好久不见，甚是想念（……）

（别问我题图为什么是这张我也不知道为什么是这张……）

自从写了那篇，数学成绩就再也没 130+ 过……不过高考数学还好，终于快满了（别问我为什么没满，闹心……

这篇文章记录一下一模之后做到的一些有意思的题，然后这些卷子就要进入废纸堆里变成钱了……（心疼

1、（2018 · 东北三省四市二模）21、

已知 ， ，直线 与曲线 所围成的曲边梯形面积为

（Ⅰ）比较 的大小（直接写出结论，不需要证明）；

（Ⅱ）当 时， 恒成立，求实数 的值；

在导数题的位置考察定积分，这才是比较合理的位置，三省四市二模题给了一个全新的思路考察定积分的意义，这道题很有参考价值。

前两问很简单，第（Ⅰ）问考察定积分基本意义，如果上课认真听了结论不难得出 。

对于 ，我们可以看成这样的矩形面积和：

对于 ，我们可以看成这样的矩形面积和：

（请忽略中间函数图像那条隐隐约约的虚线……）

所以第（Ⅰ）问水过了，2 分到手。

第（Ⅱ）问也算相对简单，但是如果要正常做需要两边分类讨论。拆成证明两个不等式，发现两边都要讨论。可以看出 （证明留作课后作业），然后讨论 两个范围，发现交集为 。

但是用分离参数做，最后要用到洛必达法则。其实会发现，每当做到这类求值题的时候，有时会做到 形的洛必达法则，这样的情况一般是未分离时的函数，其在边界处函数值和导数值都等于 ，然后只有取切线的时候才能使得满足题目条件，否则要么一直减，要么先减再增，无论如何都会先在一个区间内函数值小于 ，与题目矛盾，舍去。

因为不知道用洛必达给不给分，或者说扣多少分，所以谨慎分离……

第（Ⅱ）问完事，加第（Ⅰ）问一共 6 分。

第（Ⅲ）问是很有意思的题，但是题目需要更正。为了呈现原题，上面题目打得和卷子上一样，但是其实我们需要证明的是：

是的当时在考场看题就懵了，如果按原题那么写中间那项就直接加起来乘个 呗，但是不对啊……

考场上也没改题，于是 GG……

但是这道题的确很有趣，现在给出证明过程：

我们看中间的那个求和不爽，先把它化简。

可以发现，第一个求和其实求的是 ，于是进一步化简，我们需要证明的其实是：

得劲！但是之后怎么证……

注意到我们又是证明这样离散的，有 有求和的不等式，考虑第（Ⅰ）问的定积分，我们发现： ，证明？自己画个图即可……

中间的定积分很容易算的，上面的结论可以化简为： 。

好，我们利用定积分的意义证明了一个重要的不等式，下面我们就要利用放缩证明题目结论了。

据说原来三省四市模拟的题目质量不高，但是这道题还是很有启发意义的。在导数占领的 21 出定积分，可谓一股清流。

2、（2018 · 哈尔滨市三中三模）21、

已知自变量为 的函数 ，其中 ， 为自然对数的底， 。

（Ⅰ）求函数 与 的单调区间，并且讨论函数 的单调性；

（ⅰ）方程 有两个根 ， ；

（ⅱ）若（ⅰ）中的两个根满足 ，则 。

数学老师说这道题的第（Ⅱ）问是错的……我们先看第（Ⅰ）问。

两个单调区间很好求，直接求导即可， 在 上单调减，在 上单调增， 在 上单调增。

但是怎么讨论 的单调性？

可以发现，当 为奇数时， 在 上单调减，在 上单调增， 当 为偶数时， 在 上单调增。

第（Ⅱ）问相当于 Taylor 展开贴近曲线的过程，多项式函数一点一点扩大开口以贴近 。

但是数学老师说不对……如果有知道的大神请留言详解谢谢！

已知定义在 上的函数 满足：① ；② （其中 是 的导函数）。则 的取值范围为（）

这玩意好构造， 这什么鬼……

顺着构造 的思路，我们这次构造 。

然后就会了吧…… 在 上单调减， 。

当然，还有构造的 ， 在 上单调增， 。

然后计算一下，即可得出结论。

3.5、（2018 · 哈尔滨市三中二模）16、

是定义在 上的函数，其导函数为 ，若 ， ，则不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集为_____________。

构造 ， ，所以 在 上单调增。

通过计算， ，于是要求的是 的解集。根据 的单调性不难得出。

4、（2018 · 东北三省四市一模）12、

若直线 和曲线 的图像交于 三点时，曲线 在点 ，点 处的切线总是平行，则过点 可作曲线 的（ ）条切线。

怎么得都得懵 C 啊……

注意到曲线 在点 ，点 处的切线总是平行，咋能总是平行？

由于曲线 是一个三次函数的图像，三次函数图像有对称中心，关于对称中心成中心对称的两点切线自然互相平行。

于是这条直线恒过三次函数图像的对称中心，可知对称中心为 。

这里有个结论，三次函数图像的对称中心是其导函数的极值点，通过两次求导不难得出。

通过求导可以得出极值点为 ，于是 。

因为这条直线过 ， 恒关于 对称，两点确定一条直线，可知 。

于是可以把 都解出来了， 。

也就是说，问的是过 能做 的切线多少条。

设切点，求解的个数，计算留作课后作业……

5、（某次校内模拟）12、

设函数 ，若曲线 （ 是自然对数的底）上存在点 使得 ，则 的取值范围是（ ）

我们先看看 的取值范围。

再了解一下 的单调性， 。可知在 上，

如果学过竞赛应该知道不动点这套理论，应该会知道 ，进而知道 在 上与直线 有交点，然后转化成方程零点问题，再转化成求值域问题即可。

但是我没学过竞赛啊……证明？

若 ，根据单调性可知 ，因为

综上， ，即 ，然后按照上面做就可以了。

最后转化为 有解，求一个 的值域即可。

以上，向做过的一摞子数学卷子和练习册告别。

学习目标】1、学会在具体情境中探索确定位置的方法，懂得能用数对表示物体的位置。

2、经历探索确定物体位置方法的过程，在学习的过程中发展空间观

3、感受确定位置的丰富现实情景，体会数学的价值，产生对数学的亲

【学习重难点】1、重点是能用数对表示物体的位置。

2、难点是能用数对表示物体的位置，正确区分列和行

一、交流讨论:我们全班有____名同学，但大部分的同学老师都不认识，

如果我要请你们当中的某一位同学发言，请你们帮我想想要如何表

示才能既简单又准确呢？

(一)、阅读第2页例题1主题图和问题

1、想一想教师是如何确定张亮位置的？用自己的话说一说什么叫

做“列”？什么叫做“行”？

以及如何确定第几列、第几行？

2、如果用（2，3）表示张亮同学的位置，用了几个数据？

（2，3）中的数字分别表示的是什么含义？

3、仿照用（2，3）表示张亮同学的位置，你能表示出王艳和赵强

4、用自己的话尝试归纳用数对表示位置的方法和它的书写格式。

5、交流讨论，完成P3“做一做”。

友情小提示：我们习惯先说列，后说行，所以第一个数据表示列，第二个

数据表示行。如果这两个数据的顺序不同，那么表示的位置