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最优化方法局部课后习题解答
1.一直优化问题的数学模型为：
习题一
1 2minf(x)= (x?3)2+(x?4)2
1 2
?g(x)=x?x?5≥0
?1 1 2 2
?
试用图解法求出：
s.t.?g2(x)= ?x1?x2+5≥0
?g(x)=x≥0
?3 1
??g4(x)=x2 ≥0
〔1〕无约束最优点，并求出最优值。
〔2〕约束最优点，并求出其最优值。
〔3〕如果加一个等式约束h(x)=x1?x2 =0，其约束最优解是什么？
*
解：〔1〕在无约束条件下，f(x)的可行域在整个x10x2平面上，不难看出，当x=〔3，4〕
时，f(x)取最小值，即，最优点为x*=〔3，4〕：且最优值为：f(x*)=0
〔2〕在约束条件下，f(x)的可行域为图中阴影局部所示，此时，求该问题的最优点就是
在约束集合即可行域中找一点(x1,x2)，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可
以看出，当x* =
(15,5)时，f(x)所在的圆的半径最小。
(
4
4
?g(x)=x?x?5= 0
?15
?x1=
其中：点为g1(x)和g2(x)的交点，令
?1 1 2
?2
求解得到：?4
5
即最优点为x* =
??g2(x)= ?x1?x2+5=0
(15,5)：最优值为：f(x*)=65
(
?x=
??2 4
4
4 8
〔3〕.假设增加一个等式约束，那么由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。
2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并答复这属于几维的优化问题.
解：列出这个优化问题的数学模型为：
maxf(x)=x1x2x3
?x1x2+2x2x3+2x1x3≤S
?
?s.t.?x1>0
?
?x2>0
??x3>0
该优化问题属于三维的优化问题。
x=s/3,y=
s/3,z=
s/12
v=s
3
3s==1?=s?2
?
?18 2?
?
?
习题二
3.计算一般二次函数f(x)=1 XTAX+bTX+c的梯度。
2
ij
n×n 1 2 n 1 2 n解：设：A=(a) ,b=(b,b,...b)T,X= (
ij
n×n 1 2 n 1 2 n
f(x)=1
n
n n
axx+
bx+c，将它对变量x(i=1,2,...n)球偏导数得：
∑∑ij i
j
∑i i i
2i=1
j=1
i=1
?1n 1 n
??n
??n ?
??f(x)?
?∑a1jxj+
∑ai1xi+b1 ?
?∑a1jxj??∑ai1xi?
???2j=1
2i=1
??j=1
??i=1?
??x1
?
?1 n 1 n
??n
??n
??b?
??f(x)?
?∑a2jxj+
∑ai2xi+b2?
∑ajxj ?∑ai2xi???
?f(x)=??=?2j=1
12i=1
1
1?2
?=
?+1 + b
?j=1
??i=1
??2 ?
??x2
???
?2???2??
??b?
??f(x)???
????
?3?
???1 n 1 n
??n
???
n??x3
?
n
?∑anjxj+
∑ainxi+bn?
?∑anjxj??∑ainxi?
?2j=1
1 T
2i=1
??j=1
??i=1?
= (AX+AX)+b
2
5.求以下函数的梯度和Hesse矩阵
〔1〕f(x)=x2+2x2+3x2?4xx
?2
0
-4?
解：?2f(x)=?0
4
0?
1 2 3 1
3
?x2ex1x2
??
? ???4
? ?
6x+ex1x2+xxex1x2 ?
〔2〕f(x)=3xx2+ex1x2
解：?2f(x)=
??
?
2 2 1
2
1 2 1 2 1 2
?
1
2 6x+exx+xxexx
6x+x2exx
?2 1
2 1 1 ?
6.判断以下函数是凸函数，凹函数，还是既不凸也不凹函数：
1 2 1 2 1
2〔1〕f(x,x)= ?x2+2x2+3
1 2 1 2 1
2
解：?2f(x)不是半正定，即f(x)}