为什么空间点阵只有十四种？_化学吧_百度贴吧
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为什么空间点阵只有十四种？收藏
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首先是有六个晶胞参数，根据相等与否定出7大晶系，再通过加入体心，底心，面心等操作，考虑对称性，若新得到的格子与原来的晶格等价则不算，若不等价则加上一种，如此可得14种···
据说Bravais用了群论= =
数学证明的结果=w=
那么加到不是心的地方呢= =
没错，点群G，任何点对称操作，Xi，对同型群γ的平移群{T}给出的变换最后都保持是{T}
那就不满足对称性和周期性了吧···晶体是由晶胞在三维无限重复排列成的啊···
用数学方法可以证明只有10种二维点群，32种三位点群；17种平面群和230种空间群。不过更常见的是证明为什么布拉维点阵只有14种而不是4×7=28种。
回复4楼：这个还用不到吧，之后的点群，空间群才用到…
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空间点阵与晶体结构的异同
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空间点阵与晶体结构的异同
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3秒自动关闭窗口空间点阵结构学说?X射线衍射方法出现,揭示了晶体内部质点排列的规律,形成了空间点阵学说
空间点阵理论(Bravais空间点阵学说) 晶体结构=点阵+基元晶体结构=点阵+基元 晶格=点阵+基元晶格=点阵+基元格点=阵点+基元格点=阵点+基元 点阵的数学性质 点阵是一种数学抽象,其性质完全是数学问题. 实际晶体结构 基元如何"附着"到点阵上 点阵的数学性质点阵的数学性质————坐标与周期性坐标与周期性 点阵的定义 空间中周期性排列的无穷多点的集合, 或者 由矢量r = ma1+na2+pa3给定的无穷多点的集合,其 中a1,a2,a3为任意不共面的矢量,m,n,p为任意整数. 点阵的数学性质点阵的数学性质————坐标与周期性坐标与周期性 几何图形表示: 点阵,格子 平行六面体 (为什么可以用平行六面体 来表示点阵:它可以完全反 映点阵的几何特性) 原胞:最小的重复单元,有 多种选择,惯用选取 晶胞:考虑了对称性的最小重复单元,总是原胞体积 的整倍数,惯用晶胞的选取 点阵的数学性质————坐标与周期性坐标与周期性 点阵里的数学描述 坐标系的选取:原点(无关紧要的),基矢(原胞基 矢a1,a2,a3,晶胞基矢a,b,c) 任一阵点位置:r = ma1+na2+pa3
m,n,p为任意整数;如果是晶胞基矢,m,n,p可 能为分数. 平移周期性:Γ(r)=Γ(r +ma1+na2+pa3 ) Γ可以代表晶体里原子的分布情况或其它物理量,如 晶格势场和电子电荷密度 点阵的数学性质————坐标与周期性坐标与周期性 点阵里的数学描述 晶向:过原点的晶列上任意阵 点坐标转化为互质整数[uvw], 因对称性而等效的晶向表示为 . 晶面密勒指数:与坐标轴截距 的倒数比并转化为互质整数(hkl), 因对称性而等效的晶面族表示为 {hkl}. 晶面方程:r n =μd 即晶面族中的一个晶面由其法线方向n及其与 原点距离d决定,μ为整数,r为晶面上阵点矢量. (144)(210) (623) 点阵的数学性质————坐标与周期性坐标与周期性 数学性质 在点阵定义下,其数学性质可以是多种多样的,但 对晶体学和固体物理学而言,有应用的性质才有实际 意义. 例如,一条直线过两个阵点,必过无穷多个阵点, 且阵点距离相等.试证明:有没有只过一个阵点的直 线 反证法:假设直线在某个晶面内,为简单计假设此晶面为正交或 正方二维点阵.取此阵点为原点,直线与坐标轴夹角的正切为tgθ.若 此直线过另外一个阵点,tgθ必为有理数.但tgθ可以为无理数,所以 直线可以不过其它的阵点.证毕 试证明:晶胞中,阵点只能出现在顶点,体心和面 心位置,不能出现在棱上. 点阵的数学性质————对称性对称性 几何图形的对称性 对称性是指经过对称操作之后几何图形在空间上与 自身重合的几何性质,对称元素则代表一类对称操作. 例如图形每旋转90度(对称操作)都重合,就包含一 个4次旋转轴(对称元素). 几何图形的对称元素 对称性有高低之分,可以用包含的对称元素的种类 和数量来衡量. 有限几何图形只能有宏观对称元素:旋转,反演, 反映(镜面),象转轴 无限几何图形(如点阵)可以有微观对称元素:平 移,螺旋轴,滑移反映面 点阵的数学性质————对称性对称性 几何图形的对称元素的组合 对称元素组合在一起不是任意的,一些对称元素的 组合有可能导致新的对称元素的出现,这些对称元素 是不可分的,形成一个组合,称为对称操作群. 如图,2次轴与2次轴相交,夹角 为α,则必产生一个n次轴,其基 转角为2α,并与这两个2次轴垂直. 另一方面,360度必须能够被2α 整除,否则n次轴就蜕变为无穷次 轴.即只可能在园对称中才可能找 到夹角为α的两个2次轴. 对称元素必须过空间中同一点,其图形才是有限的, 这样的对称操作群称为点群. 点阵的数学性质————对称性对称性 点阵的对称性 点阵的平移周期性对对称元素及其组合有极大的限 制性,使得点阵里的宏观对称元素只有8种: 1,2,3,4,6,I,m,4 此8种对称元素的组合只有32种,即32个点群;若 加入微观对称元素,可以得到230种空间群.由此完 全地描述了晶体里的对称性. 例如点阵平移周期性对旋转轴次的限制可由下图表 示:C'D'=AB(1+2Cosθ) 因此θ只能有五个取值,对 应五个旋转轴. 点阵的数学性质————对称性对称性 晶体的宏观对称性 晶体的宏观对称性通常并非指外形,而是指点阵和 晶格; 晶体里有无数的对称元素,但对称性只由一个点群 来描述; 晶体的"宏观对称性"更多与晶体"宏观物理性质" 相对应的意味,它影响着晶体的宏观物理性质. 诺埃曼原则:晶体任何的宏观物理性质的对称性不低于其晶 体的宏观对称性. 立方晶体中光学性质是各向同性的.(证明略) 点阵的数学性质————对称性对称性 七大晶系 基矢a,b,c及其夹角α,β,γ决定了平行六面 体(晶胞)的外形,以外形特征来划分总共可以分为7 种,各自有其特征对称元素.(完整的对称元素及其 组合是由32点群描述的.) 根据特征对称元素可以决定点阵属于什么晶系,但 是必须依次从高对称晶系到低对称晶系进行判断,即: 立方,六方,四方,三方,正交,单斜,三斜 惯用坐标系的选取:a,b,c 点阵的数学性质————对称性对称性 14种Bravais格子 尽量在点阵中画出具有更高对称性的平行六面体(晶 胞),因此阵点可能出现在底心,体心,面心位置. Bravais在1848年证明了可以有14种晶胞,称为Bravais 格子(能反映点阵最高对称性的最小重复单元). 二维的Bravais格子: 十四种Bravais晶胞 点阵的数学性质————对称性对称性 晶系和Bravais格子与点群,空间群的 关系 晶系 Bravais格子 32点群 230空间群 到现在为止,已知晶体的结构大都属于230种空间群中的100种.将 近有80个空间群中一个例子也没有找到. 实际晶体结构 简单格子与复式格子 基元里的不同原子(原子序数或周围环境不同)以 完全相同的Bravais格子结构相互套构在一起,就构成 了实际晶体结构. 或者理解为,基元以相同的位置和取向附着到点阵 点上,也可以得到晶体结构. 典型的晶体结构 NaCl结构,CsCl结构,金刚石结构(碳,硅,锗) 闪锌矿结构(GaAs,InSb,InP),石墨结构 ABO3结构与铁电性(BaTiO3) 实际晶体结构
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