习题详解-第7章 多元函数微分学_百度文库
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习题详解-第7章 多元函数微分学
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高等数学空间解析几何教学动画系统的构建与实践
2015年7期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　【摘要】本文将Matlab软件动画程序设计引入高等数学中空间解析几何的辅助教学，构建了形象生动的教学动画系统，有利于培养学生的抽象思维能力、空间想象能力和自主学习能力。为学生学习多元函数微分学、重积分和线面积分、以及其它相关后续课程奠定了基础，提高在实际中发现问题、分析问题和解决问题的应用能力，逐步培养学生的探索精神和创新能力。 中国论文网 /9/view-6870820.htm　　【关键词】空间解析几何；教学动画系统；Matlab；多元函数微分学；重积分和线面积分 　　1 引 言 　　长期以来数学都是一门以抽象、枯燥、深奥、逻辑性强、难以理解而闻名的学科，尤其是空间解析几何是一门综合运用知识性很强的学科，它要求学生具备一定的逻辑思维能力，空间想象能力以及解决实际问题的能力，特别是空间想象能力。空间解析几何部分知识是高等数学下册的多元函数微分学、重积分、线面积分等的基础，这部分的知识没有学好，几乎不可能深刻地理解高等数学下册的内容。高等数学是工科学生的必修基础课程，关系到学生大学四年的学习质量；空间想象能力是工科学生必备的基本能力，关系到后续很多专业课程的学习效果，如机械类学生的机械制图课程、土木类及建筑类专业的各种设计课程等。 　　空间解析几何的特点是从想象图形的空间形状和位置关系，到想象动点如何描述；另一个方面，从一个抽象的方程想象出一个图形再到想象出它的特点。基于上述特点，在传统的解析几何的教学过程中偏重于知识的讲授，教师在黑板上边板书边讲解边绘图，声行并茂，教师还可根据学生的反应调整讲解速度，这样可以使学生跟着老师的思想，一步一步地接受和理解老师所讲解的内容，彰显了教师的亲和力和感染力。但是教师在黑板上即兴绘制复杂的空间几何曲面，往往需要花费大量的课堂时间，即使如此，在黑板上随手画的图形也不规则、不标准，使学生难以理解，达不到理想的教学效果。因此，笔者作为数学教师一直在探索一种高效、有效、直观、能弥补少数空间想象能力差的学生的不足的教学方法。 　　多媒体技术的发展，为空间解析几何的教学提供了新的方法和手段。国内外的一些教师把多媒体技术引入高等数学的教学中[1]，常见的是 Powerpoint、几何画板（The Geometer's Sketchpad）和Flash动画，这些方法的应用仅仅是解决了授课时的作图问题，提高了工作效力。 　　2 Matlab动画技术 　　Matlab是由美国Mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中。具有方便的数据可视化功能，可以将向量和矩阵用图形表现出来，且可以对图形进行标注和打印。新版的Matlab软件增加了高层次的作图功能，包括二维和三维的可视化、图象处理、动画和函数作图[9]。可用于高等数学空间解析几何的辅助教学。 　　在空间解析几何教学中，Matlab不仅能将复杂的空间曲面方程以精准、直观地用三维图形表现出来，还能以动画的形式将空间复杂曲面任意旋转，使学生能直观地、全方位地观察、理解空间曲面方程所表示的曲面形状、特征和性质，从而增强了学生的空间想象能力，为学生在后续内容重积分和线面积分的学习奠定良好的必要基础，从而提高了学生学习的积极性。Matlab的动态输出功能可将Matlab制作的动画以Gif格式文件存盘，可直接拷贝到多媒体教室里给学生进行演示，不必在公共计算机上安装Matlab专业软件。 　　但是多媒体技术只是一种知识的载体，是一种工具，教学重点则是在知识内容的选取上和表现形式的研究上，明确该课程教什么和怎么教的问题以及知识的展现形式。作者结合Matlab技术的功能和学生的心理特点，力求从学生的头脑中去建立概念，从概念中产生方法，最终形成一个完整的空间解析几何教学体系。 　　作者在对教学内容和教学方法作了充分研究的基础上，开发了基于Matlab的教学动画系统，用Matlab技术制作空间曲面的动画，并增加截痕，让空间曲面旋转起来，让学生更加直观地、全方位地理解空间曲面的方程所代表的几何形状，使学生在学习过程中处于一种不疲倦的状态，在规定的时间内更加深刻理解空间解析几何的知识，培养学生的空间想象力。 　　3 基于Matlab的教学动画系统的构建 　　（1）基于Matlab的动画辅助教学设计 　　为了探索有效的空间解析几何教学方法，笔者探索把Matlab 动画技术与高等数学中空间解析几何的传统教学法进行有机的融合，教师首先采用传统的教学方法讲授教材中出现的空间曲面方程的代数性质及采用相应的截痕法去了解方程代表的几何曲面的大致形状，再用Matlab动画技术制作空间曲面的动画给学生演示，让学生了解空间曲面形成的过程和对整个空间曲面的形状形成一个完整的印象，强化学生的空间想象能力。把这种以任课教师讲解为主、适时插入Matlab制作的旋转动画进行辅助教学的教学方法称之为Matlab动画辅助教学。 　　（2）教学动画系统的构建 　　应用Matlab 动画技术，构建了高等数学空间解析几何教学动画系统，涵盖了教学内容涉及的一系列典型动画。 　　4 典型动画案例 　　以Matlab软件为开发平台，根据空间解析几何的教学特点，编写了空间解析几何教材中所有空间曲面旋转的动画制作通用程序，需要制作不同空间曲面的演示动画时，只需要输入该空间曲面方程、并对该方程所包含的参数赋值后运行该程序，就可以得到该空间曲面方程的图形绕轴3600旋转的演示动画。下面列举双曲抛物面（马鞍面）和椭圆抛物面的动画演示效果。 　　（1）双曲抛物面（马鞍面）的动画制作及效果 　　双曲抛物面（马鞍面）的方程为 　　（ 同号）， （1） 　　在Matlab软件编写的演示动画通用程序中输入双曲抛物面（马鞍面）方程式（1），参数取值 ， ，运行动画程序得到双曲抛物面（马鞍面）的三维动画效果，可将该动画以gif格式输出，其三维动画的部分截图如图1所示。
　　（2）椭圆抛物面的动画制作及效果 　　椭圆抛物面的方程为 （ 同号） （2） 　　同样，在Matlab软件编写的演示动画通用程序中输入椭圆抛物面方程式（2），参数取值 ， 时，运行动画程序可得到椭圆抛物面的三维动画效果，同时将该动画以gif格式输出，其三维动画的部分截图如图2所示。 　　教师在课堂上采用传统的截痕法给学生介绍高等数学中所涵盖的空间曲面的大致形状基础上，再用Matlab软件制作空间曲面的动画效果进行演示，学生学习的积极性得到极大的提高，课堂气氛非常活跃，大部分学生还有兴趣想自己编写源程序，达到了培养学生自主学习能力的目标。 　　5 教学应用效果检验 　　为了检验Matlab动画技术在空间解析几何教学中辅助教学的效果，选择笔者所在高校2010级同一个专业的两个本科教学班（每班150人左右，且在高等数学上册的期终考试成绩几乎无差异）进行对比教学实验，其中一个班采用传统教学法，教师分别对不同的空间曲面，先给出曲面方程，讲解方程的特点，同时用PPT投影该曲面方程的图形，无空间动画演示，这个班在下文的叙述中称为普通班（简称A班）；另一个班是传统教学法与Matlab动画技术辅助教学相融合，教师分别对不同的空间曲面，先给出曲面方程，讲解曲面方程的特点，同时用PPT投影该曲面方程的图形，让学生对空间曲面形状有一个基本认识后，再播放一段事先制作好的该曲面方程对应的图形的三维动画视频，加深学生对此曲面方程和它的图形形状的理解。播放完曲面方程的三维动画视频之后，对前面的讲解和观看视屏后的直观感受进行总结，进一步强化学生对空间图形的理解力和空间想象能力。这个班称为实验班（简称B班）。 　　经过一段时间的教学后，分别在两个班对学生的学习情况进行了座谈，A班的大多数同学认为很难想象出空间曲面的形态，对空间曲面方程难以理解，听起课来感觉比较枯燥，学习兴趣不浓厚，导致该班学生普遍对空间曲面的理解也不透彻，对后续有关知识的学习有不良影响。B班的大多数同学认为在传统的教学法的基础上增加了曲面的三维旋转动画演示，学生能直接观看空间曲面的形态，加上老师的讲解使学生全面理解该曲面方程的特性。由于三维旋转动画的视觉冲击，使学生的大脑产生兴奋感从而增加学生的记忆力。学生普遍感觉在空间解析几何教学中增加空间曲面的三维动画演示辅助教学环节能调节教学气氛，加深对空间曲面方程的理解与运用能力，增强学生的空间想象能力，对后续知识的学习奠定了很好的基础。 　　任课教师普遍反映空间解析几何教学是高等数学教学中的重点、难点，在教学过程中往往费事费力、反复讲解，教学效果还是不明显，学生们还是反映难以理解曲面方程的图形的空间形态与特征，严重影响高等数学后续有关章节的学习。通过一学期的试验教学，我们深切感受到采用空间曲面的三维动画演示辅助教学环节能很好地弥补学生初学空间解析几何时对空间想象力差的不足，通过直观的动画演示，使学生一目了然，增强学生对复杂空间曲面的认识，提高学生分析问题的能力，同时还可以减少教师的讲解工作量，达到事半功倍的教学效果。在后续有关三重积分和线面积分等内容的教学中也反映出A班的理解能力和接受能力不如B班的情况。为了检验A、B两个班的教学效果，笔者针对与空间解析几何有关的内容，将多元函数微分学（空间曲线的切线和法平面，空间曲面的的切平面及法线，条件极值），三重积分和线面积分等内容单独命了一套单元测试试卷（百分制），考试成绩分布如表2和图3所示： 　　从上表的数据可以看出： 　　① B班的优良成绩人数比A班高出25人。 　　② B班的平均成绩比A班高出9.5分。 　　从以上学生考分统计表可以看出，采用Matlab动画技术辅助教学的B班测验成绩明显优于传统教学的A班。从测验试卷分析发现，A班学生的失分主要集中在不能正确理解曲面方程所表达的空间图形的形状，无法正确地确定出各变量的积分限所致。而B班学生具备良好的空间想象力，能正确认识各种曲面方程的图形的形态，能正确地确定出各变量的积分限，从而在测验成绩单上反应出较好的成绩。 　　该学期期末考试也反应出这两个班学生考试成绩的差异。期末考试题中涉及与曲面方程有关的三重积分、曲面积分和空间曲线积分考题，总分数22分。该两个班学生针对这三道题的得分情况如表3所示。 　　从期末考试中相关成绩的分布表3也可以看出：在与曲面方程有关试题的考试成绩也是 B班成绩明显优于A班。从卷面分析来看，A班学生主要失分在三重积分考题：计算 ，其中 是由曲面 与平面 所围成的闭区域。A班大多数学生因不能想象出该函数所表达的空间图形的形状，无法正确地确定出此题各变量的积分限，从而导致了在该题上失分，影响了考试成绩。而B班在该题上失分的比例很小。 　　6 结束语 　　构建的高等数学解析几何教学动画系统，作为辅助教学资源，有利于增强学生的空间想象力和形象思维能力，激发学生的学习积极性，教学质量得到显著提升。 　　参考文献： 　　[1]林海涛等，常用软件在《空间解析几何》教学上的实践，广东轻工职业技术学院学报，2010，Vol.9，No.3，PP.33-37 　　[2]孔详强，MATLAB软件在空间解析几何教学中的应用探索，计算机应用与软件，2002，MATLAB，No.8，pp.297-300 　　[3]黄忠铣，MATLAB在高等代数与空间解析几何教学中的应用，南平师专学报，2006，Vol.25，No.4， PP.22-23 　　[4]菅小艳，MATLAB在高等数学中的应用，计算机时代，2011，No.5，pp.51-53。 　　[5]李莉玲，基于MATLAT的高等数学图形CAI的开发与利用，计算机与现代化，2003，No.9，pp.65-67。 　　[6]催秋珍，空间解析几何二次曲面伸缩法的MATLAB的设计和实现，软件设计，2012，No.8，pp.45-46。 　　[7]王兆飞，用MATLAB软件讨论马鞍面的形状，张家口师专学报，2002，Vol.18，No.48-50。 　　[8]度 巍，空间解析几何中二次曲面截痕法的动画演示，电脑知识与技术，2011，Vol.7，No.25，pp.。 　　[9]张志涌，杨祖樱，MATLAB教程，北京航空航天大学出版社，2010 　　[10]同济大学数学教研室，高等数学（第四版），高等教育出版社，1999.
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《中国学术期刊（网络版）》
利用微分学求解空间解析几何中的距离问题
【摘要】 &正&空间解析几何中的距离问题可利用微分学[1-2]的知识来求解,本文以点到平面的距离,点到直线的距离以及两条异面直线之间的距离等实例说明了空间解析几何中的距离问题可利用微分学的知识方便、快捷地求解.
【关键词】 ；
【分类号】O182;O172.1
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