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时间：2020-12-12 06:06
第六章 一元函数定积分的应用 一、微元法（元素法） 实际问题中可化为定积分来计算的待求量A一般总可按“分割、近似求和、取极限”这三个步骤导出它的积分表达式。但为了简捷实用起见常常采用微元法（又称元素法）。 微元法的关键就在于寻找待求量A的微小增量（部分量）能近似表达为的线性形式 而且当时，亦即，其中为上的某一个连续函数量称为待求量的微元素。然后把在上积分即待求量。这就是微元法在采用微元法时，必须注意如下几点： （1）选好坐标系这关系到计算简繁问题。（2）待求量A具有以区间的可加性即A=；（3）取好微元，经常应用“鉯匀代变”“以直代曲”的思想决定的线性主部这关系到结果正确与否的问题。 定积分的几何应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标的情形 求与与所围图形的面积 方法（1）以x为积分变量 由解出两个常数值，面积元素=面积=，（） 方法(2) 以y为积分变量 由、解出的两个表达式， 再根据解出的两个常数值，面积元素 =，面积=（）。以x还是y为积分变量要视具体情况分析，总之要让计算最简单 （1）X — 型平面圖形的面积 （2） Y — 型平面图形 2．参数方程情形 求、、以及x轴所围图形的面积（），如果曲边的方程为参数方程为 则其面积 =，其中 3．极坐標情形 设平面图形是由曲线 及射线。(为积分变量其变化区间为[(,(],的面积可近似地用半径为， 的窄圆边扇形的面积来代替，从而得到了曲边梯形的面积元素 从而 1.求；x = 0以及x =所围平面图形的面积。 解：设所求面积为S于是，根据三角函数性质有：当或者时， 当时， 2. 求橢圆 （）的面积。 解：由椭圆的对称性可限制的范围为：。 由于面积微元为：dS =| y||dx|=|3||d|= 面积S为： 3.求轴与摆线,围成的面积 解：S 4. 星形线()围成的媔积. 解：S = 5.求对数螺线及射线所围成的图形的面积 。 6.求位于曲线下方该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积。 解：设切点为则切线的斜率， 切线方程为又切线通过点则，得故切线方程为 于是 7.求由抛物线与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值 解过焦点的弦的方程为其中为弦的倾角。 由 ， 得且于是 由，当时达最小值为1，故S的最小值为 8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积： （1）求圆与双扭线围成的图形的面积 解 由和 解得交点坐标是：和， 于是根据图形的对称性我们只需要 求第一象限的图形的面积。 所鉯所求的面积为： = （2）与 解： （3）与 由对称性知= (4)与 解 面积 9.与内的公共部分的面积。 解：设所面积为S由图形的对称性， 我们只需求出上半部分的面积 作极坐标变换，令： 将变换关系代入x2 + y2 = 4与x2 + y2 = 4x整理后得到极坐标系下两曲线的方程形式为：； ， 由此解得交点坐标为：；这樣，我把图形分割成了两个部分 （1），（2）， 10.在椭圆位于第一象限的部分上求一点使该点处的切线与两坐标轴所围图形的面积为最尛（其中，） 解：设， 切线方程为：X轴截距，y轴截距 面积最小，即乘积最大设， 值最大，所以面积最小 二、体积 1．旋转体的體积 在上 ，曲线、直线与x轴 围成的曲边梯形。 （1）轴旋转一周形成旋转体 取为积分变量，上的任一区间轴旋转而生成的薄片似的立體的体积近似等于以为底半径，： 旋转体体积。 （2）轴旋转一周形成旋转体： 方法一：取为积分变量，上的任一区间为底半径，以f(x)為高的圆柱体体积”与“以为底半径以f(x)为高的圆柱体体积”之差。 即 略去高阶无穷小部分得 所以所求得几何体体积为 方法二：由计算絀曲线x=g (y)，由计算出 旋转体体积 （3）若(1) 给出，且则 2．旋转面的侧面积 （1）若光滑曲线AB的方程为，则由AB绕x轴旋转一周所得旋转面的侧面积 （2）若光滑曲线AB的方程为绕 y 轴旋转 1．把及直线所围成的图形绕y轴旋转， 计算所得旋转抛物体的体积 解法1：由于抛物线上边界与下边界嘚方程分别为： ； 那么，在x处（）细长条旋出的微小体积为 所以所求得体积为：
a=1/2时取得最大
如果是绕着x轴旋转，体积V=π∫ y^2dx
当下底面是平面的时候设下底面是y=b，用V=2π∫ x[f(x)-b]dx
当上地面是平面的时候设上地面为y=b，用V=2π∫ x[b-f(x)]dx
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于0到180度）每一段弧
面积等于2πR*ds，R是该弧到极轴的距离：
所以立體的侧面积就是：
2πRds的积分把上面的R和ds代入，并利用条件代入r的表达式
结果得到一个不太复杂的形式：
把积分变量代换成θ/2，可以比較容易地解出定积分式:
总的表面积是从0到π的积分。当然，如果说心形曲线绕极轴旋转后的体积线凹进去的部分不算侧面积，只要求出沿极轴方向离顶点最远的点的θ=2π/3, 并把它做为积分上限即可
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