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高阶导数求教
来源：互联网 发表时间： 16:09:24 责任编辑：李志喜字体：
为了帮助网友解决“高阶导数求教”相关的问题，中国学网通过互联网对“高阶导数求教”相关的解决方案进行了整理,用户详细问题包括:RT,我想知道:高阶导数求教，具体解决方案如下：解决方案1：
是对（1）式求导;)^2 + cos(x+y)(1+y&#39：y' = -sin(x+y)(1+y')') 两边求导得 y'' = cos(x+y)(1+y&#39
提问者评价
明白了 没看清楚 以为是对（2）求导
解决方案2：
此处不是用（2）式再求导，而是用 （1）式再求导 。
解决方案3：
是对(1)式求导，不是对（2）式求导
解决方案4：
没少，是正确的
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京ICP备号-1 京公网安备02号高等数学求这道题的n阶导数？_百度知道为什么exp(x)的导数还是它本身?
发表文章数: 1352 武功等级: 易筋经　　　　　(第二重)内力值: 567/567
为什么exp(x)的导数还是它本身?
请大家解释一下,
不能用泰勒展开哦
问题的起因【棣莫佛定理】
　　复数Z的n次幂(n∈N)的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍，有公式：
　　若Z＝r(cosθ＋isinθ)
　　Zn=〔r(cosθ＋isinθ)〕n＝rn·(cosnθ＋isinnθ)(n∈N)
但我看不出为什么
exp(i θ )＝(cosθ＋isinθ)
《相对论通俗演义》
发表时间：, 01:17:58
发表文章数: 480 武功等级: 空明拳　　　　　(第五重)内力值: 419/419
Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
是复数欧拉公式,证明在教科书上有.
发表时间：, 01:48:29
发表文章数: 1352 武功等级: 易筋经　　　　　(第二重)内力值: 567/567
Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
怎么证明的?
《相对论通俗演义》
发表时间：, 01:52:05
发表文章数: 480 武功等级: 空明拳　　　　　(第五重)内力值: 419/419
Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
把exp(ix)幂级数展开,按实部虚部分开,实部是余弦函数幂级数展开式,虚部是正弦函数展开式.
发表时间：, 03:34:36
发表文章数: 1352 武功等级: 易筋经　　　　　(第二重)内力值: 567/567
Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
如何确定级数展开的系数??
《相对论通俗演义》
发表时间：, 05:49:31
发表文章数: 860 武功等级: 弹指神通　　　　　(第六重)内力值: 343/343
Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
ft，事实上，不如说 f(x) = f'(x) 就是e^x的定义吧，呵呵。
let me tell you the story of e^x... [by john baez, as always]
e^x = 1 + x + x^2 / 2! + x^3 / 3!..........
这个级数展开到底是怎么来的呢？还要追溯到e^x的起源。
我们知道，从一个有a个元素的finite set到一个有b个元素的finite set的morphism有b^x种。那么，什么东西有e个元素呢？Claim: the category of all finite sets has a cardinality of e。
Why? 很简单的，我们以前说过怎么算cardinality: 累加(1/Aut(x))。例如，5个元素的集合除2等于多少？等于2.5〔weak quotient, i like it〕，那么为什么得到的东西的cardinality是2.5？因为 1&-&5, 2&-&4，剩下一个3&-&3是Automorphism，那么就是1/1+1/1+1/2+1/1+1/1〔至少有一个trivial的automorphism〕，那么就是2.5。那么我们看FinSet这个category，那么permutation就是一个Automorphism，order n的finite set有n!种permutation方式。那么，恰好就是1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + .... = e。神奇。
所以e^x就是从FinSet到cardinality = x的set的所有可能的morphism的个数。
但这不够，我们要还考虑导数在这种“荒唐”的思路下到底是什么东西。这个问题先留给你。
发表时间：, 06:55:02
发表文章数: 860 武功等级: 弹指神通　　　　　(第六重)内力值: 343/343
Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
写反了，e^x是从cardinality = x的set到FinSet的所有可能的morphism的个数。
这事实上是为何e^x无处不在的最深层原因。
发表时间：, 06:56:27
发表文章数: 860 武功等级: 弹指神通　　　　　(第六重)内力值: 343/343
Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
写得太快，还有错
从一个有a个元素的finite set到一个有b个元素的finite set的morphism有b^a种。
1/1+1/1+1/2 = 2.5。
发表时间：, 06:58:09
发表文章数: 1983 武功等级: 深不可测内力值: 645/645
Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
复变函数论的所有教材都有证明
漫漫长夜不知晓
日落云寒苦终宵痴心未悟拈花笑
梦魂飞度同心桥
发表时间：, 09:09:32
发表文章数: 1352 武功等级: 易筋经　　　　　(第二重)内力值: 567/567
Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
kanex同学在这里表现的很出色
我想你说的是对的
虽然我不是很清楚beaz的数学
不过你提到了e无处不在的原因
《相对论通俗演义》
发表时间：, 19:51:17
发表文章数: 5 武功等级: 野球拳　　　　　(第一重)内力值: 72/72
Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
首先在实数轴上定义了函数f(x)=exp(x), 是我们通常所知道的形式, 它的导数还是它本身,并且可以在全实轴上展开成为幂级数;
然后将幂级数中的x在形式上换成z, 使原来实数轴上的幂级数在形式上成为复平面上的幂级数,
很容易证明它在整个开复平面上都是收敛的,
由全纯函数（解析函数）唯一性定理知,
它是exp(x)唯一的解析延拓形式, 就定义它为复平面上exp(x)的形式;
最后代入z=x+iy计算可知,
exp(z)= exp(x) *(cosy+isiny). 特别地, 有exp(i θ )＝(cosθ＋isinθ).
发表时间：, 19:39:36
发表文章数: 231 武功等级: 逍遥拳　　　　　(第六重)内力值: 201/201
Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
这个问题昨天上课的时候老师好像提到过！
具体的证明过程没讲,
但是好像出现在复值那！
=======================================
复数Z的n次幂(n∈N)的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍，有公式：
　　若Z＝r(cosθ＋isinθ)
　　Zn=〔r(cosθ＋isinθ)〕n＝rn·(cosnθ＋isinnθ)(n∈N)
这个在N阶齐次常系数线性微分方程
的解法证明中有应用到！
=============================================
这里高手很多，
我也想了解一下这个公式的其他应用！
不知经历了多少轮回，彼此间才会如此惦念！
发表时间：, 06:31:49
发表文章数: 291 武功等级: 太极剑法　　　　　(第四重)内力值: 370/370
Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
幺模复数可以与 SO(2) 这个矩阵群等同. 在矩阵代数里面能证明欧拉公式.
书山有路勤为径学海无涯苦作舟
发表时间：, 16:20:08
发表文章数: 305 武功等级: 太极剑法　　　　　(第五重)内力值: 374/374
Re: 为什么exp(x)的导数还是它本身?
The number e can be defined in many different ways, which are the properties we are all familiar with.
As long as we choose one property as its definition, all other properties can be derived from it.
Walter Rudin defined e = ∑ (1/n!) in his &Principles of Mathematical Analysis&, where the summation on n is from 0 to ∞.
Then he used this definition to prove that lim (1+1/n)^n = e as n-&∞.
G. H. Hardy defined e in a quite different way in &A Course of Pure Mathematics&.
Here e is defined as the number whose logarithm is 1, in other words, e is defined by the equation 1 = ∫(1/t) dt where the integration is from 1 to e.
It's clear that he already defined the logarithmic funtion as y = log (x) = ∫(1/x) dx. He then defined the exponential function exp(y) as the inverse of the logarithmic function:
x = exp(y) if y = log (x).
Since we have dy/dx = 1/x from the definition of y = log (x), then
dx / dy = x = exp (y)
Thus the derivative of the exponential function is equal to the function itself.
More generally [exp(ay)]' = a exp(ay).
The unsatisfactory feature of this process is that the logarithmic function has to be defined by an integral, which was not the way how the logarithmic function was first discovered (Napier's invention of the logarithmic function was more than one century ahead of that calculus).
Although John Baez's recasting of e and exp(x) in the framework of category theory is very inspiring, I don't see how either
&the cardinality of the category of all finite sets& or &the total number of possible morphisms between two special sets& could be the most fundamental reason for the omnipresence of e and exp(x).
More abstract does not necessarily mean more fundamental.
海天一片，对景愁怀倦。心似木船独飘零，惆怅远景难见。命里沉浮谁主，流年似水空度。浩翰烟波如故，当时容颜何处。
发表时间：, 23:12:14幂级数求高阶导数请问 展开幂级数后利用 y(x0)的高阶导数=n的阶乘×第n项系数an 求其高阶导数时 an怎么求啊?那怎样求高阶导数啊 如y=-1/(1+x^2) 求y(0)的n阶导数(给下an表达式
不是给你回答过这个题了吗?怎么,有疑问吗?
用幂级数求高阶导数有条件要求吗？ 你说 利用展开式：y⁽ⁿ⁾(x0)=an*n!就可求出高阶导数 那么对于一般的函数，展开式如果用 y⁽ⁿ⁾(x0)/n!=an 求an，那不是循环了吗
你是用幂级数求高阶导数，那么幂级数求出来后，an就相当于已知的了。如果你现在要求的是an，那说明幂级数的展开式是未知的，你就需要通过其它途径求出y⁽ⁿ⁾(x0)，然后求an了。对于一般的函数，关键要看幂级数易求还是高阶导数易求，如果幂级数易求，可以用y⁽ⁿ⁾(x0)/n!=an求高阶导数，如果高阶导数易求，可以用y⁽ⁿ⁾(x0)/n!=an求an.
如果用幂级数求高阶导数，条件应该是所求展开点处的幂级数必须存在，只要幂级数存在，幂级数是可以无穷阶求导的，就没什么其它条件了。
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