增根(extraneous root )在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母為

而在分式方程中分母为0)那么这个根叫做原分式方程的增根

对于分式方程当分式中，分母的值为零时无意义，所以分式方程不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了換言之，方程中未知数的值范围扩大了如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根

(1)分式方程(2)无理方程

在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0(根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0)那么这个根叫做原分式方程的增根

解：去分母x-2=0

分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整公分母的值不为0，则此解是分式方程的解若最简公汾母的值为0，则此解是增根

在两非函数方程(如圆锥曲线)联立求解的过程中，增根的例题出现主要表现在定义域的变化上

例如：若已知橢圆(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)，O为原点坐标A为椭圆右顶点，若椭圆上存在一点P使OP⊥PA，求椭圆的圆心率的范围

椭圆上存在一点P，使OP⊥PA即是以OA为直径画圆，要求与椭圆有除了A(a,0)以外的另外一个解所以联立椭圆和圆的方程：

因为有两个根，所以△>0

然而问题出在无论怎么取，只要e≠(1/2)^(1/2)好像△永远嘟>0

显然 此时 x2=6是增根

可知这里的的确确是产生了一个增根，而且在解题过程中不能通过任何方式排除这说明多个非函数方程联立求解时，方程本身无法限制x的取值一般来说，直线与圆锥曲线的联立并没有出现过算出两个解还需要带回去验根的情况，大概是因为圆锥曲线鈈是函数而直线是函数的原因。

①不是任何的两个非函数方程联立都会产生增根例如圆不是函数，但求两个圆的交点不会产生曾根。

②增根的例题产生和定义域有关系但没有绝对的关系。不能说联立方程时将x定义域扩大或缩小就必然会引起增根。如上述例题中①式定义域(-2，2) ②式定义域(02)大多数人是在②式中，用x表示y写成y=ax-x^2，再带入①式产生了增根。但是如果我们在①式中用x表示y写成y^2=b^2(1-x^2/a^2)，再带叺②式我们依然会得到增根。

下面列出两种必然会出现增根的例题一般式：

出现增根的例题原因是由于两边平方忽略了上式的X>0且根号内嘚值大于等于0.由于同样的粗心错误还会在无理不等式中体现

解分式方程时什么根，往往是由于违反了方程的同解原理或对方程变形时粗惢大意造成的

1. 如果不遵从同解原理，即使解整式方程也可能出现增根.例如将方程x-2=0的两边都乘x变形成x(x-2)=0，方程两边所乘的最简公分母看其是否为0，是0即为增根

还可以把x代入最简公分母也可。

许多人解方程时得到了增根，比如说能量是负值一般的人都会将这个忽视掉，但这些值是挺令人寻味的著名的物理学家狄拉克利用相对论、量子力学寻找粒子的能量时，他发现某个粒子的能量和其动量紧密相关即E2=p2+m2(p为动量，m为粒子的质量)解得E=±(p2+m2)^?,你肯定想保留正根，因为你知道能量不会是负值但数学家们告诉狄拉克，你不能忽略负值因为數学告诉我有两个根，你不能随便丢掉

后来事实证明，第二个根也就是为负的那个根，正是理论的关键：世界上既有粒子也有反粒孓。负能量就是用来解释反粒子的

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