王元曾有关于数学的美的论述：“数学的评价标准和艺术一样，主要是美学标准。美学标准对物理科学也很重要，但对数学，它是第一标准。”据说，王元先生从小爱好广泛，无论音乐书法绘画都有兴趣，后来为了搞数学，“把他们像戒烟一样戒掉了”。65岁那年，他开始捡起书法这一放了很多年的爱好。以数学家的风范学习任何东西大概都不难吧，现在，王元先生的书法已成气候，据说某机构曾经为他的作品定价，以“不卖字”为原则的王元先生已经给很多学校的数学院题写牌匾。王元先生说，是不是一个真正的科学家并不是看你是不是一个院士，懂一点数学史的人都知道，在数学界评价一个人，是根据你的工作做出的，你生前有再多的桂冠，死后可能人家早就忘掉了，而不到27岁就病逝的挪威天才数学家阿贝尔，在他死后依然在数学界有崇高位置。不要在乎眼前的荣誉，关键是你做了什么
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著名数学家王元：我这辈子内疚两件事(组图)
.cn 日&14:36 北京科技报
王元：我这辈子内疚两件事他为华罗庚立传记　他为陈景润审论文
　　人物连线
　　王元，著名数学家，中国科学院院士。他首先在中国将解析数论中的筛法用于哥德巴赫猜想的研究，1957年证明了2＋3，这是中国学者首次在这一研究领域跃居世界领先地位。其后，他与华罗庚合作致力于数论在近似分析中的应用，他们于1973年证明的定理被国际学术界称为华-王方法。他以弟子和同事的身份撰写的《华罗庚》一书也在国内外获得广泛赞
　　凌晨4点半，曙色和大多数人一样仍在沉睡，中关村小区内的一个老人已经起身。一小时后，天色渐明，伴着“刷、刷”有节奏的扫街声，老人研墨、铺纸，开始悬腕练字。又一小时，搁笔。
　　7点半钟，老人已经从家走到了中国科学院基础科学园区的数学与系统科学研究所大楼前。电梯直升6层，老人推开一间小屋的门，开始了一天的工作。门上的铭牌刻着一个名字：王元。
　　说到哥德巴赫猜想，很多人都会先想到陈景润。但是这两个名字却都和王元紧密相连。作为一个73岁的老人，王元院士的生活已经非常规律。现在他每天练字一小时、研究数学2至3个小时，散步1小时，这些内容基本是固定不变的。
　　但是在他26岁的时候，生活却完全不是这样。“那个时候是在打攻坚战嘛，像初生牛犊一样硬冲，一天可以干16个小时的活。我的办公室和寝室是合一的，工作累了就睡一会儿，有时候直接趴在桌上就睡了”。王元提到的年代正是他师从华罗庚先生，研究哥德巴赫猜想的时候。有人说：自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论。而哥德巴赫猜想，则是皇冠上的明珠。为了摘取这颗明珠，自哥德巴赫猜想提出后，250年来尽管曾有人悬赏100万美元求证明，但始终没有人成功。
　　在中国，华罗庚先生早在20世纪30年代就开始研究这个问题。1952年，他在中国科学院数学研究所还组织并领导了“哥德巴赫猜想讨论班”。于是，作为华先生的得意弟子，王元也开始日以继夜地“啃”这块硬骨头，先是证明了3+4，后又于1957年证明了2+3。后来，陈景润调入数学所后，终于证明了1+2，取得了世界上关于证明哥德巴赫猜想的最好成果。而这一结果最终得以蜚声世界也是得益于王元先生对陈景润论文的审阅。由于陈景润不善言辞，也不爱与人交往，因此和同行私交不多。但是要探讨论文的问题时，他还是愿意来找华罗庚和王元。1972年，当他证明1+2的论文写成后，交给王元。陈景润讲到一个公式，王元有疑问，就请陈景润解释，再发现问题就再请他解释。这样从早到晚，问答式的审阅一直持续了3天。王元感到“他是对的”，就立刻为陈景润写了审查意见。
　　但由于“文革”期间这类研究被视为“封资修”，王元仅仅在评审意见中写了“未发现证明有错误”这句话。尽管后来由于论文通过他的审查使得陈景润的结论震惊了整个数学界，但王元一直为当时没能充分评价陈景润而感到非常内疚。
　　由于在26岁的时候就在数学方面做出了巨大的成果，王元一直为人所尊敬。即使是在他还很年轻的时候，就开始有人称呼他为“元老”。王元把充满激情、坚持奋斗的青春献给了哥德巴赫猜想。接下来，他又做了几件自己想做的事情。
　　年过半百之后，王元开始着手完成华罗庚的遗愿：为他写一部传记。
　　1952年，王元自浙江大学毕业后，被陈建功和苏步青教授推荐到刚刚成立的中科院数学所，师从华罗庚先生研究数论。此后的32年间，他们成了亦师亦友的绝妙搭档。华罗庚也曾在一张字条上写着“我被王元拉上一条路。我对蒙特卡洛方法的一知半解就是在年轻人的帮助之下学来的。真是多年师生成兄弟，共同学习共钻研。”
　　王元曾经说过要为华罗庚先生立传。1985年，华罗庚去世前一年，他把王元叫到家中，递给他一张纸。纸上是他自己拟的一份提纲，让王元参考。华罗庚去世后，王元感到自己责任重大，于是着手写作，把一个两三万字阐述华罗庚学术思想的提纲扩充成了一本40万字的《华罗庚》。
　　书中特别提到了发生在1966年“文革”期间的一件小事。当时数学所开批判会批判华罗庚，几千人参加。会议组织者让华罗庚的几个学生联合发言，指定由王元来讲。尽管内容仅是重复大字报的内容，而且后来华罗庚本人也忘了这件事，但是王元自己在书中写道：“虽然他也忘了，但作为学生对恩师的攻击，即使是为了保命，亦终究是可耻的。”直到现在，每当想起这件事，王元就觉得无限的内疚。
　　传记既成，65岁那年，王元开始重新盘点自己的诸多爱好，最后决定练习书法。他用要求数学的标准要求着书法。对于“什么年纪做什么事”这种说法,王元先生深信不疑。虽然从20岁到65岁整整45年间“没有碰过艺术”,但自从决定重拾爱好以来,他还是选择了书法。
　　“当时我对绘画、文学都很感兴趣，但是传记写完，我觉得自己的积累已经都用完了。而和绘画比起来，我还是觉得练习书法还可以达到一个比较满意的水平。”王元先生说。
　　对于他们这些在解放前读过私塾的一辈人来说，小时候只有用毛笔。但是当时条件差，“连一本好一点的字帖都找不到，只能用一本破字帖，结果字都写坏了”。上大学以后用铅笔、钢笔，就是再也没碰过毛笔。
　　既然决定“重拾旧爱”，王元就给自己制定了计划：隶、篆略去不练，直接按照楷书、行书、草书的顺序写。颜柳欧赵的字帖他也一一对临。
　　现在，他已经拥有30支毛笔、5个砚台、数十种字帖，自己喜爱的二王全集也经常摆放在枕旁，随时翻阅。今天王元先生的行草已经颇有名气，经常有人上门求字了。
　　王元先生并不是像小学生习字那样只求美观，他还追求笔意，并且从书法艺术中体会着数学与艺术的相通之处。和其他书法家经常谈到的行云流水、任意狂放不同，王元先生认为书法也是严谨的。特别是草书，再随性地书写也要遵守笔画勾连的一定之规，否则就不成其为草书了。
　　“数学之美就在于简单。虽形式简单，但是证明起来却很难，很神秘。书法虽是纯粹的艺术，但是也要严谨严格，然后才是狂放。同样一个字，楷书就那么几个笔画，但草书就变化很多。数学和书法是有相通之处的。”他说。就像练习书法一样，即使是在攀登数学高峰之后的日子里，73岁的王元先生也保持着一个数学家严谨的品格。秋天的一个傍晚，王元先生和夫人走进科学院南路一家十几平方米的饺子馆。就着氤氲的热气，记者上前打招呼：“您也来这儿吃啊？”王元笑道：“我的口味很杂，这附近的馆子都吃过了。”记者心中突然闪过一个“大不敬”的想法：吃饺子？真是心里有数啊！
　　哥德巴赫猜想
　　这个猜想是德国人哥德巴赫在1742年写给大数学家欧拉的信中提出的。内容是：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。素数也叫质数，他是这样一类正整数，即除了1和他自身之外，不能分解为其他整数的乘积。哥德巴赫猜想可以简化为公式：2N=P1+P2，或者1+1。
　　王元证明的2+3是表示：每个充分大的偶数都可以表示成至多两个素数的乘积再加上至多3个素数的乘积。其缺点在于两个相加的数中，还没有一个肯定为素数的。陈景润在对筛法作了新的改进之后，终于证明了1+2。但是最后一步1+1直到现在也没有被证明。
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