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已知函数f(x)=x2+2x+alnx(a∈R)，(1)当a=-4时，求f(x)的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，1)上为单调函数，求实数a的取值范围；(3)当t≥1时，不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：偏难来源：江西省模拟题
解：(1)f(x)=x2+2x-41nx(x＞0)，f′(x)=2x+2-，当x＞1时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，∴f(x)min=f(1)=3．(2)，若f(x)在(0，1)上单调递增，则2x2+2x+a≥0在x∈(0，1)上恒成立在x∈(0，1)上恒成立，令u=-2x2-2x，x∈(0，1)，则，，∴a≥0；若f(x)在(0，1)上单调递减，则2x2+2x+a≤0在x∈(0，1)上恒成立；综上，a的取值范围是(-∞，-4]∪[0，+∞)．(3)(2t-1)2+2(2t-1)+aln(2t-1)≥2t2+4t+2alnt-3恒成立，a[ln(2t-1)-21nt]≥-2t2+4t-2a[ln(2t-1)-lnt2]≥2[(2t-1)-t2]，当t=1时，不等式显然成立；当t＞1时，t2-(2t-1)=t2-2t+1=(t-1)2＞0t2＞2t-1lnt2＞ln(2t-1)在t＞1时恒成立，令，即求u的最小值，设A(t2，lnt2)，B(2t-1，ln(2t-1))，，且A、B两点在y=lnx的图象上，又∵t2＞1，2t-1＞1，故0＜kAB＜，∴，故a≤2，即实数a的取值范围为(-∞，2]。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=x2+2x+alnx(a∈R)，(1)当a=-4时，求f(x)的最小值；(..”主要考查你对&&函数的最值与导数的关系，函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的最值与导数的关系函数的单调性与导数的关系
函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
发现相似题
与“已知函数f(x)=x2+2x+alnx(a∈R)，(1)当a=-4时，求f(x)的最小值；(..”考查相似的试题有：
443591289732284252284215277258247078导数和函数的综合问题函数f（X）=x^3 -3tx + m(x∈R,m和t为常数）是奇函数.（1）求实数m的值和函数y=f(x)的图像与横轴的交点坐标：（2）设g(x)=|f(x)|（x∈[-1,1]),使当t≤1/4时,求g(x)的最大值F(t)及F（t)的最小值；
函数f（X）=x^3 -3tx + m(x∈R,m和t为常数）是奇函数.则f(-x)=-f(x)所以又（-x）^3 +3tx + m=-x^3 +3tx - m则m=0函数y=f(x)的图像与横轴的交点坐标,即f（X）=0的根此时x^3 -3tx =x（x^2-3t）=0当t>0时,有根x=0,√（3t）,-√（3t）当t<=0时,有根x=0,2.g(x)=|f(x)|而f(x)为奇函数,所以,当x>0,g(x)=f(x)=x^3 -3tx 当x<0,g(x)=-f(x)=-x^3 +3tx f'(x)=3x^2-3t=3（x^2-t）因为对称,所以我们只需要讨论x>0的一边即可.即g(x)=x^3 -3tx 可知当t<=0时,函数单增,当t>0时,x>√t,或者x<-√t,函数单增,-√t<x<√t时,函数单减所以在x=-√t或者x=1取得最大值.而t≤1/4,所以,当t≤0时,g(x)的最大值F(t)=g(1)=1-3t当0<t≤1/4时,g(x)的最大值F(t)=g(-√t)=2t^(3/2)或者g(1)=1-3t比较2t^(3/2)与1-3t.令M(t)= 2t^(3/2)-（1-3t）M'(t)=3t^(1/2)+3当t>0时,M'(t)>0,所以函数M(t)单增而M(1/4)=1/4+3/4-1=0所以M(t)的最大值为0,所以2t^(3/2)>1-3t所以当0<t≤1/4时,g(x)的最大值F(t)=g(-√t)=2t^(3/2)综合得：当t≤0时,g(x)的最大值F(t)=g(1)=1-3t当0<t≤1/4时,g(x)的最大值F(t)=g(-√t)=2t^(3/2)F（t)的最小值当t≤0时,g(x)的最大值F(t)=g(1)=1-3t,所以最小值为t=0,F(0)=1当0<t≤1/4时,g(x)的最大值F(t)=g(-√t)=2t^(3/2),所以最小值为：F(0)=0综上考虑得：F(t)的最小值为0
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