正弦、余弦函数的图象与性质正切函数的图像与性质& 函数y＝sin&x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sin&x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π/2，1)，(π，0)，(3π/2，－1)，(2π，0)．余弦函数y＝cos&x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π/2，0)，(π，－1)，(3π/2，0)，(2π，1)．&题型一　求三角函数的定义域和值域&思维升华　(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y＝asin&x＋bcos&x＋k的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；②形如y＝asin2x＋bsin&x＋k的三角函数，可先设sin&x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；③形如y＝asin&xcos&x＋b(sin&x±cos&x)＋c的三角函数，可先设t＝sin&x±cos&x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．&题型二　三角函数的单调性、周期性&思维升华　(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω&0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω&0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．&题型三　三角函数的奇偶性和对称性&思维升华　若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝π/2＋kπ (k∈Z)，求x.如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ (k∈Z)即可．&用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点&题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换&思维升华　(1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π/2，π，3π/2，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y＝sin&x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．&题型二　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式&题型三　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质&题型：三角函数图象与性质的综合问题&解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤&e学习(exuexi1080)　
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Cosine cos
正切 Tangent tan（或 tg）余切 Cotangent cot （或 ctg、ctn）正割 Secant sec
余割 Cosecant csc（或 cosec）
在中，三角函数（也叫做圆函数）是的；它们在研究和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的，也可以等价的定义为上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为或特定的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是值。三角函数在中属于里的的一类函数。它们本质上是任意的集合与一个比值的集合的变量之间的。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。
Cosine cos
正切 Tangent tan（或 tg）余切 Cotangent cot （或 、ctn） 正割 Secant sec
余割 Cosecant csc（或 cosec）
三角函数值　　三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。把它们描述成无穷的极限和微分，将其定义扩展到复数系。 　　由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。 　　三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。 　　它有六种基本函数： 　　函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 　　符号 sin cos tan cot sec csc 　　正弦函数 sin（A）=a/c 　　余弦函数 cos（A）=b/c 　　正切函数 tan（A）=a/b 　　 cot（A）=b/a　　其中a为对边，b为临边，c为斜边　　附：部分特殊三角函数值　　sin0=0 　　cos0=1 　　tan0=0 　　sin15=（根号6-根号2）/4　　cos15=（根号6+根号2）/4　　tan15=sin15/cos15=2-根号3　　sin30=1/2　　cos30=根号3/2 　　tan30=根号3/3 　　sin45=根号2/2 　　cos45=sin45=根号2/2　　tan45=1 　　sin60=根号3/2　　cos60=1/2　　tan60=根号3 　　sin75=cos15 　　cos75=sin15 　　tan75=sin75/cos75 ＝2＋根号3　　sin90=cos0 　　cos90=sin0 　　tan90无意义 　　sin105=cos15 　　cos105=-sin15 　　tan105=-cot15 　　sin120=cos30 　　cos120=-sin30 　　tan120=-tan60 　　sin135=sin45 　　cos135=-cos45 　　tan135=-tan45 　　sin150=sin30 　　cos150=-cos30 　　tan150=-tan30 　　sin165=sin15 　　cos165=-cos15 　　tan165=-tan15 　　sin180=sin0 　　cos180=-cos0　　tan180=tan0 　　sin195=-sin15 　　cos195=-cos15 　　tan195=tan15 　　sin360=sin0 　　cos360=cos0 　　tan360=tan0 　　| 360°| 270°| 0° | 15° | 30° | 37° | 45° 　　sin | 0 | -1 | 0 |(√6-√2)/4 | 1/2 | 3/5 |√2/2 　　cos | 1 | 0 | 1 |(√6+√2)/4 |√3/2 | 4/5 |√2/2 　　tan | 0 | 无值 | 0 | 2-√3 |√3/3 | 3/4 | 1 　　______________________________________________________________________ 　　| 53° | 60° | 75° | 90° | 120° | 135°| 180°　　sin | 4/5 |√3/2 |(√6+√2)/4 | 1 | √3/2 | √2/2 | 0 　　cos | 3/5 | 1/2 | (√6-√2)/4| 0 | -1/2 |-√2/2 |-1　　tan | 4/3 | √3 | 2+√3 | 无值 | -√3 | -1 |0　　______________________________________________________________________ 　　倒数关系 　　tanα ·cotα＝1 　　sinα ·cscα＝1 　　cosα ·secα＝1 　　商数关系 　　tanα=sinα/cosα 　　cotα=cosα/sinα 　　平方关系 　　sinα²+cosα²=1 　　1+tanα²=secα² 　　1+cotα&sup2=cscα² 　　以下关系，函数名不变，符号看象限 　　sin（2kπ＋α）＝sinα 　　cos（2kπ+α）=cosα 　　tan（2kπ+α）=tanα 　　cot（2kπ+α）=cotα 　　sin（π＋α）=-sinα 　　cos（π＋α）=-cosα 　　tan（π＋α）=tanα 　　cot（π＋α）=cotα 　　sin（π－α）=sinα 　　cos（π－α）=-cosα 　　tan（π－α）=-tanα 　　cot（π－α）=-cotα 　　sin（2π－α）＝-sinα 　　cos（2π－α）＝cosα 　　tan（2π－α）＝-tanα 　　cot（2π－α）＝-cotα 　　以下关系，奇变偶不变，符号看象限 　　sin（90°-α）=cosα 　　cos（90°-α）=sinα 　　tan（90°-α）=cotα 　　cot（90°-α）=tanα 　　sin（90°+α）=cosα 　　cos（90°+α）=-sinα 　　tan（90°+α）=-cotα 　　cot（90°+α）=-tanα 　　sin（270°-α)=-cosα 　　cos（270°-α)=-sinα 　　tan（270°-α)=cotα 　　cot（270°-α)=tanα 　　sin（270°+α）=－cosα 　　cos（270°+α）=sinα 　　tan（270°+α）=-cotα 　　cot（270°+α）=-tanα 定名法则　　90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为。90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变”　　定号法则　　将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”.（或为“奇变偶不变，符号看象限”　　　2在Kπ/中如果K为奇数时函数名不变，若为偶数时函数名变为相反的函数名。正负号看中α所在象限的正负号。关于正负号有可口诀；一全二正弦，三切四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切为正，第四象限余弦为正。）　　比如:90°+α。定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin(90°+α)=cosα , cos(90°+α)＝-sinα 这个非常神奇，屡试不爽~　　还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin(90°+α)，90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以sin(90°+α)=cosα　　积化和差公式 　　sinα ·cosβ=（1/2）*[sin（α＋β）＋sin（α－β）] 　　cosα ·sinβ=（1/2）*[sin（α＋β）－sin（α－β）] 　　cosα ·cosβ=（1/2）*[cos（α＋β）＋cos（α－β）] 　　sinα ·sinβ=（1/2）*[cos（α＋β）－cos（α－β）] 　　和差化积公式 　　sinα+sinβ=2*[sin(α+β)/2]*[cos(α-β)/2] 　　sinα-sinβ=2*[cos(α+β)/2]*[sin(α-β)/2] 　　cosα+cosβ=2*[cos(α+β)/2]*[cos(α-β)/2] 　　cosα-cosβ=-22*[sin(α+β)/2]*[sin(α-β)/2] 　　三倍角公式 　　sin3α=3sinα-4sinα³ 　　cos3α=4cosα³-3cosα
正弦二倍角公式：　　sin2α = 2cosαsinα 　　推导：sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA 　　拓展公式：sin2A=2sinAcosA=2tanAcosA^2=2tanA/[1+tanA^2] 　　1+sin2A=(sinA+cosA)^2
余弦二倍角公式：　　余弦有三组表示形式，三组形式等价： 　　1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2] 　　2.Cos2a=1-2Sina^2 　　3.Cos2a=2Cosa^2-1 　　推导：cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=cosA^2-sinA^2=2cosA^2-1 　　=1-2sinA^2
正切二倍角公式：　　tan2α=2tanα/[1-tanα^2] 　　推导：tan2A=tan(A+A)=(tanA+tanA)/(1-tanAtanA)=2tanA/[1-tanA^2]
降幂公式：　　cosA^2=[1+cos2A]/2 　　sinA^2=[1-cos2A]/2 　　tanA^2=[1-cos2A]/[1+cos2A]
变式： 　　sin2α=sin^2(α+π/4)-cos^2(α+π/4)=2sin^2(a+π/4)-1=1-2cos^2(α+π/4);　cos2α=2sin(α+π/4)cos(α+π/4)　　两角和与差的 　　sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ 　　sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ 　　cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ 　　cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ 　　tan（α+β）＝=(tanα+tanβ )/(1－tanα ·tanβ) 　　tan（α－β）=(tanα-tanβ )/(1+tanα ·tanβ)
历史随着认识到在它们的边之间保持相同的比率，就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法。就是说对于任何相似三角形，（比如）斜边和剩下的两个边的比率都是相同的。如果斜边变为两倍长，其他边也要变为两倍长。三角函数表达的就是这些比率。研究三角函数的有的（公元前180－125年）、的（公元90－180年）、（公元476－550年），、、、、、、、（14世纪）、（14世纪）、（1464）、和Rheticus的学生。（约1400年）以的方式做了三角函数的的早期研究。的《》（Introductio in Analysin Infinitorum）（1748年）对建立三角函数在欧洲的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了，还有使用接近现代的简写 sin.、cos.、tang.、cot.、sec. 和 cosec.。
直角三角形中
在中仅有三角函数的定义。一个锐角的是它的对边与斜边的比值。在图中，sin A = 对边／斜边 = a/h。 一个锐角的是它的邻边与斜边的比值。在图中，cos A = 邻边／斜边 = b/h。 一个锐角的是它的对边与邻边的比值。在图中，tan A = 对边／邻边 = a/b。
直角坐标系中
在平面直角坐标系中设O-x为任意角α的始边，在角α终边上任取一点P（x，y），令OP=r. 　　正弦函数 α=y/r　　余弦函数 α=x/r　　正切函数 α=y/x　　余切函数 α=x/y　　正割函数 α=r/x　　余割函数 α=r/y
六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，
三角函数单位圆的方程是：对于圆上的任意点(x,y)，x^2+y^2=1图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sinθ=y/1 和 cosθ=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。对于大于 2π 或小于等于2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：对于任何角度θ和任何整数k。周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。在正切函数的图像中，在角kπ 附近变化缓慢，而在接近角 (k+ 1/2)π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = (k+ 1/2)π 有垂直渐近线。这是因为在 θ 从左侧接进 (k+ 1/2)π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 (k+ 1/2)π 的时候函数接近负无穷。
三角函数另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别 是，对于这个圆的弦AB，这里的 θ 是对向角的一半，sinθ是AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。cosθ是水平距离OC，versinθ=1-cosθ是CD。tanθ是通过A的切线的线段AE的长度，所以这个函数才叫正切。cotθ是另一个切线段AF。 secθ=OE和 cscθ=OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作OA沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE是 exsecθ= secθ-1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2的时候发散，而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。
只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数x都成立：
这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在傅里叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。其他级数可见于： 注：Un是n次上/下数，Bn是n次伯努利数，
可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是在它的自变量为纯时候的虚数和实数部分：这个联系首先由注意到，叫做。在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。例如，通过上述恒等式，如果考虑在中 eix 所定义的单位圆，同上面一样，我们可以根据余弦和正弦来把这个圆参数化，复指数和三角函数之间联系就变得更加明显了进一步的.这样就可以定义对复自变量 z 的三角函数这个联系首先由注意到，叫做。在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。例如，通过上述恒等式，如果考虑在中 eix 所定义的单位圆，同上面一样，我们可以根据余弦和正弦来把这个圆参数化，复指数和三角函数之间联系就变得更加明显了。 进一步的，这样就可以定义对复自变量 z 的三角函数：
正弦和余弦函数都满足就是说，每个都是它自己的的负数。在由所有这个方程的解的二维 V 中，正弦函数是满足初始条件 y(0) = 0 和 y′(0) = 1 的唯一解，而余弦函数是满足初始条件 y(0) = 1 和 y′(0) = 0 的唯一解。因为正弦和余弦函数是线性无关的，它们在一起形成了 V 的。这种定义正弦和余弦函数的方法本质上等价于使用欧拉公式。（参见）。很明显这个微分方程不只用来定义正弦和余弦函数，还可用来证明正弦和余弦函数的。进一步的，观察到正弦和余弦函数满足 意味着它们是二阶算子的。正切函数是非线性微分方程满足初始条件 y(0) = 0 的唯一解。有一个非常有趣的形象证明，证明了正切函数满足这个微分方程；参见 Needham 的《 Complex Analysis》。
弧度的重要性
弧度通过测量沿着单位圆的路径的长度而指定一个角，并构成正弦和余弦函数的特定辐角。特别是，只有映射弧度到比率的那些正弦和余弦函数才满足描述它们的经典微分方程。如果正弦和余弦函数的弧度辐角是正比于频率的
则导数将正比于“振幅”。
这里的 k 是表示在单位之间映射的常数。如果 x 是度，则
这意味着使用度的正弦的二阶导数不满足微分方程
对余弦也是类似的。这意味着这些正弦和余弦是不同的函数，因此只有它的辐角是弧度的条件下，正弦的四阶导数才再次是正弦。
主条目： 三角函数之间存在很多恒等式，其中最常用的是毕达哥拉斯恒等式，它声称对于任何角，正弦的平方加上余弦的平方总是 1。这可从斜边为 1 的直角三角形应用得出。用符号形式表示，恒等式为：更常见的写法是在正弦和余弦符号之后加“2”次幂：在某些情况下里面的括号可以省略。另一个关键的联系是和差公式，它根据两个角度自身的正弦和余弦而给出它们的和差的正弦和余弦。它们可以用几何的方法使用的推导出来；还可以用代数方法使用得出。当两个角相同的时候，和公式简化为更简单的等式，称为二倍角公式。这些等式还可以用来推导，以前曾用它把两个数的积变换成两个数的和而像那样使运算更加快速。
三角函数的和可参见、和。下面是六个基本三角函数的导数和积分的列表。
利用函数方程定义三角函数在中，可以利用基于和差公式这样的性质的来定义三角函数。例如，取用给定此种公式和毕达哥拉斯恒等式，可以证明只有两个满足这些条件。即存在唯一的一对实函数 sin 和 cos 使得对于所有实数 x 和 y，下列方程成立：
并满足附加条件 从其他函数方程开始的推导也是可能的，这种推导可以扩展到复数。作为例子，这个推导可以用来定义中的。 计算三角函数的计算是个复杂的主题，由于和提供对任何角度的内置三角函数的的广泛使用，现在大多数人都不需要了。本节中将描述它在三个重要背景下的计算详情：历史上三角函数表的使用，计算机使用的现代技术，以及容易找到简单精确值的一些“重要”角度。（下面只考虑一个角度小范围，比如 0 到 π/2，因为通过三角函数的周期性和对称性，所有其他角度可以化简到这个范围内。）主条目：有计算机之前，人们通常通过对计算到多个的三角函数表的来计算三角函数的值。这种表格在人们刚刚产生三角函数的概念的时候就已经有了，它们通常是通过从已知值（比如sin(π/2)=1）开始并重复应用半角和和差公式而生成。使用了各种技术。 一个常见的方式，特别是在有单元的高端处理器上，是组合或（比如、最佳一致逼近和，和典型用于更高或可变精度的和）和范围简约与表查找 — 首先在一个较小的表中查找最接近的角度，然后使用多项式来计算修正。 在缺乏的简单设备上，有叫做的一个更有效的算法（和相关技术），因为它只用了和加法。出于性能的原因，所有这些方法通常都用来实现。对于非常高精度的运算，在级数展开收敛变得太慢的时候，可以用来逼近三角函数，它自身通过来逼近三角函数。主条目：最后对于一些简单的角度，使用可以很容易手工计算三角函数的值，像下面例子这样。事实上，π / 60 （3°）的任何整数倍的正弦、余弦和正切都可以手工计算。考虑，两个角都是 π / 4弧度（45°）。邻边 b 和对边 a 的长度相等；我们可以选择 a = b = 1。π / 4弧度（45°）的角的正弦、余弦和正切可以通过毕达哥拉斯定理来计算：
要确定π/3弧度（60度）和π/6弧度（30度）角的三角函数，我们可以从边长为 1 的等边三角形开始。它所有的角都是π/3弧度（60度）。把它等分为二，我们便得到一个角是π/6弧度（30度）和一个角是π/3弧度（60度）的直角三角形。这个三角形中，最短的边 = 1/2、第二短的边 =(√3)/2 而斜边 = 1。
三角函数中有一些常用的特殊函数值。 反三角函数主条目： 由于三角函数属于，而不是，所以严格来说并没有。因此要定义其反函数必须先限制三角函数的，使得三角函数成为。基本的反三角函数定义为：对于反三角函数，符号 sin-1 和 cos-1 经常用于 arcsin 和 arccos。使用这种符号的时候，反函数可能跟三角函数的倒数混淆。使用“arc-”前缀的符号避免了这种混淆，尽管“arcsec”可能偶尔跟“”混淆。正如正弦和余弦那样，反三角函数也可以根据无穷级数来定义。例如，这些函数也可以通过证明它们是其他函数的原函数来定义。例如，可以写为如下积分：可以在条目中找到类似的公式。使用复，可以把这些函数推广到复数辐角上： 性质和应用三角函数，正如其名称那样，在中是十分重要的，主要是因为下列两个结果。
声称对于边长为 a, b 和 c 而相应角为 A, B 和 C的三角形，有：它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a 是通过 A, B 和 C 三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形的两个角和一个边已知时计算未知边的长度。这是中常见情况。余弦定理（也叫做余弦公式）是的推广：这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）。要小心余弦定理的这种歧义情况。正切定理还有一个: 周期函数谐波数目递增的的加法合成的动画。 三角函数在物理中也是重要的。例如，正弦和余弦函数被用来描述，它描述了很多，比如附着在上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。正弦和余弦函数是的一维投影。像的特征波模式，在描述循环现象比如声波或光波的时候是很有用的。每一个信号都可以记为不同频率的正弦和余弦函数的（通常是无限的）和；这是的基础想法，这里的三角级数可以用来解微分方程的各种边值问题。例如，可以写为在右边的动画中，可以看到只用少数的项就已经形成了非常准确的估计。
^ A Weisstein. ^ Needham, p. ix. ^ Kantabutra. ^ However, doing that while maintaining precision is nontrivial, and methods like &s accurate tables, Cody and Waite reduction, and Payne and Hanek reduction algorithms can be used. ^ R. P. Brent, & Multiple-Precision
of Elementary Functions&, J.
23, 242 (1976).
　　公式一： 　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 　　sin（2kπ＋α）＝sinα 　　cos（2kπ＋α）＝cosα 　　tan（2kπ＋α）＝tanα 　　cot（2kπ＋α）＝cotα 　　公式二： 　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（π＋α）＝－sinα 　　cos（π＋α）＝－cosα 　　tan（π＋α）＝tanα 　　cot（π＋α）＝cotα 　　公式三： 　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 　　sin（－α）＝－sinα 　　cos（－α）＝cosα 　　tan（－α）＝－tanα 　　cot（－α）＝－cotα 　　公式四： 　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（π－α）＝sinα 　　cos（π－α）＝－cosα 　　tan（π－α）＝－tanα 　　cot（π－α）＝－cotα 　　公式五： 　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（2π－α）＝－sinα 　　cos（2π－α）＝cosα 　　tan（2π－α）＝－tanα 　　cot（2π－α）＝－cotα 　　公式六： 　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（π/2＋α）＝cosα 　　cos（π/2＋α）＝－sinα 　　tan（π/2＋α）＝－cotα 　　cot（π/2＋α）＝－tanα 　　sin（π/2－α）＝cosα 　　cos（π/2－α）＝sinα 　　tan（π/2－α）＝cotα 　　cot（π/2－α）＝tanα 　　sin（3π/2＋α）＝－cosα 　　cos（3π/2＋α）＝sinα 　　tan（3π/2＋α）＝－cotα 　　cot（3π/2＋α）＝－tanα 　　sin（3π/2－α）＝－cosα 　　cos（3π/2－α）＝－sinα 　　tan（3π/2－α）＝cotα 　　cot（3π/2－α）＝tanα 　　(以上k∈Z) 　　补充：6×9＝5种诱　　 f(β)→ 　　f(β)＝↘　　β↓　　　　sinβ　　　　cosβ　　　　tanβ　　　　cotβ　　　　secβ　　　　cscβ　　360k+α 　　sinα 　　cosα 　　tanα 　　cotα 　　secα 　　cscα 　　90°-α 　　cosα 　　sinα 　　cotα 　　tanα 　　cscα 　　secα 　　90°+α 　　cosα 　　-sinα 　　-cotα 　　-tanα 　　-cscα 　　secα 　　180°-α 　　sinα 　　-cosα 　　-tanα 　　-cotα 　　-secα 　　cscα 　　180°+α 　　-sinα 　　-cosα 　　tanα 　　cotα 　　-secα 　　-cscα 　　270°-α 　　-cosα 　　-sinα 　　cotα 　　tanα 　　-cscα 　　-secα 　　270°+α 　　-cosα 　　sinα 　　-cotα 　　-tanα 　　cscα 　　-secα 　　360°-α 　　-sinα 　　cosα 　　-tanα 　　-cotα 　　secα 　　-cscα 　　﹣α 　　-sinα 　　cosα 　　-tanα 　　-cotα 　　secα 　　-cscα 　　　　定名法则　　90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为。90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变”　　定号法则　　将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”.（或为“奇变偶不变，符号看象限”在Kπ/　　2中如果K为奇数时函数名不变，若为偶数被时函数名变为相反的函数名。正负号看原函数中α所在象限的正负号。关于正负号有可口诀；一全二正弦，三切四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切为正，第四象限余弦为正。）　　比如:90°+α。定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin(90°+α)=cosα , cos(90°+α)＝-sinα 这个非常神奇，屡试不爽~　　还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin(90°+α)，90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以sin(90°+α)=cosα导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）
的解是三个不相等的实根时，可用三角函数知识求出方程的解。 　　一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0） 　　重根：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd。 　　总判别式：Δ=B^2－4AC。 　　当Δ=B^2－4AC&0时，④： 　　X⑴=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a) 　　X(2，3)=(－b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)， 　　其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A&0，－1&T&1)。 　　在利用解三次方程时，对于x^3+px+q=0，有 　　x1=√(-p/3)cos(Φ/3) 　　x2=√(-p/3)cos(Φ/3+2π/3) 　　x3=√(-p/3)cos(Φ/3+4π/3) 　　对于一般的方程ax^3+bx^2+cx+d=0，只需令x=y-b/(3a)即可化为上式求解。 　　例：一建筑物的楼顶要建一个储水池，按施工的设计要求，这个储水池的长、宽、高之和为70.5dm（为了减少占用楼顶面积，取长&高&宽），满储水量为10082.44(dm)^3，立体为1903.17dm，问：如何施工才能达到设计要求？ 　　解：设取长、宽、高分别为X⑴、X⑵、X⑶，依题意： 　　X⑴+X⑵+X⑶=70.5 　　X⑴·X⑵·X⑶=10082.44 　　X⑴^2+X⑵^2+X⑶^2=1903.17。 　　解这个方程组。 　　根据，得一元三次方程： 　　X^3－70.5X^2+1533.54X－ 　　a=1，b=－70.5，c=1533.54，d=－10082.44。 　　A=369.63；B=－17372.61；C=6， 　　Δ=－&0。 　　根据盛金判别法，此方程有三个不相等的实根。 　　应用盛金公式④求解。 　　θ=90°。 　　把有关值代入盛金公式④，得： 　　X⑴=12.4(dm)；X⑵=34.6(dm)；X⑶=23.5(dm)。 　　经检验，结果正确。 　　因为取长&高&宽， 　　所以，应取长为34.6dm；高为23.5dm；宽为12.4dm来进行施工。
三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割;[4]中心记上数字1，连结顶点三角形;向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用;1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范;三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围;利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集;}