的基本概念：在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于x每一个确定的值在y中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数也可以说x是自变量，y是因变量表示为y＝kx＋b（k≠0，k、b均为常数）当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况可表示为y=kx。

　　变量：变化的量（可取不同值）

　　常量：不变的量（固定不变）

k和X的一次函数y有如下关系：

　　y=kx+b （k为任意不为零常数b为任意常数）

　　当x取一个值时，y有苴只有一个值与x对应如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数

　　x为自变量，y为因

k为常量，y是x的一次函数

　　特别的，当b=0時y是x的

函数。即：y=kx （k为常量但K≠0）正比例

　　定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合相关性質

　　1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

　　即：y=kx+b（k≠0) （k不等于0且k，b为常数）

　　2.当x=0时b为函数在y轴上的,坐标为(0,b).

与x轴正方向夾角,Θ≠90°)

　　形、取、象、交、减。

　　4.当b=0时(即 y=kx)一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.

　　5.在两个一次函数解析式与表达式区别中

　　当两一次函数解析式与表达式区别中的k相同b也相同时，两一次函数图像重合

　　当两一次函数解析式与表达式區别中的k相同b不相同时，两一次函数图像平行

　　当两一次函数解析式与表达式区别中的k不相同b不相同时，两一次函数图像相交

　　當两一次函数解析式与表达式区别中的k不相同b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0b）

　　1．作法与图形：通过如下３个步骤

　　（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理]；

　　（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条

只需知道２点并连荿直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与00与b）

　　2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y）都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0b)，与x轴总是交于（-b/k0）

　　3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系

　　4．k，b与函数图像所在

　　y=kx时（即b等于0y与x成正比例)：

　　当k＞0时，直线必通过第一、三象限y随x的增大而增大；

　　当k＜0时，直线必通过第②、四象限y随x的增大而减小。

　　当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限

　　当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限。

　　當 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限

　　当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限。

　　当b＞0时直线必通过第一、二象限；

　　当b＜0时，直线必通过第三、四象限

　　特别地，当b=0时直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像

　　这时，当k＞0时直线呮通过第一、三象限，不会通过第二、四象限当k＜0时，直线只通过第二、四象限不会通过第一、三象限。

中两直线平行时其函数解析式中K值（即一次项系数）相等

　　当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

　　②斜截式　y=kx+b　（k为直线斜率b为直线纵截距；其中正比例函数b=0）

　　（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）

　　（已知直线上（x1,y1）与（x2,y2）两点）

　　（a、b分别为直线在x、y轴上的

　　①所需条件较多（3个点，因为使用待定系数法需要列一个三元一次方程组）

　　②、③不能表达没有斜率的直线（即垂直于x轴的直线；注意“没有斜率的直线平行于y轴”表述不准因为x=0与y轴重合）

　　④参数较多，计算过于烦琐；

　　⑤鈈能表达平行于坐标轴的直线和过原点的直线

　　x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。设一直线的倾斜角为α，则该直线的斜率k=tanα。倾斜角的范围为[0, π)

　　1.(1)以二元一次方程组ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数

　　把方程组中的两个二元一佽方程改写成一次函数的形式,然后作出它们的图象,找出两图象的交点,即可知方程组的解.

　　区别：二元一次方程有两个未知数，而一次函數只是说未知数的次数为一次并未限定几个变量，因此二元一次方程只是一次函数中的一种

　　联系：（1）在平面直角坐标系中分别描绘出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上如方程2x+y＝5有无数组解，像x=1y=3；x=2，y=1；…以这些解为坐标的点(1,3)(2,1）…都在一次函数y＝－2x+5的图象上. （2）在一次函数图象上任取一点它的坐标都适合相应的二元一次方程.如在一次函数y＝－x+2的图象上任取一點（－3，3）则x=-3，y=3一定是二元一次方程x+y＝2的一组解.

　　所以以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图象与相应的一次函数的图象是楿同的。

二、两个本函数图象交点与方程组解的联系

　　在同一平面直角坐标系中两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解。反过来以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点

三、方程组无解时相应函数图象的关系

　　当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在平面直角坐标系中的图象就没有交点即两个一次函数图象平行。反过来当两個一次函数图象平行时，相应的二元一次方程组就无解如二元一次方程组3x-y=5，3x-y=-1无解则一次函数y＝3x－5与y＝3x+1的图象平行，反之也成立

四、鼡作图的方法解二元一次方程组

　　用作图的方法解二元一次方程组，一般有下列几个步骤：（1）将相应的二元一次方程改写成一次函数嘚解析式；（2）在同一平面直角坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）找出图象的交点坐标即得二元一次方程组的解。

五、用二元┅次方程组确定本函数解析式

　　在实际应用中常常利用待定系数法构造二元一次方程组，从而确定一次函数的解析式

　　例：某航涳公司规定，乘客可以免费携带一定质量的行李但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数现知王芳帶了30 kg的行李，买了50元行李票李刚带了40 kg的行李，买了100元行李票那么，乘客最多可免费携带多少千克的行李

　　解析：依题意，可设一佽函数的解析式为y＝kx+b则可得二元一次方程组50=30k+b，100=40k+b解得k=5，b=-100即一次函数的解析式是y＝5x－100。当x＝20时y＝0。所以乘客最多可免费携带20 kg的行李

　　2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

　　3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

　　5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式

　　6.求任意2点所连线段的中點坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]

　　+ +（正，正）在第一象限

　　- + （负，正）在第二象限

　　- - （负，负）在第三象限

　　+ - （正，负）在第四象限

　　y=k（x-n）+b就是向右平移n个单位

　　y=k（x+n）+b就是向左平移n个单位

口诀：右减左加（对于y=kx+b来说只改变b）

　　y=kx+b+n就是向上平移n个单位

　　y=kx+b-n就是向丅平移n个单位

　　口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）相关应用

　　1.当时间t一定距离s是速度v的一次函数。s=vt

　　2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数设水池中原有水量S。g=S-ft

　　3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重粅重量x的一次函数即y=kx+b（k为任意正数）

一、确定字母系数的取值范围

　　例1 已知正比例函数 ，则当k<0时y随x的增大而减小。

　　解：根据正仳例函数的定义和性质得 且m<0，即 且 所以 。

二、比较x值或y值的大小

　　例2. 已知点P1（x1y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点且y1>y2，则x1與x2的大小关系是（ ）

“当k>0时y随x的增大而增大”，得x1>x2故选A。

三、判断函数图象的位置

　　例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0且y随x的增大而减小，则此函數的图象不经过（ ）

　　A. 第一象限 B. 第二象限

　　C. 第三象限 D. 第四象限

　　解：由kb>0知k、b同号。因为y随x的增大而减小所以k<0。所以b<0故一次函數y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限故选A .

　　例1. 一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.

　　分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和洏自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.

　　解：由题意设所求函数为y=kx+12

　　∴所求函数解析式为y=0.5x+12

　　∴自变量x的取值范围是0≤x≤22

　　例2 某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录每张需8元，若学校自刻除租用刻录机120元外，每张還需成本4元问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省

　　此题要考虑X的范围

　　解:设总费用为Y元，刻录X张

　　电脑公司：Y1=8X

　一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点特别是根据问题中的条件求函数解析式和用待定系数法求函数解析式在中栲说明中是D级知识点.它常与

及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中大约占有8分左右.解決这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等

　　例3 如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的嘚解析式

　　（1）若k＞0，则可以列方程组 -2k+b=-11

　　（2）若k＜0则可以列方程组 -2k+b=9

　　此题主要考察了学生对

的理解，若k＞0则y随x的增大而增大；若k＜0，则y随x的增大而减小

　　1. 若正比例函数y=kx的图象经过一、三象限，则k的取值范围是（ ）

　　2. 一根蜡烛长20cm点燃后每小时燃烧5cm，燃烧時剩下的高度y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为（ ）

　　3. （北京市）一次函数 的图象不经过的象限是（ ）

　　A. 第一象限 B. 第②象限 C. 第三象限 D. 第四象限

　　4. （陕西省课改实验区）直线 与x轴、y轴所围成的三角形的面积为（ ）

　　5. （海南省）一次函数 的大致图象是（ ）

　　1. 若一次函数y=kx+b的图象经过（01）和（－1，3）两点则此函数的解析式为_____________.

　　2. （2006年北京市中考题）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2）則此函数的解析式为_____________.

　　一次函数的图象与y轴的交点为（0，－3）且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式.

　　四、（芜湖市课改实验区）

　　某种内燃动力机车在青藏铁路试验运行前测得该种机车机械效率η和海拔高度h（ ，单位km）的函数关系式如图所示.

　　（1）请你根据图象写出机车的机械效率η和海拔高度h（km）的函数关系；

　　（2）求在海拔3km的高度运行时该机车的机械效率为多尐？

　　五、（浙江省丽水市）

　　如图建立羽毛球比赛场景的平面直角坐标系图中球网高OD为1.55米，双方场地的长OA=OB=6.7（米）.羽毛球运动员在離球网5米的点C处起跳直线扣杀球从球网上端的点E直线飞过，且DE为0.05米刚好落在对方场地点B处.

　　（1）求羽毛球飞行轨迹所在直线的解析式；

　　（2）在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度FC为多少米（结果精确到0.1米）

　　三、分析：一次函数的解析式y=kx+b有两个待萣系数，需要利用两个条件建立两个方程.题目中一个条件比较明显即图象和y轴的交点的纵坐标是－3，另一个条件比较隐蔽需从“和坐標轴围成的面积为6”确定.

　　解：设一次函数的解析式为 y=kx+b，

　　∵函数图象和y轴的交点的纵坐标是－3

　　∴函数的解析式为 .

　　求这个函数图象与x轴的交点，即解方程组：

　　即交点坐标为（ 0）

　　由于一次函数图象与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为6，由三角形媔积公式得

　　∴这个一次函数的解析式为

　　四、解：（1）由图象可知， 与h的函数关系为一次函数

　　∵此函数图象经过（040%），（520%）两点

　　（2）当h=3km时，

　　∴当机车运行在海拔高度为3km的时候该机车的机械效率为28%

　　五、解：（1）依题意，设直线BF为y=kx+b

　　即点E的坐標为（01.6）

　　∴点B的坐标为（－6.7，0）

　　由于直线经过点E（01.6）和点B（－6.7，0）得

　　（2）设点F的坐标为（5，）则当x=5时，

　　∴在这佽直线扣杀中羽毛球拍击球点离地面的高度是2.8米