已知x²+y²+z²=1,且x,y,z≥0求证：1≤x/(1+yz)+y/(1+xz)+z/(1+xy)≤√2
利用放缩法来解决,x/(1+yz)+y/(1+xz)+z/(1+xy）大于等于x/(yz)+y/(xz)+z/(xy）大于等于x²+y²+z²/xyz=1/xyz大于等于1
为什么 x/(yz)+y/(xz)+z/(xy）大于等于x²+y²+z²/xyz=1/xyz大于等于1 ？
还有，如何证明≤√2？
为您推荐：
其他类似问题
你试过两边同时乘以分母没？？
扫描下载二维码已知x,y,z>0,且x+y+z=1,求证:(1/x^2-x)(1/y^2-y)(1/z^2-z)>=(26/3)^3
用柯西不等式的推广形式：(x11+x12+...+x1m)(x21+x22+...+x2m)...(xn1+xn2+...+xnm)≥[(x11*x21*...*xn1)^(1/n)+(x12*x22*...*xn2)^(1/n)+...+(x1m*x2m*...*xnm)^(1/n)]^n不等式等号成立的条件是x21/x11=x22/x12=...=x2m/x1m=k1x31/x11=x32/x12=...=x3m/x1m=k2.xn1/x11=xn2/x12=...=xnm/x1m=k(n-1)在这里,对于要求证不等式的左边,对应于柯西不等式,有n=3, m=2x11=1/x^2, x12=-xx21=1/y^2, x22=-yx31=1/z^2, x32=-z∴左边=(1/x^2-x)(1/y^2-y)(1/z^2-z)≥{(1/x^2*1/y^2*1/z^2)^(1/3)+[(-x)(-y)(-z)]^(1/3)}^3
(1)=[(1/xyz)^(2/3)-(xyz)^(1/3)]^3此不等式等号成立的条件是(1/y^2)/(1/x^2)=(1/z^2)/(1/x^2)(-y)/(-x)=(-z)/(-x)又已知x,y,z>0, x+y+z=1∴(1/3)^3=[(x+y+z)/3]^3≥xyz
(均值不等式)
(2)此不等式等号成立的条件是x=y=z=1/3显然,此时x,y,z的值同时满足不等式(1)和(2)的等号∴有 -(xyz)^(1/3)≥[(1/3)^3]^(1/3)=1/3,(1/xyz)^(2/3)≥(3^3)^(2/3)=3^2=9带入不等式(1),可得左边≥[(1/xyz)^(2/3)-(xyz)^(1/3)]^3≥[9-1/3]^3=(26/3)^3=右边即有 左边≥右边∴不等式成立,得证
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码若x,y,z∈R+,且x+y+z=xyz,求证:(y+z)/x+(z+x)/y+(x+y)/z＞2(1/x+1/y+1/z)
大新丶TA0091
通分之后变成要证 (y+z)yz+(x+z)xz+(x+y)xy>2(yz+xz+xy)即(y^2z+yz2)+(xz^2+x^2z)+(x^2y+xy^2)>2(yz+xz+xy)因为y^2z+yz^2>=2yz*根号下(yz) 而yz=(x+y+z)/x=1+(y+z)/x>1,所以根号下yz也是大于1的,所以 2yz*根号下(yz) 大于2yz,所以y^2z+yz^2 >2yz,同理可知另外的两个部分,所以不等式成立.
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码已知（x+y)(y+z)(z+x)=0,xyz不等于0 求证：1/x+1/y+1/z=1/(x+y+z)
捏捏捏捏捏0327
因为（x+y)(y+z)(z+x)=0,因此x+y=0或者y+z=0或者z+x=0又因为xyz不等于0 ,因此x,y,z均不为零当x+y=0时 x=-y；1/x+1/y = 0；1/(x+y+z) = 1/z；等式成立同理其他情况下等式也成立
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码}