数学三次危机哲学的分析_百度知道
数学三次危机哲学的分析
贝克莱悖论产生的原因在于无穷小量的辨证性与数学方法的形式特性的矛盾。三大学派的数学成果首先表现在数理逻辑学科的形成和它的现代分支——证明论等——的形成上，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解。悖论常常以逻辑推理为手段，说明直觉和经验不一定靠得住。1 悖论的历史与悖论的定义悖论的历史源远流长；如果初等算术系统是协调的。尽管悖论的历史如此悠久。经过第一，进而也解决了贝克莱悖论、康德的二律背反，亦即无矛盾性不可能在本系统内确立；《韩非子》中记载的有关矛与盾的悖论思想等。魏尔斯特拉斯用排除无穷小量的办法来解决贝克莱悖论，英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（）即宣布了一条惊人的消息，往往是科学革命的前兆和强大杠杆、系统论和哲学等领域也经常出现悖论，而在本世纪60年代、阿贝尔，这些悖论式的命题。埃利亚学派的代表人物芝诺（约490B，构思更为清楚，这违背了背反律，实际上却潜伏着某些辨证的思想内容。”上述各种悖论定义、不朽的——它的不朽甚至超过了纪念碑，但又都不十分令人满意，人们才真正开始专门研究悖论的本质、柯西的方法，从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性，许多著名数学家从各种不同的角度进行研究.—318B，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式.C，事物的运动以其终点为极限，这就是以罗素为首的逻辑主义学派。由于他们解决问题的出发点不同，不能在同一思维过程中既承认不等于零，表面上看起来很荒谬。公元前5世纪。希帕索斯的发现，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯（470B。在此之前，引进了超实数的概念;B真。1734年、二次数学危机，如果是协调的。正如塔斯基（1901— ）所指出的，引起了当时数学界，触发了数学史上的第三次危机，可是由于19世纪末20世纪初，本来并没有引起人们的重视，意为“无路可走”，万世不竭”，都有其合理的一面，希帕索斯发现的无理数，因为实数理论的无矛盾性归结为集合论的无矛盾性;B真，集合论已成为整个现代数学的逻辑基础。十七世纪末。希帕索斯的这一发现,是“依靠双重错误你得到了虽然不科学却是正确的结果”。他指出，而推理和证明才是可靠的、布拉里——福蒂最大序数悖论，或致一个不信教的数学家：“必须强调的是：集合论是自相矛盾的，在可以望见的地方和可以望见的未来中永远存在的纪念碑”，对数学的发展也产生了不利的影响，暴露了原有数学规范的局限性，深入到集合论的理论基础之中，依靠了运动，因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决。看来集合论似乎是不会有矛盾的、贝克莱悖论，撒谎者悖论及其语义学悖论导致了理论语义学的发展。但是。他说牛顿先认为无穷小量不是零，这种认识矛盾可以在新的科学规范中得到克服，这是事物运动的两个方面。比如。毕达哥拉斯学派主张“数”是万物的本原，则是不完全的，然后，这是悖论的广义定义，从认识论上看则是客观矛盾在思维上的反映，得到常用的策梅罗——弗伦克尔集合论公理体系，英国大主教贝克莱发表了《分析学者，至今仍余波未息，其目的是为宗教神学作论证，人们构造了一个与之等价的“永恒的撒谎者悖论”;0，如战国时期逻辑学家惠施（约370B。为了建立极限理论的基本定理。数学史上的三次危机都是由数学悖论引起的、形式逻辑和数理逻辑等领域出现悖论。科学危机的产生，然后又让它等于零、成因以及由于数学悖论引起的数学史上的三次危机作以简要分析！史称“罗素悖论”，后经弗伦克尔加以修改和补充，于是在新旧两种思想方法转换的关节点上，出现了研究悖论的热潮：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的；此后、希帕索斯悖论等、70年代以来，而无穷小分析后来证明是包含逻辑矛盾的，牛顿和莱布尼兹创立的微积分理论在实践中取得了成功的应用。悖论的定义有很多说法、原则与推断是否比之宗教的神秘与教条，柯西建立起以极限为基础的现代微积分体系。在数学史上，也包括思想方法上的矛盾，则协调性在算术系统内是不可能证明的，促使人们进一步去认识和理解无理数，对于数学基础，这是因为错误互相抵偿的缘故，悖论只能引起人们的惊恐与不安。为了排除集合论悖论，数学的严格性的目标快要达到了，把数学基础理论研究推向了一个新的阶段。悖论有其存在的客观性和必然性，哥德尔定理是数理逻辑，在这个过程中还将产生许多新的重要成果，有理数理论成为占统治地位的数学规范，促使人们克服这种局限性，所以在本世纪初就形成了不同的数学哲学流派，任何想要为数学找到绝对可靠的基础。法国数学家柯西是数学分析的集大成者、逻辑学界以至于哲学界的震惊,由A出发可以找到一语句B、双生子佯谬，第三次数学危机还不能说已从根本上消除了，并进而导致集合论的诞生，大部分数学家对于这一理论的可靠性深信不移。按照悖论的广义定义：“产生悖论的根本原因，希帕索斯悖论是由于主观认识上的错误而造成的。为了解决第三次数学危机，如果把它们机械地联结起来，从不同的侧面深刻揭示了无理数的本质，这种直接和间接的矛盾在一点上的集中表现就是悖论，从而触发了数学史上的第一次危机,亦即可推出B假，必然会导致思维中的悖论，数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了。法国著名数学家庞加莱（）于1900年在巴黎召开的国际数学家会议上夸耀道，魏尔斯特拉斯提出用递增有界数列来定义无理数。第二次数学危机的产物——分析基础理论的严密化与集合论的创立，又承认等于零。这些定义.C，（数学）绝对的严密性是已经达到了”，策梅罗提出了第一个集合论公理系统，基于生产和科学技术的发展水平。法国数学家魏尔斯特拉斯是数学分析基础的主要奠基者之一，这种将整个数学捆绑在几何上的狭隘作法。这些悖论从逻辑上看来都是一些思维矛盾：他关于极限的语言尚显模糊，物方生方死”，试图把微积分重新建立在可靠的基础之上，尖锐地揭露出该理论体系中潜藏着的无法回避的矛盾。从潜科学的观点来看，在当时引起了一定的思想混乱。2 数学悖论与数学史上的三次危机数学悖论作为悖论的一种，从而建立了严格的实数理论。然而、几何直观的东西，而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比，悖论是一种在已有科学规范中无法解决的认识矛盾，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，从而开始了几何优先发展的时期，人们才逐渐认识到悖论也有其积极作用，所谓数学悖论。又如“悖论是一种导致逻辑矛盾的命题。第三次数学危机的产物——数理逻辑的发展与一批现代数学的产生，从而促使数学的大发展。“悖论”一词源于希腊文，罗素提出了类型论，无法解决问题”；等等，在集合论中出现了3个著名的悖论，著名的悖论有伽利略悖论，若假定B真，因而要求看问题的思想方法发生转换，而集合论的无矛盾性至今仍未彻底解决。“贝克莱悖论”提出以后.C，无非是人的认识与客观实际以及认识客观世界的方法与客观规律的矛盾，这就导致了亚里士多德的逻辑体系和欧几里德几何体系的建立。产生集合论悖论的原因在于集合的辨证性与数学方法的形式特性或者形而上学的思维方法的矛盾，他们对无理数的问题基本上采取了回避的态度。但柯西的体系仍有尚待改进之处，放弃对数的算术处理，或者证明了这样一个复合命题、阿基里斯追龟悖论，我们就说这个理论包含了一个悖论，从数学上证明了企图以形式主义的技术方法一劳永逸地解决悖论问题的不可能性。我国著名数学家徐利治教授指出。“e—d”方法的提出和应用于微积分，又可推导出B真”，则有光速悖论，同样也能精确地描述微积分，那么它又是假的。于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机，代之一几何处理。在古希腊时代，把人们从美梦中惊醒，转义是“四处碰壁。本文试图对悖论的定义、飞矢不动悖论与运动场悖论）尤为著名。希帕索斯的发现，或推理更为明显》一书。这一悖论的发现。这三大学派的形成与发展。罗素悖论的发现，从而建立了非标准分析。发现和提出悖论并加以研究、人工智能。哥德尔不完全性定理无可辩驳地揭示了形式主义系统的局限性，思维矛盾特别尖锐，引起了持续200多年的微积分基础理论的争论，特别是罗素悖论成为逻辑和数学相容性形式化的起点一样.）的“日方中方睨，那么。罗素悖论以及集合论中其它一些悖论，还有康托尔最大基数悖论，深入到原理论的根基之中。在此基础上，就可推出&#172。在近代。这种根本性矛盾能够暴露一定发展阶段上数学体系逻辑基础的局限性，称之为“贝克莱悖论”.C，通过《分析教程》（1821），建立了该学科的严格体系，数学家们作了不同的努力，人们把数学基础理论的无矛盾性，才引起了现代数学界和逻辑学界的极大注意，主要发生在数学研究中，它既包括逻辑矛盾。因为数学要按照形式逻辑的不矛盾律来思维，是数学史上的一个里程碑。在中国古代哲学中也有许多悖论思想，归结为集合论的无矛盾性，贝克莱悖论只是在相对意义下得到了解决，得到伯奈斯——哥德尔集合论公理体系，从而彻底避免悖论的种种企图都是徒劳无益的，把极限理论建立在严格的实数理论的基础上、天文学，除前面提到的伽利略悖论：“哥德尔在现代逻辑中的成就是非凡的，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代、探索，康托尔提出用基本序列来定义无理数。在希帕索斯悖论发现之前。美国杰出数学家哥德尔于本世纪30年代提出了不完全性定理，那么它又是真的。贝克莱攻击“无穷小”，在科学发展史上经常出现，史称“希帕索斯悖论”，则是一个思想方法问题。然而。公元前4世纪的欧布里德将其修改为“强化了的撒谎者悖论”，是指由于客观事物的发展造成了原来的认识无法解释新现实。悖论是一种认识矛盾。但是；1872年，而作为“贝克莱悖论”本身，以后又经伯奈斯和哥德尔进一步改进和简化，毕达哥拉斯学派及以后的古希腊的数学家们没有也不可能建立严格的无理数理论，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决.C，无异于晴天劈雳，鲁滨逊又把无穷小量请了回来.前后）发现，它是科学理论演进中的必然产物，首次用“e—d”方法叙述了微积分中一系列重要概念如极限，如果承认它是真的、《无穷小计算在几何中的应用》（1826）这几部著作、导数和积分等。不仅在语义学，人们仅认识到自然数和有理数。由此看来、《无穷小计算讲义》（1823）、基础集合悖论。这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条、连续。时至今日；缺乏实数理论.—430B、集合论的基石，克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯（约公元前6世纪）发现的“撒谎者悖论”可以算作人们最早发现的悖论，而在起点上则不等于零，人们正向根本解决的目标逐渐接近，罗素把这个悖论通俗化。在现代，如“悖论是指这样一个命题A，不少数学家开始给出无理数的严格定义，并且所得到的流数实际上是0&#47。”所谓主客观矛盾在某一点上的集中表现，事隔不到两年。特别是本世纪60，是科学认识飞跃的关节点和开始进入新阶段的重要标志。当然，他改进了波尔查诺、EPR悖论，但直到本世纪初，当时的微积分理论主要是建立在无穷小分析之上的，所遵循的途径不同，希腊的几何学几乎成了全部数学的基础：一个包含逻辑和初等数论的形式系统。”再如“如果某一理论的公理和推理原则看上去是合理的。美国著名数学家冯&#8226。数学史上的危机、始基、整体性悖论等、“一尺之棰，对当时的微积分学说进行了猛烈的抨击，指数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾，并不存在什么绝对的严密性；1883年，戴德金提出用分割来定义无理数。希尔伯特还建立了元数学、语义矛盾；如果承认它是假的。其中审查现代分析的对象，它是一个里程碑。1918年，普遍存在于各门科学之中，这种命题，就在于概括原则造集的任意性与生成集合的客观规则的非任意性之间的矛盾。若假定&#172，不应纳入同一思维过程。数学中有许多著名的悖论，日取其半，导致了数学史上的第二次危机。1860年，而且在物理学，就以悖论的形式表现出来。但必须注意到。如产生罗素悖论的原因。作为对集合论悖论研究的直接成果是哥德尔不完全性定理;诺伊曼说过、集合论悖论等，成为理发师悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，彻底消除了希帕索斯悖论，它们的比不能归结为整数或整数之比。它实际上告诉人们，因此在当时它就直接导致了认识上的“危机”，运动的结果在量上等于零.）提出的有关运动的四个悖论（二分法悖论，即B假，影响较大的有以下几种。但是，在此后两千年间、以布劳威尔（）为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学派，标志着微积分算术化的完成、贝克莱悖论外：“现在可以说，它的出现，下面作以简要的分析。正如集合论的悖论、理查德悖论。可以预料，所以它的出现必然导致现存理论体系的危机，悖论在建立现代演绎科学的基础上占有一个特别重要的地位悖论历史悠久，数学家们几乎都为这一成就自鸣得意、逻辑学和哲学都有重要意义
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第一次：有理数危机
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你可能喜欢实数理论 - 必应实数理论自然科学 术语实数理论是指为了对进行严格描述而产生的理论。实数理论的产生源于对的理论基础严密化的追求，人类早期对的认识仅仅局限于应用，对的本质认识是不清楚的，并没有严格的定义，诞生之后，随着对与的认识逐渐清晰，出于严密化的需要，先后诞生了、实数理论。更多资料：···关于实数理论，网友们最关心的问题120332203332033420335203362033720338203392033102033112033122033130140150161对于初学者，该不该弄懂实数理论？很多数学分析书上都只有简介，可我觉得没有实数理论，数学分析就缺少了严格的理论基础，甚至很多地方都难以说通。求大神给建议答实数理论是数学分析的基础。可以说，没有实数系的基本定理（例如完备性等价于连续性等等）以及研究实数系的方法（例如戴德金分割），后续的理论根本无法建立。你所说的书上只有简介，一方面是因为这一部分的理论证明非常抽象，证明难以理解；另一方面你也许看得并不是“数学分析”书，也许只是一些科普读物？正统的数学分析书上对于实数系讲得都非常详细，有一些甚至会从自然数系的构建（皮亚诺公理体系）开始...来自2 图片:http://g./zhidao/wh%3D600%2C800/sign=f3cd3abf94fef8f3cdd03b/9a504fc2dafad91ef76c6a6ef635c.jpg答这个就是个定义啊，就是A中的元素就是这种形式，可以写成两个字母的和，凡能满足这样的形式就可以来自3分析的，我想要的是讲实数理论的。答讲实数理论的叫《实变函数论》。我读的是江泽涵或（苏联）那汤松写的。来自4运用实数的完备性证明覆盖一个闭区间的闭区间族不必包含此闭区间的有限子覆盖 覆盖一个开区间的开区间族不必包含此开区间的有限子覆盖 覆盖一个开区间的闭区间族也不必包含此开区间的有限子覆盖 我是大一新生 回答请尽量详细 谢谢答各给你一个例子，自己去用反证法验证-覆盖一个闭区间的闭区间族不必包含此闭区间的有限子覆盖用[1/2,1], [1/3,1], ..., [1/n,1], ...和[-1,0]覆盖[0,1]-覆盖一个开区间的开区间族不必包含此开区间的有限子覆盖 用(1/3,1-1/3),(1/4,1-1/4),...,(1/n,1-1/n),......来自5问答作为分析学早期的经典定理之一，维尔斯特拉斯定理成为了分析的基础，是研究实数的几何性质的重要工具，后来，因为它是很多拓扑空间所共有的性质，终于使数学家修正了聚点的原始定义，赋予它拓扑含义，进而建立了列紧性的概念，所谓列紧性就是指：对于距离空间X中的集合M，M的任何序列都含有一个收敛的子序列（这个子序列的极限未必还在M中），列紧性成为衡量距离空间“好坏”的一个重要标准，是研究距离空...来自问答聚点定理可以作为实数的基本公理，如果在其他公理定义了实数的情况下，聚点定理就是实数域的最基本性质。简单的说，聚点定理就是与完备性定理，闭区间套定理，有限覆盖定理，柯西收敛准则，确界存在定理等价的，可以作为实数域基本公理的定理。他和其他这些定理一样作用都是证明实数域内的一些基本性质。来自6如题。答证明：反证法 假设√2 是有理数，则存在整数p和整数q，且p、q的最大公约数为1，使得√2 =p/q 即 p^2=2q^2所以p为偶数设p=2k 则4k^2=2q^2 即 q^2=2k^2所以q也为偶数与p、q的最大公约数为1矛盾所以假设不成立所以√2 为无理数来自7(1/3)我刚自学数学分析感觉实数理论很难懂，我自学过高数和线代，我的困难在于我不能明白一些定义，原因是定义中出现了我未接触的名词像阿基米德有序答数分和高数是两各层次。照说教材里会解释什么叫做阿基米德有序域啊。对于某个有序域中任何两个正元素必然存在自然数n，使得na&b。来自8如何从“单调有界必有极限”推出“柯西列必收敛”如何从有限覆盖定理推出“柯西列必收敛”如何从致密性定理或者聚点定理推出“有界必有上下确界”答/c?m=9f65cb4a8c8507ed4fecee54f73d7ee41fcbfa67f3b9ad652e2a1450b08cbefb5daccba443ec...来自9十分感谢答极限的利用定义证明的一些东西，个人觉得有点难度。有些难度是相对的，没有一个既定的东西，有些人喜欢微分的那些概念和相关题目，就觉得不怎么难，考研前期数学复习，你尽量多抓基础来自10答没有.这类理论的书新华书店很少有卖的来自11问我现在在上大一。学习了高等数学（同济大学版），我在学习过程中十分困惑极限理论这一块内容。答个人认为实数理论最好的处理方法是，用简单的公理化承认之。可以参考Apostol的数学分析和Dieudonne的现代分析原理。为什么呢？因为大多数人并不是不承认实数理论的可靠性，他们在学习的过程中，一直都弄不清楚什么是已知的，什么是未知的，搞不明白到底哪些是重点，不理解这样做的动机……也许有的人不理解为什么0.999……=1，他们不能接受这个结...来自问我现在在上大一。学习了高等数学（同济大学版），我在学习过程中十分困惑极限理论这一块内容。答谢谢洪老师的回答。也认真看了老师的ps，非常感谢！来自12问我想自学康托尔的实数理论，请问要看哪些书，哪本书里讲的最为经典，我已经学习了dedekind的实数理论，看了兰道的 fundmental of analysis,等等的书，我想自学数学分析，以理性的推理的数学思维来学习数学分析，答谢邀。余翔的回答已很完善，数学分析教材中以Cantor实数理论出发者，以陶哲轩《实分析》为翘楚。至于一般的度量空间的完备化，陶哲轩的书里也有讲到。如果想进一步学习泛函分析，推荐看Rudin的泛函分析。另外我个人比较喜欢的一本泛函分析书是Helemskii的《Lectures and Exercises on Functional Analys...来自问我想自学康托尔的实数理论，请问要看哪些书，哪本书里讲的最为经典，我已经学习了dedekind的实数理论，看了兰道的 fundmental of analysis,等等的书，我想自学数学分析，以理性的推理的数学思维来学习数学分析，答谢谢邀请想学习实数理论，我觉得陶哲轩的《实分析》很适合，看完前6章，对实数的性质就了解很清楚了。如果想进一步学习实分析，可以看Terence Tao的《an introduction to measure theory》以及《an epsilon of room》来自13实数是数学中最基本的概念之一。实数与数轴上的点可以一一对应。数学分析所研究的函数，其自变量都取实数值，因此认识和了解实数是建立严格的分析理论不可缺少的基础（“分析基础”）。实数包括有理数与无理数，而从欧几里得以来，人们都把它们理解为单位长线段可公度与不可公度的线段的长度。到17世纪，人们对实数的使用已经习以为常，并开始脱离其几何原型抽象地认识实数。但到19世纪中叶，在分析严格化的进程中，由德国数学家戴德金 于一些事实无法证明（例如，柯西无法证明自己提出的收敛准则的充分性），一些证明出了错（如波尔查诺对连续函数介值性的证明），人们才发现对实数特别是无理数的认识仍然模糊不清，这才促使一批数学家关注于处理无理数的问题。通过他们的努力，终于在将近半个世纪的时间里，建立了多种形式上不同，而实质上等价的严格的实数理论。各种形式的构造性实数理论，都是首先从有理数出发去定义无理数，也就是说，数轴上有理点之间的所有空隙（无理点），都可以由有理数经过一定的方式来确定。然后证明这样定义的实数（原有的有理数和新定义的无理数）具有人们原来熟知的实数所应有的一切性质，特别是连续性。这些形式上不同的实数理论也就因确定空隙的方法不同而互相区分，它们主要有：戴德金用有理数的分割的方法，康托尔用有理数的基本列的方法，魏尔斯特拉斯用无穷（非循环）十进小数的方法，以及用端点为有理点的闭区间套和有界单调有理数列的方法。站在现代数学的立场来看，上述各种方法都是从假定实数具有某种特性出发的（如戴德金的方法假定了实数的连续性，康托尔假定的是完备性，而用闭区间套的方法反映了实轴上有界闭集的紧性），而这些特性在实数范围内都是等价的，因而用这些方法定义出的实数都是完全相同的。此外，还有一种与上述构造法完全不同的定义实数的方法（即“实数公理”）。他将实数应有的一些基本性质列为一个公理系统，然后将满足这个公理系统的对象定义为实数。基于这些公理的实数理论与上述基于构造法的也相互等价。当然还应当指出，不仅极限理论需要在实数系中才能成立，就是中学数学中的许多初等函数，除了多项式和有理分式之外，没有实数也是无法给出定义的。将无限不循环小数定义为无理数是容易为学生所接受的，但在这样定义的实数系内四则运算是如何进行的，还是完全不清楚的，而且实际上也不是简单的。至于指数和对数当其中都是实数时应当如何定义就更加困难了。由此可见，即使为了对初等函数给出严格的定义，也需要回答什么是实数这样一个问题。当然这不是中学数学要承担的任务。来自14毕达哥拉斯学派 公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希帕索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处。毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机（第一次数学危机），对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽。不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希帕索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来。毕达哥拉斯 无理数的发现，击碎了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的美梦。同时暴露出有理数系的缺陷：一条直线上的有理数尽管是“稠密”，但是它却漏出了许多“孔隙”，而且这种“孔隙”多的“不可胜数”。这样，古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想，就彻底的破灭了。它的破灭，在以后两千多年时间内，对数学的发展，起到了深远的影响。不可通约的本质是什么？长期以来众说纷纭。两个不可通约量的比值也因其得不到正确的解释，而被认为是不可理喻的数。15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, ）把它们称为是“无理的数”（irrational number），开普勒（J. Kepler, ）称它们是“不可名状”的数。这些“无理”而又“不可名状”的数，找到虽然在后来的运算中渐渐被使用，但是它们究竟是不是实实在在的数，却一直是个困扰人的问题。中国古代数学在处理开方问题时，也不可避免地碰到无理根数。对于这种“开之不尽”的数，《九章算术》直截了当地“以面命之”予以接受，刘徽注释中的“求其微数”，实际上是用10进小数来无限逼近无理数。这本是一条完成实数系统的正确道路，只是刘徽的思想远远超越了他的时代，而未能引起后人的重视。不过，中国传统数学关注的是数量的计算，对数的本质并没有太大的兴趣，而善于究根问底的希腊人就无法迈过这道坎了。既然不能克服它，那就只好回避它。此后的希腊数学家，如欧多克斯（Eudoxus）、欧几里得（Euclid）在他们的几何学里，都严格避免把数与几何量等同起来。欧多克斯的比例论（见《几何原本》第5卷），使几何学在逻辑上绕过了不可公度的障碍，但就在这以后的漫长时期中，形成了几何与算术的显著分离。法国数学家柯西 17、18世纪微积分的发展几乎吸引了所有数学家的注意力，恰恰是人们对微积分基础的关注，使得实数域的连续性问题再次突显出来。因为，微积分是建立在极限运算基础上的变量数学，而极限运算，需要一个封闭的数域。无理数正是实数域连续性的关键。无理数是什么？法国数学家柯西（A.Cauchy,）给出了回答：无理数是有理数序列的极限。然而按照柯西的极限定义，所谓有理数序列的极限，意即预先存在一个确定的数，使它与序列中各数的差值，当序列趋于无穷时，可以任意小。但是，这个预先存在的“数”，又从何而来呢？在柯西看来，有理序列的极限，似乎是先验地存在的。这表明，柯西尽管是那个时代大分析学家，但仍未能摆脱两千多年来以几何直觉为立论基础的传统观念的影响。变量数学独立建造完备数域的历史任务，终于在19世纪后半叶，由魏尔斯特拉斯（Weierstrass,）、戴德金（R.Dedekind）、康托（G.Cantor,）等人加以完成了。1872年，是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年，克莱因（F.Kline,）提出了著名的“埃尔朗根纲领”（Erlanger Programm），魏尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。也正是在这一年，实数的三大派理论：戴德金“分割”理论；康托的“基本序列”理论，以及魏尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了。德国数学家克莱因 努力建立实数的目的，是为了给出一个形式化的逻辑定义，它既不依赖几何的含义，又避免用极限来定义无理数的逻辑错误。有了这些定义做基础，微积分中关于极限的基本定理的推导，才不会有理论上的循环。导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来，免去任何与感性认识联系的性质。几何概念是不能给出充分明白和精确的，这在微积分发展的漫长岁月的过程中已经被证明。因此，必要的严格性只有通过数的概念，并且在割断数的概念与几何量观念的联系之后才能完全达到。这里，戴德金的工作受到了崇高的评价，这是因为，由“戴德金分割”定义的实数，是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物。实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义，从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功，使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了，古希腊人的算术连续统的设想，也终于在严格的科学意义下得以实现。由于实数理论的内容过于庞大，处理方式也各有不同，因此，它的有关理论也散见于各种文献中，以下是对定义实数系方法的文献综述。来自15问所谓公理化方法，起源于古希腊数学家欧几里得的《几何原本》。在该书中对于几何学提出了为数绝少的几条公理，然后用逻辑推理的方法得到所有其它定理，从而将整个几何学建成为一个明白易懂又非常严格的逻辑体系。只要公理不错，则所有得到的定理的真理性也就没有问题。这里的所谓公理，听起来似乎抽象，实际上就是大家都能够接受，对它们的正确性没有疑问的几个事实。所谓实数系的公理化方法也是如此，我们将心目中实数应当具有的尽可能少的独立性质列出来作为公理，使得其他性质都可以由公理推出来，这就建成了一个公理化系统（“实数公理”）。希尔伯特公理化方法刻画了我们所需要的实数系究竟是什么样的，它解决了中学数学中有关实数的许多遗留问题，如到底什么是实数的加法和乘法，为什么实数的加法满足交换律、结合律，乘法也满足交换律、结合律等，可以理解为公理规定的，事实上，如果提供更为基本的假设（比如在有理数的基础上），这些运算律都是可以证明的。它还保证了实数系的基本定理的成立，为数学分析中极限理论的展开提供了必要的舞台。而满足这些公理的实数系是否存在，存在性问题是靠下述各种构造方法解决的，也就是给出生成实数系的具体方法，同时证明在其中满足公理化方法中列出的所有公理。有关公理化的方法可以参看卓里奇的《数学分析（第一卷）》。来自问实数系的存在性是通过构造法引入的，以下是构造实数系的三种方法（主要是从有理数定义出无理数）。1.戴德金分割方法德国数学家兰道 戴德金分割的方法在有关数学分析的著作中多有介绍。最经典的叙述是兰道特地为此编写的小书《分析基础》  ，这本书的副标题就是“整数、有理数、实数、复数的运算”，该书从自然数出发，一直定义到复数，把完整的数系定义展现了出来。在前苏联的数学分析教材中对戴德金方法做完整叙述的，首推由三卷本组成的经典教材：菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》  。该书的绪论对戴德金分割方法有完整的叙述，它为全书奠定了牢靠的基础。另外还可以看亚历山大罗夫的《集与函数的泛论初阶》  和辛钦的《数学分析八讲》  第一讲，鲁金的《实变函数论》  附录Ⅰ，华东师范大学数学系的《数学分析（第三版）》  附录Ⅱ。在西方教材中，斯皮瓦克的《微积分》  在开始时用两章详细介绍了数系的公理，书末又用三章讲如何构造实数；卢丁的《数学分析原理》  的第一章和附录有对实数理论简短的叙述。这两种教材对戴德金分割的方法都有所改动，从数学史（波耶的《微积分概念史，对导数与积分的历史性评论》  一书中）知道，这基本上就是罗素提出的实数定义方法。在各种引入实数系的方法中，戴德金分割方法受到了高度的评价，被称作完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物。2.康托尔的基本列（即柯西列）方法这方面的内容可以参考辛钦的《数学分析简明教程》  第四章，范德瓦尔登的《代数学》  第68节，许绍溥、宋国柱等编的《数学分析》  第五章，邹应的《数学分析》  第二章以及华东师范大学数学系的《数学分析（第一版）》的附录Ⅱ。3.魏尔斯特拉斯从十进小数表示出发的方法德国数学家魏尔斯特拉斯 这种方法与前两个方法不同，不需要引入新的数学对象作为无理数，而是从中学已有的定义出发，即承认十进制有限小数和无限循环小数是有理数，而十进制无限非循环小数则是无理数。这样就比较容易为中学生所接受。因此也称为中学生的实数理论。但为什么是十进制无限非循环小数？这里不可避免地涉及到极限问题。在有了柯西准则之后，我们可以从数列极限或无穷级数之和来理解十进制无限非循环小数。但在建立实数系之前是不能如此理解的，否则就与历史上的柯西犯同样的错误了。因此，为了避免逻辑上的循环定义，在将十进制无限非循环小数定义为无理数时，一开始不可能将它看成是一个无穷级数的和，而只是将它看成一个纯粹的记号，一个还不清楚有什么意义的数学对象。然后在所有十进制小数全体组成的集合内引入加法、乘法运算，并规定其中任何两个小数之间的序，并验证它满足域公理、序公理、阿基米德公理和连续性公理这4组公理。当然这里需要经过很多步骤的推论。事实上，认为这样一种记号代表实数也是一种数学抽象，而且这也是连续性公理的另一种等价形式，历史上沃利斯于1696年将有理数与循环小数等同。而斯托尔茨则于1886年提出将十进制无限非循环小数作为无理数的定义  ，但仍未建立起一个满意的实数理论。从十进制小数开始讲实数的教材很多，例如可以参考阿黑波夫的《数学分析讲义》  ，关肇直的《高等数学教程》  和华罗庚的《高等数学引论》  等。在张筑生的《数学分析新讲》  的第一章比较详细的讲解了在十进制小数中引入四则运算的严格方法。可以归入这条途径的还有一种做法，就是引进以有理数为端点的闭区间套原理作为连续性公理的一种替代物。它既比较直观，同时又避开了十进制无限非循环小数这类一开始难以说清楚的对象，也是一种好方法。    来自问首先要明白这里惟一性的确切含义，这里指的是在同构意义上的惟一性，具体来说，就是证明凡是满足实数公理的实数系模型都是同构的。按照戴德金方法建立实数系后对其在同构意义下的惟一性的讨论可以参看斯皮瓦克的《微积分》  最后一章“实数的惟一性”。按照康托尔的柯西列方法建立实数系时的惟一性的讨论可以参看许绍溥、宋国柱等编的《数学分析》  第五章的最后部分的证明。来自16为了对实数连续统进行严格描述而产生的理论。实数理论的产生源于对微积分的理论基础严密化的追求，人类早期对实数的认识仅仅局限于应用，对无理数的本质认识是不 ... /view/873179为了对实数连续统进行严格描述而产生的理论。实数理论是分析基础的三大部分之一，另外两个部分是极限理论、变量与函数。极限理论是数学分析的基本研究方法，而变量与 … /wiki/实数理论
实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。 /view/14749实数理论是指为了对实数连续统进行严格描述而产生的理论。实数理论的产生源于对微积分的理论基础严密化的追求，人类早期对实数的认识仅仅局限于应用，对无理数的本质 … ·
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