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如何求解这样一个复杂的三重积分？
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新手, 积分 12, 距离下一级还需 38 积分
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本帖最后由 苦逼青年 于
19:54 编辑
如图片所示，需要求解这样一个三重积分，积分变量从最外层到最内层分别为r,y,theta,其他参数均已给定。之前尝试过如下几种方法都不行：1. 利用int函数求解，由于最内层的积分上下限很复杂，包含三角函数和最外层的积分变量r,matlab求不出解析解，从而不能获得最终结果。
2. 利用定积分函数，定积分函数要求积分变量的上下限均为已知，在这里显然不适用。
3. 最后，我采用了一种近似的方法： 对于最内层的函数，分别先给定一个r和theta，然后利用quadl函数求解。
用第三种方法可以求解结果，但是发现跟想象中的差很多，不知道是不是理解不对，求大神帮忙看看哪里有问题，或者是否有更好的方法。不甚感激。程序代码如下：
function x = Pds_exact()
a&&= 2.548*10^(-5);
f = @(r) (exp(- a.*KK(r)));
x = quadl(f, 0, 200);
function [kk] = KK(r)
alpha = 4;
ls = 200;
c = 40;
n = length(r);
kk = zeros(1,n);
for i = 1:1:n
& & h = @(y) (y./(1+c.*(y./r(i)).^alpha));
& & for theta = 0:pi/100:pi
& && &&&a = quad(h, sqrt(ls.^2-(r(i).*sin(theta)).^2)+r(i).*cos(theta), ls + r(i));
& && &&&kk(i) = a + kk(i);
& & end
end
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你可以将内部二重积分先单独计算，可以用 quad2d 或 integral2 函数，但这个积分结果你必须定义为关于 r 的向量化函数（用arrayfun对 r 做向量化扩展），将这个二重积分结果再对 r 做一重积分即可。注意一点是：你这里全部是数值计算，没有任何符号计算，所以，不要再出现syms 跟数值计算混合的现象了
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本帖最后由 苦逼青年 于
10:24 编辑
你可以将内部二重积分先单独计算，可以用 quad2d 或 integral2 函数，但这个积分结果你必须定义为关于 r 的 ...
刘老师，您好！多谢您的回复。昨天看了您的介绍，很庆幸跟您是校友，我也是西电通院的，最近在读博士。由于对MATLAB中的积分运算用的不多，所以感觉很棘手。根据刘老师的回答，我对代码进行了修改。但是下面不知道应该如何使用arrayfun函数，因为这里我的r的范围是[0，INF]，不知道如何量化？不知老师能否将代码帮我补充一下？万分感激！最近在赶一篇论文，在这里磕了一周多了。
alpha = 4;
fun = @(theta,y) y./(1+c.*(y./r).^alpha);
ymin = @(theta) sqrt(ls.^2-(r.*sin(theta)).^2) + r.*cos(theta);
Q = quad2d(fun,0,2*pi,ymin,ls+r);
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刘老师，您好！多谢您的回复。昨天看了您的介绍，很庆幸跟您是校友，我也是西电通院的，最近在读博士。由 ...
你的代码基本上差不多了，就差arrayfun扩展了
alpha = 4;
a&&= 2.548*10^(-5);
fun = @(theta,y,r) y./(1+c.*(y./r).^alpha);
ymin = @(theta,r) sqrt(ls.^2-(r.*sin(theta)).^2) + r.*cos(theta);
Q = @(r) arrayfun(@(r) integral2(@(theta,y) fun(theta,y,r),0,2*pi,@(theta) ymin(theta,r), ls+r),r);
A = quadl(@(r) exp(-a*Q(r)), 0, ls)
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你的代码基本上差不多了，就差arrayfun扩展了
刘老师，太感谢了。这次可以成功运行了。解决了困扰我好多天的难题了，雪中送炭啊。我会根据您写的例子将arrayfun函数的用法好好学习下。 祝刘老师工作顺利，家庭幸福。
另外我运行了一下，由于我的是R2011a版本，还不支持integral2函数，所以我使用了quad2d，但是弹出了如下警告！ 这是怎么回事呢？
Warning: Reached the maximum number of
function evaluations (2000). The result fails
the global error test.
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刘老师，太感谢了。这次可以成功运行了。解决了困扰我好多天的难题了，雪中送炭啊。我会根据您写的例子将 ...
这个是一个警告，matlab数值积分quad2d是自适应积分，当积分精度不达标时，会取更多的点来计算。当取点数超过一定的MaxFunEvals，就会提示警告信息。默认的 MaxFunEvals 是2000，你可以自行设置大一些的 MaxFunEvals数值，以允许更多的计算。方法是：
Q = @(r) arrayfun(@(r) quad2d(@(theta,y) fun(theta,y,r),0,2*pi,@(theta) ymin(theta,r), ls+r, 'MaxFunEvals', 20000),r);
不过，我试了一下，改大后依然提示警告。但是警告不是错误，未必代表结果不对，这里的积分是否精确，取决于误差是多少，由于quadl不能返回误差估计，我换成了quadgk函数：
alpha = 4;
a&&= 2.548*10^(-5);
fun = @(theta,y,r) y./(1+c.*(y./r).^alpha);
ymin = @(theta,r) sqrt(ls.^2-(r.*sin(theta)).^2) + r.*cos(theta);
Q = @(r) arrayfun(@(r) quad2d(@(theta,y) fun(theta,y,r),0,2*pi,@(theta) ymin(theta,r), ls+r),r);
[A,errbnd] = quadgk(@(r) exp(-a*Q(r)), 0, ls)
&&187.2123
& &1.2054e-09
尽管此时会有警告，可以看出，误差在10的负9次方数量级，这个精度应该是满足要求的
另外，你的版本如果是不低于2012a的话，可以用integral2、integral函数
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这个是一个警告，matlab数值积分quad2d是自适应积分，当积分精度不达标时，会取更多的点来计算。当取点数 ...
刘老师回答得很细致，这个误差已经很小了，完全够用了，又学了一招。多谢刘老师。我还是装一个最新版的matlab，这样很多最新的函数就都可以用了。
另外一个问题，我发现我的matlab中注释只能写英文，如果用中文，下次打开时会乱码。不知道刘老师有没有遇到过这种情况？
再次感谢。
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关注者： 405
刘老师回答得很细致，这个误差已经很小了，完全够用了，又学了一招。多谢刘老师。我还是装一个最新版的ma ...
你检查一下你preferences设置里关于fonts部分
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本帖最后由 苦逼青年 于
15:19 编辑
你检查一下你preferences设置里关于fonts部分
刘老师，我又对上个帖子进行了修改，发现原因是两个函数句柄之间不能进行加减乘除的操作。如果需要先对两个函数进行四则运算，最后再对变量求积分，该如何操作？代码和错误提示如下：
alpha = 4;
a&&= 2.548*10^(-5);
C_ds = 6.0*10^(-5);
lamda_d = 1.27*10^(-5);
beta = 0.025*(r/(200+r))^
fun1 = @(u,r) beta^(2/alpha)/(1+u^(alpha/2));
xmin = @(r) beta^(-2/alpha);
P = @(r) arrayfun(@(r) quad(@(u) fun1(u,r),@(r) xmin(r),inf),r);
fun = @(theta,y,r) y./(1+c.*(y./r).^alpha);
ymin = @(theta,r) sqrt(ls.^2-(r.*sin(theta)).^2) + r.*cos(theta);
Q = @(r) arrayfun(@(r) quad2d(@(theta,y) fun(theta,y,r),0,2*pi,@(theta) ymin(theta,r), ls+r),r);
[A,errbnd] = quadgk(@(r) (C_ds.*r.*exp(-pi.*lamda_d.*(ls + r).^2.*P(r) - 0.9*10^(-6) - a.*Q(r))), 0, ls);
错误提示如下：
??? Undefined function or
method 'minus' for input
arguments of type
'function_handle'.
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关注者： 405
刘老师，我又对上个帖子进行了修改，发现原因是两个函数句柄之间不能进行加减乘除的操作。如果需要先对两 ...
只是帮你做了语法上的修改，另外，需要说明的是quad不支持积分限为无穷，考虑到你的版本，可以换成 quadgk
alpha = 4;
a&&= 2.548*10^(-5);
C_ds = 6.0*10^(-5);
lamda_d = 1.27*10^(-5);
beta = @(r) 0.025*(r./(200+r)).^
fun1 = @(u,r) beta(r).^(2/alpha)./(1+u.^(alpha/2));
xmin = @(r) beta(r).^(-2/alpha);
P = @(r) arrayfun(@(r) quadgk(@(u) fun1(u,r), xmin(r),inf),r);
fun = @(theta,y,r) y./(1+c.*(y./r).^alpha);
ymin = @(theta,r) sqrt(ls.^2-(r.*sin(theta)).^2) + r.*cos(theta);
Q = @(r) arrayfun(@(r) quad2d(@(theta,y) fun(theta,y,r),0,2*pi,@(theta) ymin(theta,r), ls+r),r);
[A,errbnd] = quadgk(@(r) (C_ds.*r.*exp(-pi.*lamda_d.*(ls + r).^2.*P(r) - 0.9*10^(-6) - a.*Q(r))), 0, ls);
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§9.4&&三重积分的概念及其计算法
一、三重积分的定义
设是空间闭区域上的有界函数,将任意地分划成个小区域&&&&
其中表示第个小区域,也表示它的体积。
在每个小区域上任取一点,
以记这个小区域直径的最大者,
若极限&&&&存在,
则称此极限&#20540;为函数在区域上的三重积分,记作
其中叫体积元素。
自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成。
二、三重积分的存在定理
若函数在区域上连续,&则三重积分存在。
特别指出:二重积分的一些术语、性质可相应地移植到三重积分。
三、三重积分的物理意义
如果表示某物体在处的质量密度,是该物体所占有的空间区域,且在上连续,则和式&就是物体质量的近&#20284;&#20540;,&该和式当时的极限&#20540;就是该物体的质量。
特别地,&当时,
四、三重积分的计算法
假设积分区域的形状如下图所示
在面上的投影区域为,&过上任意一点,&作平行于轴的直线穿过内部,&与边界曲面相交不多于两点。
亦即,&的边界曲面可分为上、下两片部分曲面。
其中&,&在上连续,&并且&。
如何计算三重积分呢?
不妨先考虑特殊情况,则
一般情况下,类&#20284;地有
显然积分只是把看作的函数在区间上对求定积分,&因此,其结果应是的函数,&记
如上图所示,&区域可表示为
综上讨论,&若积分区域可表示成
这就是三重积分的计算公式,&它将三重积分化成先对积分变量,&次对,最后对的三次积分。
如果平行于&&轴且穿过内部的直线与边界曲面的交点多于两个,可仿照二重积分计算中所采用的方法,&将剖分成若干个部分,(如),使在上的三重积分化为各部分区域(&)上的三重积分,当然各部分区域&()&应适合对区域的要求。
例如,求,其中为&&。
将面将区域剖分成上下两个部分区域
【例1】计算,&其中为球面及三坐标面所围成的位于第一卦限的立体。
在某坐标面上的投影区域并画出简图
在面上的投影区域为&
在已知积分变量的变化范围为的情况下,&再确定另一积分变量的变化范围。
在内任取一点,&作一过此点且平行于轴的直线穿过区域,&则此直线与边界曲面的两交点之竖坐标即为的变化范围。
化三重积分为三次积分
§9.5&&利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
对于某些三重积分,由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。
一、利用柱面坐标计算三重积分
1、柱面坐标
设为空间的一点,该点在面上的投影为,点的极坐标为,则三个数称作点的柱面坐标。
规定的取&#20540;范围是
柱面坐标系的三组坐标面分别为
,即以轴为轴的圆柱面；
,即过轴的半平面；
,即与面平行的平面。
点的直角坐标与柱面坐标之间有关系式
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(1)
2、三重积分在柱面坐标系中的计算公式
用三组坐标面,,,将分割成许多小区域,除了含的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。
考察由各取得微小增量所成的柱体,该柱体是底面积为,高为的柱体,其体积为
这便是柱面坐标系下的体积元素,&并注意到(1)式有
&&&&&&&&(2)
(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。
(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量的三次积分,其积分限要由在中的变化情况来确定。
3、用柱面坐标表示积分区域的方法
(1)、找出在面上的投影区域,&并用极坐标变量表示之；
(2)、在内任取一点,&过此点作平行于轴的直线穿过区域,&此直线与边界曲面的两交点之竖坐标(&将此竖坐标表示成的函数&)即为的变化范围。
【例1】求下述立体在柱面坐标下的表示形式
&&球面与三坐标面所围成的立体且位于第一卦限内的部分。
&&由锥面与平面所围成的立体。
在面上的投影区域为&,
其极坐标下的表示形式为&&&&
在的变化范围是&&&&&&,
即&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
在面上的投影区域为&&&,
其极坐标下的表示形式为&&&&&&&&
在的变化范围是&&&&&&&&&&
即&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
【例2】用柱坐标计算三重积分,其中是球体位于第一卦限内的部分。
二、利用球坐标计算三重积分
1、球面坐标
如图所示,空间任意一点也可用三个数唯一表示。
&为原点到点的距离；
为有向线段与轴正向所成夹角；
为从正轴来看自轴依逆时针方向转到有向线段的角度,而点是点在面上的投影点。
规定的取&#20540;范围为
不难看出,点的直角坐标与球面坐标间的关系为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(3)
2、球面坐标系的特点
,是以原点为心的球面；
,是以原点为顶,&轴为轴的圆锥面；
,是过轴的半平面。
粗略地讲,&变量刻划点到原点的距离,即“远近”；
变量刻划点在空间的上下位置,即“上下”；
变量刻划点在水平面上的方位,即“水平面上方位”。
3、三重积分在球面坐标系下的计算公式
用三组坐标面,&,&,将分划成许多小区域,考虑当各取微小增量&&所形成的六面体,若忽略高阶无穷小,可将此六面体视为长方体,其体积近&#20284;&#20540;为
这就是球面坐标系下的体积元素。
由直角坐标与球面坐标的关系式(3)有
(4)式就是三重积分在球面坐标系下的计算公式。
(4)式右端的三重积分可化为关于积分变量的三次积分来实现其计算,当然,这需要将积分区域用球面坐标加以表示。
4、积分区域的球面坐标表示法
积分区域用球面坐标加以表示较复杂,一般需要参照的几何形状,并依据球坐标变量的特点来决定。
实际中经常遇到的积分区域是这样的
是一包围原点的立体,&其边界曲面是包围原点在内的封闭曲面,将其边界曲面方程化成球坐标方程,据球面坐标变量的特点有
例如:若是球体&&,&&则的球坐标表示形式为
曲面的球坐标方程为
【例3】求曲面与曲面所围成的立体的体积。
解:的图形为
下面根据图形及球坐标变量的特点决定的球坐标表示式。
(1)、在面的投影区域包围原点,故变化范围应为；
(2)、在中可由轴转到锥面的侧面,而锥面的半顶角为,故的变化范围应为；
(3)、在&内任取一&#20540;,&作射线穿过,它与有两个交点,一个在原点处,另一个在曲面上,它们可分别用球坐标表示为&及&。
也可以利用柱坐标来计算该立体的体积。
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15.三重积分在球面坐标系下的计算
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15.三重积分在球面坐标系下的计算
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