《化工系统工程基础：lesson 7 联立方程法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《化工系统工程基础：lesson 7 联立方程法（45页珍藏版）》请在人人文库网上搜索。

1、13 过程系统模拟的联立方程法过程系统模拟的联立方程法3.1 过程过程系统数学模型的特点与建立系统数学模型的特点与建立3.2 大型大型稀疏非线性方程组的降维解法稀疏非线性方程组的降维解法3.3 联联立线性方程组法解大型稀疏非线性方程组立线性方程组法解大型稀疏非线性方程组3.5联立方程法的优势联立方程法的优势23.1 过程系统数学模型的特点与建立过程系统数学模型的特点与建立n过程系统数学模型的特点过程系统数学模型的特点（1）高维大型非线性方程组）高维大型非线性方程组系统的模型方程组：系统的模型方程组： X 状态变量；状态变量； W 设计变量；设计变量；F( ) 系统模型方程组，其中包括：系统模型

2、方程组，其中包括：n物性估算方程：计算混合物在各种状态下的物性物性估算方程：计算混合物在各种状态下的物性n单元模型方程：包括物料平衡方程、能量平衡方程、反应动力学单元模型方程：包括物料平衡方程、能量平衡方程、反应动力学方程、传递方程等方程、传递方程等n过程单元间的联结方程：描述过程系统结构的拓扑关系过程单元间的联结方程：描述过程系统结构的拓扑关系n设计规定方程设计规定方程0WXF,3（2）方程组的复杂性）方程组的复杂性过程系统数学模型所包含的方程的种类非常复杂，是一个极其复杂过程系统数学模型所包含的方程的种类非常复杂，是一个极其复杂的混合型方程组：的混合型方程组：过程系统由若干单元组成，整个系

3、统的总变量数很大过程系统由若干单元组成，整个系统的总变量数很大现代化工物料、热量充分利用，热集成度高，组成了高度交联现代化工物料、热量充分利用，热集成度高，组成了高度交联的流程拓扑结构的流程拓扑结构线性代数方程，如物料平衡方程线性代数方程，如物料平衡方程非线性代数方程，如化学平衡方程、热力学方程、物性估算方非线性代数方程，如化学平衡方程、热力学方程、物性估算方程；程；微分方程，如化学反应动力学方程、描述反应器内部传递特征微分方程，如化学反应动力学方程、描述反应器内部传递特征的偏微分方程的偏微分方程 序贯模块法的迭代层次示意图序贯模块法的迭代层次示意图 联立方程法的迭代层次示意图联立方程法的迭代

4、层次示意图 5（3）方程组的稀疏性）方程组的稀疏性无论描述全系统的方程组的维数有多高，函数关系有多复杂无论描述全系统的方程组的维数有多高，函数关系有多复杂每个过程单元所涉及的仅局限于几个方程，且每个方程往往仅涉及每个过程单元所涉及的仅局限于几个方程，且每个方程往往仅涉及少数几个变量。少数几个变量。化工系统的模型方程组是化工系统的模型方程组是 超大型超大型 稀疏矩阵稀疏矩阵。描述方程组的稀疏程度描述方程组的稀疏程度稀疏比稀疏比：N0/N2 N描述系统的方程组的阶数描述系统的方程组的阶数 N0为方程组线性化后的系数矩阵含非零元素的数目。为方程组线性化后的系数矩阵含非零元素的数目。大型化工系统大型化

5、工系统的数学模型，稀疏比一般小于的数学模型，稀疏比一般小于1，约为，约为0.20.5。氨合成工艺流程物料平衡数学模型氨合成工艺流程物料平衡数学模型6方程数方程数=45；变量数变量数=62，设计变量数，设计变量数=11271xFxFxFxFxFxFxFxFxFxFxFxFFFF 23333

过程过程系统数学模型的特点与建立系统数学模型的特点与建立n联立方程组中微分方程的处理联立方程组中微分方程的处理利用非线性方程组的常用解法直接求解含有部分微分方程的联立方利用非线性方程组的常用解法直接求解含有部分微分方程的联立方程组是有困难的，解决的方法有两种：程组是有困难的，解决的方法有两种

8、：（1）利用）利用方程组分块方程组分块技术，将含有微分方程的方程块，包括边界技术，将含有微分方程的方程块，包括边界条件（代数形式的或微分形式的）分隔独立出来，用数值积分的方法条件（代数形式的或微分形式的）分隔独立出来，用数值积分的方法求解；求解；（2）将微分方程、包括导数形式的边界条件改写成差分方程，或）将微分方程、包括导数形式的边界条件改写成差分方程，或直接从严格微分模型开发直接从严格微分模型开发近似代数模型近似代数模型。（近似代数模型可以是线性或非（近似代数模型可以是线性或非线性的，在迭代过程中随时更新方程参数，以保持各迭代点附件近似模型与严线性的，在迭代过程中随时更新方程参数，以保持各迭

9、代点附件近似模型与严格模型的等效性）格模型的等效性）10n初值的选取初值的选取困难：变量维数大困难：变量维数大 迭代的收敛稳定性对初值要求苛刻迭代的收敛稳定性对初值要求苛刻产生初值的方法：产生初值的方法： 利用严格模型在基点附近产生一组简化模型，利用序贯模块利用严格模型在基点附近产生一组简化模型，利用序贯模块法产生一组初值法产生一组初值 产生一组近似线性模型，联立求解线性方程组得到初值产生一组近似线性模型，联立求解线性方程组得到初值 直接用严格模型按序贯模块法直接迭代数次后，得到初值直接用严格模型按序贯模块法直接迭代数次后，得到初值n变量物理意义的限制变量物理意义的限制迭代计算中通过增补必须的

10、迭代计算中通过增补必须的等式约束等式约束或或不等式约束不等式约束对变量的取值加对变量的取值加以适当限制，以避免变量在迭代过程中失去物理意义或超出计算的定以适当限制，以避免变量在迭代过程中失去物理意义或超出计算的定义域引起的计算失败。义域引起的计算失败。11现状现状n模型对象日益庞大模型对象日益庞大 n方程模型的变量和方程数量呈几何增长方程模型的变量和方程数量呈几何增长例：大型装置的冷区分离序列例：大型装置的冷区分离序列稳态数学模型的维数：稳态数学模型的维数：30000维维联立方程法的联立方程法的核心问题核心问题：求解超大型稀疏非线性方程组。：求解超大型稀疏非线性方程组。12求解稀疏方程组的求解

11、稀疏方程组的特殊的解算方法特殊的解算方法：n只对非零元素进行运算，以提高运算速度；只对非零元素进行运算，以提高运算速度；n压缩贮存系数矩阵的非零元素，减少存储空间；压缩贮存系数矩阵的非零元素，减少存储空间；n 求解方法大致可分为两类：求解方法大致可分为两类：降维求解法降维求解法和和线性联立求解法线性联立求解法。 133.2 大型大型稀疏非线性方程组的降维解法稀疏非线性方程组的降维解法 n对大型稀疏非线性方程组降维的方法：对大型稀疏非线性方程组降维的方法： 针对全流程的模型方程组的直接降维针对全流程的模型方程组的直接降维n建立独立的物性估算模块建立独立的物性估算模块n取消单元间的联结方程取消单元

12、间的联结方程 利用处理大系统的利用处理大系统的“化整为零化整为零”的求解思路的求解思路n方程组的分解方程组的分解141) 建立独立的物性估算模块建立独立的物性估算模块过程系统的数学模型中一半以上的方程是物性估算方程，约有过程系统的数学模型中一半以上的方程是物性估算方程，约有7080的模拟机时消耗在物性计算上。的模拟机时消耗在物性计算上。两类处理物性估算的方法两类处理物性估算的方法：(1) 从系统模型中将物性估算方程独立出来从系统模型中将物性估算方程独立出来 单独构成物性估算模块单独构成物性估算模块，不，不参与方程组的联立求解参与方程组的联立求解在在求解联立方程组迭代更新变量时求解联立方程组迭代

13、更新变量时 调用物调用物性估算模块，可以大大减少必须联立求解的方程数。性估算模块，可以大大减少必须联立求解的方程数。(2) 考虑到物流的焓值、平衡常数的计算十分频繁，利用简化线性模型考虑到物流的焓值、平衡常数的计算十分频繁，利用简化线性模型将焓将焓值和平衡常数的计算加入方程组的联立求解中值和平衡常数的计算加入方程组的联立求解中，只将，只将其余的物性估算仍其余的物性估算仍然保持在物性模块中然保持在物性模块中。 此法将加快计算速度与减小方程组规模的两目此法将加快计算速度与减小方程组规模的两目标进行折衷的方法。标进行折衷的方法。152) 取消单元间的联结方程取消单元间的联结方程 联结方程是用来描述过

14、程系统中各个单元间的拓扑关系的方程。联结方程是用来描述过程系统中各个单元间的拓扑关系的方程。 取消联结方程后，不仅描述系统的中间物流变量减少了一半，而且取消联结方程后，不仅描述系统的中间物流变量减少了一半，而且模型方程组的阶数也相应减少了。模型方程组的阶数也相应减少了。取消方程取消方程Y1X2用用 X2 代替代替 Y1163) 方程组的分解方程组的分解n方程组分解：对大型的稀疏方程组，可以利用适当的方法分解成方程组分解：对大型的稀疏方程组，可以利用适当的方法分解成若干若干个较小的、非稀疏的方程组个较小的、非稀疏的方程组。依次求解这一系列较小的方程组实现对。依次求解这一系列较小的方程组实现对原方

15、程组的求解，进而达到降阶和增大稀疏比的目的。原方程组的求解，进而达到降阶和增大稀疏比的目的。n方程组分解的对象：数学模型（方程组）的结构方程组分解的对象：数学模型（方程组）的结构n方程组分块的结果：必须联立求解的不可再分子方程块方程组分块的结果：必须联立求解的不可再分子方程块 联立求解联立求解 序贯求解序贯求解n方程组切断的对象：不可再分子方程块中的变量方程组切断的对象：不可再分子方程块中的变量17n实现方程组分解的方法可以实现方程组分解的方法可以借鉴子系统分割的方法借鉴子系统分割的方法。将方程组的基本结构用信息流图、相邻矩阵等形式表示出来，可将方程组的基本结构用信息流图、相邻矩阵等形式表示出

16、来，可利用不可分割子系统识别的方法进行方程组的分解。利用不可分割子系统识别的方法进行方程组的分解。n方程组分解方程组分解联立方程法简化计算的手段之一，联立方程法简化计算的手段之一，可选可选n子系统分解子系统分解序贯模块法进行计算的手段之一，序贯模块法进行计算的手段之一，必备必备整个方程组整个方程组求解求解一系列独立、较小的方一系列独立、较小的方程组求解程组求解前提：前提：可分块方程可分块方程组必须是组必须是稀稀疏方程组疏方程组。18不相关子方程组的识别不相关子方程组的识别子方程组子方程组：方程组内由一部分方程所组成的局部。：方程组内由一部分方程所组成的局部。不相关子方程组不相关子方程组：子方程

17、组中只含有特有的某些变量，这些变量不：子方程组中只含有特有的某些变量，这些变量不出现在其他子方程组中。出现在其他子方程组中。不相关子方程组可以独立求解，而不影响其他子方程组。不相关子方程组可以独立求解，而不影响其他子方程组。识别识别不相关子方程组：通过事件矩阵的行、列调换顺序，得到不相关子方程组：通过事件矩阵的行、列调换顺序，得到“分分块对角矩阵（块对角矩阵（block diagonal matrix）”，识别出不相关子方，识别出不相关子方程组。程组。19事件矩阵的行、列调换，识别出不相关子方程组事件矩阵的行、列调换，识别出不相关子方程组0,0,0,00,511xxxf

挑选关联矩阵中含非挑选关联矩阵中含非0元元素最多的一列，求取该素最多的一列，求取该列非列非0元素所在行的并，元素所在行的并，形成新行，取代原来的形成新行，取代原来的几行。几行。 重复，直至每列只含重复，直至每列只含一个非一个非0元素。元素。x1 x2 x3 x4 x5 f1 1 1 f2 1 f3 1

19、 1 f4 1 1 f5 1 1 1 x1 x2 x3 x4 x5 f2 1 f4 1 1 f1U f3U f5 1 1 1 21（继续）（继续）通过简化合并后的关联矩阵：通过简化合并后的关联矩阵：每一行每一行 表示一个子方程组表示一个子方程组这个不相关子方程组是由最初矩阵中的几行（几个方程）这个不相关子方程组是由最初矩阵中的几行（几个方程）合并组成的合并组成的x1 x2 x3 x4 x5 f2U f4 1 1 f1U f3U f51 1 1 22 对于对于 n 阶阶稀疏方程组，常常可以找到一个包含稀疏方程组，常常可以找到一个包含有有 k1（k1n）个）个变量变量的的 k1 阶阶子方程组。这个

20、子方程组。这个k1阶子方程组可以单独求解。阶子方程组可以单独求解。 k1个变量被个变量被求解后，其余求解后，其余的的 n-k1个方程中还可以再找出包含个方程中还可以再找出包含有有 k2（k2n-k1） 个个变量变量的的 k2 阶阶子方程组，子方程组，k2阶子方程组也可以单独求解阶子方程组也可以单独求解重复这一过重复这一过程，最终把原方程分解成程，最终把原方程分解成一系列可顺序求解的子方程组一系列可顺序求解的子方程组。 例：例： . 1xxxfxxfxxxfxxxxfxxf 1 0 1 0 10 1 0 0 10 1 0 1

21、11 1 1 1 00 1 0 0 1 fffffxxxxx事件矩阵事件矩阵不可分解子方程组的识别不可分解子方程组的识别23n对事件矩阵的行、列进行重新排序，可对事件矩阵的行、列进行重新排序，可以得到一个分块的下三角矩阵。以得到一个分块的下三角矩阵。 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1

：主对角线方向上，各分块以上：主对角线方向上，各分块以上的上三角部分中元素均为的上三角部分中元素均为0。24方程组的输出变量集方程组的输出变量集输出变量输出变量：可以通过其所存在的方程中的其它变量求解的变量。：可以通过其所存在的方程中的其它变量求解的变量。n方程组中，每一个方程有一个输出变量，每个变量只能被某一个方程方程组中，每一个方程有一个输出变量，每个变量只能被某一个方程指定一次。变量与方程的不同的匹配关系，就构成方程组不同的输出指定一次。变量与方程的不同的匹配关系，就构成方程组不

fffffxxxxx25（a）预分配）预分配 挑选非挑选非0元素最少的一列中非元素最少的一列中非0元素最少的一行，作为预选的输出变量标元素最少的一行，作为预选的输出变量标记出来；删除此行此列。重复预分配过程。最后，如果剩余的唯一行、列相记出来；删除此行

24、此列。重复预分配过程。最后，如果剩余的唯一行、列相交点为非交点为非0元素，表明预分配成功，即已经得到方程组的输出变量集；如果元素，表明预分配成功，即已经得到方程组的输出变量集；如果剩余的唯一行、列相交点为剩余的唯一行、列相交点为0元素，表明预分配不成功，转入再分配步骤。元素，表明预分配不成功，转入再分配步骤。（b）再分配（斯图尔特通路，）再分配（斯图尔特通路，Steward path） 从剩余行的任一非从剩余行的任一非0元素出发，重复采用下图所示规则，直至找出一条到元素出发，重复采用下图所示规则，直至找出一条到达剩余列的任一非达剩余列的任一非0元素的通路。这时，带有标记的元素即为一个输出变量元

25、素的通路。这时，带有标记的元素即为一个输出变量集。集。确定方程组输出变量集的斯图尔特通路法确定方程组输出变量集的斯图尔特通路法26例：例：27需要说明的是：需要说明的是：n在求取输出变量集的预分配、再分配两个步骤中，均有任选的情在求取输出变量集的预分配、再分配两个步骤中，均有任选的情况，况，输出变量集输出变量集是是多解多解的的。n对不宜作为输出变量的情况，可以对不宜作为输出变量的情况，可以预先说明预先说明。如：如： 其中，其中，x2不宜作为输出变量。不宜作为输出变量。n 子方程组的识别子方程组的识别唯一唯一，不因输出变量集不同而异。，不因输出变量集不同而异。n如果用上述方法寻找不到输出变量集，

26、则原方程本身有毛病（病态方如果用上述方法寻找不到输出变量集，则原方程本身有毛病（病态方程组：冗余或有矛盾）。程组：冗余或有矛盾）。0521 xex28信息流图的构成信息流图的构成用用信息流图信息流图表示方程组：表示方程组：节点节点方程方程有向线有向线方程间传递的输出变量信息方程间传递的输出变量信息f1f2f5f4f3x1x2x4x3x5x1 x2 x3 x4 x5 f1 1 f2

27、流图不同的输出变量集不同的输出变量集不同的信息流图，可以得到同样的方程组分不同的信息流图，可以得到同样的方程组分块的结果块的结果30形成相邻矩形成相邻矩阵阵x1 x2 x3 x4 x5 f1 1 f2 1 1 1 f3 1 1 f4 1 f5 1 1 把代表输出变量的非把代表输出变量的非0 0元素调整元素调整到主对角线上到主对角线上剔除主对角线上元素，得到一剔除主对角线上元素，得到一个相邻矩阵个相邻矩阵转置后，得到习惯上的相邻矩阵，转置后，得到习惯上的相邻矩阵，此时可用回路搜索法、可及矩阵法此时可用回路搜索法、可及矩阵法进行方程组分块进行方程组分块x1 x5 x2 x4 x3 f1 1 f2

不可分解子方程组的切割不可分解子方程组的切割切割：切割：对所选变量给出估计值，再算出计算值，据此迭代求解。对所选变量给出估计值，再算出计算值，据此迭代求解。方程组求解：方程组求解：迭代法迭代法为全部变量设初值，迭代计算。为全部变量设初值，迭代计算。方程组切割：方程组切割：把需要迭代求解的变量数减小到最少。把需要迭代求解的变量数减小到最少。n方

29、程组切割是求解方程时的一种辅助做法；方程组切割是求解方程时的一种辅助做法；n切割后，应选用不涉及方程组数学形式的迭代方法求解；切割后，应选用不涉及方程组数学形式的迭代方法求解；n切割变量不是唯一的；切割变量不是唯一的；n切割法的应用条件切割法的应用条件稀疏方程组。稀疏方程组。32方程组切割：不可以利用流程切割方法方程组切割：不可以利用流程切割方法1968年，年，W.P.Ledet，提出一种经验方法，提出一种经验方法关联矩阵关联矩阵 行列调换顺序行列调换顺序 主对角线元素非主对角线元素非0（找到一个输出变量集）（找到一个输出变量集） 上三角部分含非上三角部分含非0元素的元素的列列最少，并选这些列

30、对应的变量为切最少，并选这些列对应的变量为切割变量割变量0,0,0,0,1321xxxfxxxxfxxxfxxfffffxxxxxfffffxxxxxf切割变量切割变量333.3 联联立线性方程组法解大型稀疏非线性方程组立线性方程组法解大型稀疏非线性方程组 将非线性方程组线性化，联立求解线性方程组。由于线性化引入将非线性方程组线性化，联立求解线性方程组。由于线性化引入了误差，所以要借助迭代使线性化方程组的解，逐渐逼进非线性方程了误差，所以要借助迭代使线性化方程组的解，逐渐逼进非线性方程组

31、的解。组的解。n维非线性方程组在数学上可以表达为：维非线性方程组在数学上可以表达为：用用n维线性方程组逼近，可表达为：维线性方程组逼近，可表达为：该线性方程组的解为：该线性方程组的解为：将将 作一阶展开可得到牛顿型的迭代公式：作一阶展开可得到牛顿型的迭代公式：其中，其中，J为为Jacobian矩阵，即一阶偏导数矩阵矩阵，即一阶偏导数矩阵 0 XF 0 BAXXFBAXQL1 kkkkNXFJXX11 1) 1) 线性化方法线性化方法 XF34令令 AJ ，可得：，可得：这时，近似线性方程的解等于牛顿型解，且具有二阶收敛性。这时，近似线性方程的解等于牛顿型解，且具有二阶收敛性。线性化得到的迭代公

111例：组分例：组分A的稀溶液在常温下离解：的稀溶液在常温下离解：35对热力学平衡方程进行对热力学平衡方程进行线性化：线性化：p：迭代次数：迭代次数牛顿型迭代法的线性方程组：牛顿型迭代法的线性方程组：直接迭代法的线性方程组：直接迭代法的线性方程组：36牛顿迭代

33、法牛顿迭代法直接迭代法直接迭代法372) 稀疏线性方程组的解法稀疏线性方程组的解法 减少求解的计算时间和存储空间，通常有两方面的技术：减少求解的计算时间和存储空间，通常有两方面的技术：n只存储非零元素的压缩存储技术只存储非零元素的压缩存储技术n只对非零元素进行计算的技术只对非零元素进行计算的技术 （1 1）稀疏矩阵的压缩存储）稀疏矩阵的压缩存储 用一个实型数组存储非零元素，用两个整型数组分别标识用一个实型数组存储非零元素，用两个整型数组分别标识对应非零元素所在的行号和列号。对应非零元素所在的行号和列号。 08 . 4000006 . 7003 . 2002 . 1005 .

34、 3 5 2 4 0 4 3 2 2 1 08 . 46 . 73 . 22 . 15 . 3 IBIAA行行整整型型数数组组行行整整型型数数组组实实型型数数组组标识数组结束标识数组结束38（2）填充量）填充量 消去第一列对角线下非零元素消去第一列对角线下非零元素 进行行列变换进行行列变换 新出现的非零元新出现的非零元素被称作素被称作填充量填充量。填充量与消元成零填充量与消元成零的非零元素之差称的非零元素之差称作作填充增量填充增量。填充。填充量与主元选取的次量与主元选取的次序有关。序有关。 39（3）主元容限）主元容限n减少填充与提高数值稳定性和计算精

35、度往往是矛盾的。减少填充与提高数值稳定性和计算精度往往是矛盾的。n人为地规定了一个界限人为地规定了一个界限 （0），当矩阵元素的绝对值大），当矩阵元素的绝对值大于于，该元素就具备了作为主元的资格，若引入的填充量也，该元素就具备了作为主元的资格，若引入的填充量也不是很大，就可定为主元。这个界限称为不是很大，就可定为主元。这个界限称为主元容限主元容限。 n 值可以经验给定，但它应该满足提高计算精度和减少填充值可以经验给定，但它应该满足提高计算精度和减少填充量的统一要求。量的统一要求。 40稀稀疏疏矩矩阵阵压压缩缩消消去去法法选选主主元元的的计计算算框框图图最大填入量413.4 联立方程法的潜在优势

36、联立方程法的潜在优势n联立方程法直接联立求解描述系统的非线性方程组，无需多层嵌套迭联立方程法直接联立求解描述系统的非线性方程组，无需多层嵌套迭代，特别适用于那些具有多嵌套循环的过程系统。代，特别适用于那些具有多嵌套循环的过程系统。n用空间和复杂的应用数学技术换取理想的收敛速度（时间）。用空间和复杂的应用数学技术换取理想的收敛速度（时间）。联立方程法较序贯模块法需要占用大得多的存储及运算空间、更为复杂、精巧的数值运算方法以及编程技巧，但可解决一些序贯模块法难于收敛甚至根本不能收敛的问题。n因各方程、变量对于数学模型的地位相对平等，因此对流程修改、系因各方程、变量对于数学模型的地位相对平等，因此对流程修改、系统结构改变的适应性较强，可灵活解决模拟问题、设计型问题。统结构改变的适应性较强，可灵活解决模拟问题、设计型问题。n自动初始化设定初值算法的逐步完善，使选择变量的初值比较容易，自动初始化设定初值算法的逐步完善，使选择变量的初值比较容易，不至于因初值偏离解太远而引起计算失败。不至于因初值偏离解太远而引起计算失败。n对大型系统，通过适当地选择决策变量，将整个过程系统分解成若干对大型系统，通过适当地选择决策变量，将整个过程系统分解成若干子系统，便于分块求解，加快计算周期。子系统，便于分块求解，加快计算周期。n代表软件：代表软件：