常微分方程通解、特解、所有解的区别与联系--《大学数学》2014年02期
常微分方程通解、特解、所有解的区别与联系
【摘要】：通过具体实例分析、讨论了高等数学中常微分方程的通解、特解和微分方程的所有解之间的区别与联系,并对高等数学教材中二阶线性微分方程的降阶法与二阶常系数非齐次线性微分方程特解求解过程中的作法进行了说明.
【作者单位】：
【基金】：
【分类号】：O175.1-4;G642【正文快照】：
在国内的高等数学教材与常微分方程教材中,对于n阶常微分方程F x,y,dydx,d2 ydx2,…,dnydx()n=0,(1)关于通解、特解通常定义如下[1,2]:如果包含有n个相互独立的任意常数C1,C2,…,Cn的关系式Φ(x,y,C1,C2,…,Cn)=0(2)确定的函数y=φ(x,C1,C2,…,Cn)是(1)的解,则称(2)为(1)的通
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3秒自动关闭窗口高等数学《常微分方程》知识点总结与问题类型
一、求解一阶微分方程的基本思路
1．改写结构，对比标准可求解类型
适当变换微分方程描述形式，比对标准类型方程结构。常用的一阶微分方程的标准类型有：
●可分离变量的微分方程：
具有这种结构的方程可以使用分离变量法求解.
●齐次方程：
将原方程转换为可分离变量的微分方程求解.
●一阶线性微分方程：
(1) 当Q(x)恒等于0时，为齐次线性方程，使用可分离变量法求解；
(2) 当Q(x)不恒等于0时，为非齐次线性方程，基于对应的齐次方程的通解，使用常数变易法，或者说待定函数法求解；也可以直接利用通过常数变易法得到的通解计算公式直接得到通解。
●伯努利方程：通过两端同时除以yn，将方程转换为一阶线性微分方程求解.
●全微分方程：它的判定和求解方法，使用曲线积分相关的理论与方法求解.
2．变量替换，构建标准类型
对于不符合标准类型的方程，考虑对微分方程进行适当变换后，使用换元法将一阶微分方程dy/dx=f(x,y)的右边项f(x,y)的部分表达式用新的变量表示，或者其中的变量用新的变量表达式替换，将方程转换为一阶微分方程标准类型来求解.
3．对调因变量与自变量
将求解y函数转换为求x函数然后再对比标准类型；如果符合，则使用相应的思路求解；否则，在此思路上，再考虑第二种思路，通过变量替换转换为标准类型求解.
二、可降解的微分方程类型及典型问题求解
可将阶的微分方程归根结底可以归结为一阶微分方程问题，针对于一般教材中只讨论了二阶的类型，可以扩展为如下三种类型:
(1) y(n)=f(x)
对于这样的n阶微分方程可以采取对右端逐步积分的方法，通过n次不定积分即得到包含有n个相互独立的任意常数的通解。
(2) F(x,y(n-1),y(n))=0
对于这样的n阶微分方程，可以令u(x)= y(n-2)，从而得到二阶微分方程，即
F(x,u’,u’’)=0.
对于具有这类结构的微分方程，可以令u’=p(x)，将其转换为一阶微分方程
F(x,p,p’)=0
求解该微分方程并结合已知条件得到p(x)，代入u’=p(x)，再一次求解该一阶微分方程，可得u(x)，于是通过求解n-2阶第一类可降阶微分方程y(n-2) =u(x)即得最终的通解。
(3) F(y(n-2),y(n-1),y(n))=0，其中y(0)=y(x).
对于这样的n阶微分方程，可以令u(x)= y(n-2)，从而得到二阶微分方程，即
F(u,u’,u’’)=0.
对于具有这类结构的微分方程，由于其不显含有x变量，由于y=y(x)，所以可以令u’=p(u)，从而有u’’=p’(u)*p，将原方程转换为关于u为自变量的一阶微分方程
F(u,p(u), p’p)=0
求解该微分方程并结合已知条件得到p(u)，代入u’(x)=p(u)，再一次求解该一阶微分方程，可得u(x)，于是通过求解n-2阶第一类可降阶微分方程y(n-2)=u(x)即得最终的通解。
三、线性微分方程解的结构与刘维尔公式
n阶非齐次线性微分方程
对应的n阶线性微分方程
1、线性微分方程解的结构
对于线性微分方程具有如下解的结构，解的结构是求解线性微分方程的基础。
(1)设y1(x),y2(x),…,yn(x)是齐次线性微分方程(**)的n个解，则C1*y1(x)+C2*y2(x)+…+Cn*yn(x)也是(**)的解，其中C1,C2,…, Cn是n个任意常数。
(2) 设y1(x),y2(x),…,yn(x)是齐次线性微分方程(**)的n个线性无关的解，则C1*y1(x)+C2*y2(x)+…+Cn*yn(x)是(**)的通解，其中C1,C2,…,Cn是n个任意常数。
(3) 设y1*(x),y2*(x)是非齐次线性方程(*)的解，则y1*(x)-y2*(x)是对应齐次线性微分方程(**)的解。
(4) 设Y(x, C1,C2,…, Cn)是齐次线性微分方程(**)的通解，y*(x)是非齐次线性方程(*)的解，则Y(x, C1,C2,…,Cn)+ y*(x)是非齐次线性方程(*)的通解。
(5) （叠加原理）设y1(x),y2(x)分别是非齐次线性方程(*)右边项为f(x)和g(x)的解，则y1(x)+y2(x)为(*)右边项为f(x)+g(x)的解；即y1(x),y2(x)为(*)的解，y1(x)+y2(x)不是(*)的解，应该(*)右边项为2f(x)的解。
2、刘维尔公式
设y1(x)为二阶齐次线性微分方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的一个非零特解，则与y1(x)线性无关的另一个特解可由刘维尔公式计算得到.
四、常系数线性微分方程的求解方法
基于线性微分方程解的结构有如下n阶齐次常系数线性微分方程解的求解步骤与过程：
第一步：写出对应的特征方程
将y换成r，将阶数换成次数(其中0阶导数即0次)，得微分方程(*)的特征方程.
第二步：求特征根
在复数范围内解特征方程，得n个特征根.
第三步：根据特征根，写出n个特解.
第四步：依据线性微分方程解的结构，写出通解
非齐次方程增加如下两步：
第五步：用待定函数法求非齐次微分方程的特解；如果右边函数项f(x)不符合标准类型，则需要借助于叠加原理分解成标准类型求解。
第六步：基于非齐次线性微分方程解的结构，写出通解，即
非齐次的通解=齐次的通解+非齐次的一个特解.
五、解微分方程应用问题的基本步骤
借助微分方程模型求解实际问题的基本步骤：
(1)确定模型类型：注意到实际问题中与数学中的导数相关的常用词语。比如运动学、化学反应中的变化率，速度、速率、加速度，经济学中的边际，生物学、金融、经济等领域中的增长，放射性问题中的衰变以及一般提及的改变、变化、增加、减少等，在几何上则有切线、法线，这样的问题都可能与导数或微分相关，有可能通过建立微分方程模型来反映其规律。
(2)转换描述并统一量纲：梳理出实际问题中涉及到的各种量，并把相关的文字语言描述转换为数学语言与符号描述形式。如果牵涉到的量有单位，则统一量纲。
(3)确定因变量与自变量：根据所求结果，确定与结果相关的两个量，一个为待求函数变量；一个为自变量；而与变化率相关的量即为待求函数的导数。
(4)建立微分方程：分析问题中所涉及的原理或物理定律，根据已有变化率描述；或者借助微元分析法，给自变量一个增量，建立因变量增量与自变量增量相关的等式，并由平均变化率取关于自变量增量趋于0的极限，得到包含待求函数导数的相关等式，即微分方程描述形式。
(5)确定初值条件：根据问题，找出并明确可能的初值条件；值得注意的是：有些初值条件不一定直接给出，可能在问题的解决过程中获得。
(6)写出模型：写出由微分方程和初始条件构成的常微分方程初值问题模型。
(7)求解初值问题：求初值问题的解，给出问题的答案。
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2016考研数学高数重点讲解：一阶微分方程及解法
10:16:54 来源：新东方在线
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　　高等数学这门课在中占着很大的比重，可以说高等数学的成绩将直接和你数学的成绩进行挂钩。下面就带着各位同学分析一下高等数学中常见的一阶微分方程及解法。　　考察要求：　　1、能够识别常考方程的类型并求解;　　2、微分方程的应用。　　对于第一个要求也是微分方程这部分最基本的考点，所以提醒大家在学习之初一定要对于常考方程的类型及解法掌握的非常好，这样才能很好的完成第二个要求，因为第二个要求从总体上来题目是相对比较难的，关键原因是这部分考的比较综合，会把高等数学中其他的知识点与这部分结合起来去考查大家，比如说把定积分的应用、导数等相关知识以实际例子的形式去考查大家，这时就需要大家能够根据所学知识先把微分方程抽象出来然后再去求解。　　例题讲解：　　对于微分方程而言，主要考查的是一阶以及二阶微分方程的求解，今天我们主要讨论常见的一阶微分方程及其求解。对于一阶微分方程而言，数一、数二、数三公共考查的方程有三种：　　类似的，我们也要会判断方程是否为一阶线性微分方程，此时也是抓本质：关于y，y 的次数都是一次的。判断出来方程的类型为一阶线性微分方程之后按照前面的方法求解即可。　　2016年已经开始了，希望考生能够好好利用，做好规划。
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