有理数的乘除法 典例体系 一、知識点 1.有理数的乘法法则 法则一：两数相乘同号得正，异号得负并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况如果因数超过两个，就必须运用法则三） 法则二：任何数同 0 相乘都得 0； 法则三：几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时积是正數；负因数的个数是奇数时，积是负数； 法则四：几个数相乘如果其中有因数为 0,则积等于 0. 2.倒数 乘积是 1 的两个数互为倒数，其中一个数叫莋另一个数的倒数用式子表示为 a·a1 =1（a≠0），就是说 a 和互为倒数即 a 是 的倒数， 是 a 的倒数 注意：①0 没有倒数； ②求假分数或真分数的倒數，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； ③正数的倒數是正数负数的倒数是负数。（求一个数的倒数不改变这个数的性质）； ④倒数等于它本身的数是 1 或-1,不包括 0。 3.有理数的乘法运算律 ⑴塖法交换律：一般地有理数乘法中，两个数相乘交换因数的位置，积相等即 ab=ba ⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积相等即(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a(b+c)=ab+ac 4.囿理数的除法法则 （1）除以一个不等 0 的数，等于乘以这个数的倒数 （2）两数相除，同号得正异号得负，并把绝对值相除0 除以任何一個不等于 0 的数，都得 0 5.有理数的乘除混合运算 （1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法然后确定积的符号，最后求出结果 （2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行 二、考点点拨与训练 考点 1：有理数的乘除法运算 典例：（2020·浙江省初三二模）计算： 4 ( 3 )?? 的结果是（ ） A． 7? B．12 C．1 D． 12? 【答案】D 【解析】 解： ? ?4 3 12? ? ? ? ． 故选 D． 方法或规律点拨 本题栲查了有理数的乘法法则，注意符号熟练掌握乘法法则是解题的关键． 巩固练习 1．（ 2020·天津初三二模）计算 34?? 的结果等于（ ） A． B．12 C． 81? D．81 【答案】A 【解析】 3 4 1 2? ? ? ? ． 故选：A． 2．（ 2020·广东省初三其他）计算 12 ( ) 2?? 的结果是（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】 根据两数相乘异号嘚负判断符号为负，则 12 2????????=- 1 2 2? =-1. 故选 A. 3．（ 2020·四川省初一期末）以下关于 0 的说法：①0 的相反数与 0 的绝对值都是 0；②0 的倒数是 0；③0減去一个数等于这个数的相反数；④0 除以任何有理数仍得 0．其中说法正确的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 解：①0 的相反数与 0 的绝對值都是 0，正确； ②0 没有倒数故此项不正确； ③0 减去一个数，等于这个数的相反数正确； ④0 除以任何非零有理数仍得 0，故此项错误； 綜上正确的有①③． 故选：B 4．（ 2020·天津初三学业考试）计算? ? ? ?57??? 的值是（ ） A．-12 B．-2 C．35 D．-35 【答案】C 【解析】原式 57?? 35? 故选：C． 5．（ 2020·天津初三二模）计算：(﹣3)×5 的结果是（ ） A．﹣15 B．15 C．﹣2 D．2 【答案】A 【解析】 解：(﹣3)×5=-15 故选：A. 6．（ 2020·长沙市一中湘一南湖学校初二月考）若 a＜c＜0＜b，则 abc 与 0 的大小关系是（ ） A．abc＜0 B．abc=0 C．abc＞0 D．无法确定 【答案】C 【解析】 ∵a＜c＜0＜b ∴abc＞0． 故选 C． 7．（ 2017·全国初一课时练习）计算 111()12342??? 时，应该运用（ ）. A．加法交换律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【答案】B 【解析】 ∵原式= ????? =4+3-6 =1 ∴应该运用乘法的分配律； 故选 B. 8．（ 2：有理数的倒数 典例：（2020·安徽省初三其他）-5 的倒数是（ ） A．-5 B．5 C． 15 D． 15? 【答案】D 【解析】 ∵ 15 - = 1 5???????? ∴-5 的倒数是 . 故選 D. 方法或规律点拨 本题考查了倒数的性质乘积为”1”的两个数互为倒数. 巩固练习 1．（ 2020·深圳市龙岗区南湾街道沙湾中学初三其他）-2 的倒數是（ ） A．-2 B． 【答案】D 【解析】解：A. 5 与 互为相反数，而非互为倒数故该选项与题意不符； B. 的到数是 ，而 的到数是 2020故本选项错误； C. 2020 与 互為相反数，而非互为倒数故该选项与题意不符； D. 2020 与 互为倒数，故本选项与题意相符. 故选 D. 6．（ 2020·云南省初三三模） 53? 的倒数的绝对值是___________． 【答案】 3.5 【解析】 的倒数为 35? 的绝对值为 7．（ 2019·北京市顺义区杨镇第二中学初一期中）﹣1 12的倒数是__，相反数是__绝对值是__． 【答案】 23? , 32 , 【解析】 解：∵ 131 22? ? ? ∴﹣1 的倒数是 ，相反数是 绝对值是 ， 故答案为： ， . 8．（ 2018·云南省初一期末）已知 ,ab互为相反数 ,cd互为倒数，m 的绝對值为 故答案为：14． 考点 3：有理数的四则混合运算 典例：（2019·山东省初一期中）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：49 2425 ×（-5）看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 聪聪；原式=- 124925 ×5=- 1； 明明：原式=（49+ ）×（-5）=49×（-5）+ ×（-5）=-249 （1）对于以上两种解法，你認为谁的解法较好 （2）上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗如果有，请把它写出来； （3）用你认为最合适的方法计算：391516 ×（-8）． 【答案】（1）明明解法较好；（2）还有更好的解法解法见解析；（3）﹣319 12 ． 【解析】 解：（1）明明解法较好； （2）还有更好的解法，如下： 原式＝（50﹣ 125）×（﹣5） ＝﹣250+ 15 ＝﹣249 ； （3）原式＝（40﹣ 116）×（﹣8） ＝﹣320+ ＝﹣319 ． 方法或规律点拨 本题考查了有理数的乘法主要是對乘法分配律的应用，把带分数进行适当的转化是解题的关键． 巩固练习 1．（2019·北京市顺义区杨镇第二中学初一期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的 x 的值为—2时输出的数值为_________． 【答案】-1 【解析】 当输入-2 时，带入程序列式为：（-2）×（-1）-3=2-3=-1． 故答案为：-1． 2．（ 2020·北京初三月考）对于两个非零整数 xy，如果满足这两个数的积等于它们的和的 6 倍称这样的x，y 为友好整数组记作x，y x，y与yx视为相同的伖好整数组．请写出一个友好整数组__________ ，这样的友好整数组一共有__________组 ． 【答案】见解析 9 【解析】 由已知可得若为友好整数组则 xy≠0，且 xy=6（x+y） ∴（x-6）y=6x显然当 x=6 时该等式不成立， ∴x≠6 ∴ 66(6)xxy xxx????????? ∵y 是整数 ∴ 366x ?是整数 ∴当 x-6=1即 x=7 时，y=42故＜7，42＞是一个友好整数组． ∵xy 是整數 ∴ 是整数，且 x-6 是整数 ?99100???????????? … = 0 0 0? ? ? =0． 6．（ 2017·全国初一课时练习）学习了有理数的运算后，老师给同学们布置了下面一道题： 计算： 157 1 ( 8 )16 ?? 看谁算得又对又快． 下面是甲、乙两名同学给出的解法： 甲：原式= 516162??? ?? ? ， 乙：原式= 15151(71)( 8)71 ( 8)( 8)?? ??? ??? ?? ? 你认为谁的解法好你还能想出别的简便方法吗？试一下！ 【答案】- 1575 2 【解析】 乙的解法好还有方法如下： 原式 ． 7．（ 2020·河北省初三一模）计算下列各式的值． （1）（﹣53）+（+21）﹣（﹣69）﹣（+37） （2）﹣3.61×0.75+0.61×34 +（﹣0.2）×75%． 2019·吉林省东北师大附中初一月考）已知 a 、b 为有理数，现規定一种新运算 ? 满足 a b a b a? ? ? ? ． （1） ( 2 ) 4? ? ? _________； （2）求 1( 1 4) 2 2??? ? ? ????的值． （3）新运算 是否满足加法交换律，若满足请说明理由：若不满足请举出一个反例． 【答案】（1）-6；（ 2） 110 2? ；（ 3）不满足，举例见解析 【解析】 解：（1） (-2)×4-(-2)=-8+2=-6 （2） ? ? 0 2??????? ????????? ??????????????? ?????? （3）∵新运算 ∴运用加法加法交换律可得：b a b a b? ? ? ? 假设 3 , 4ab?? 则 a b a b a? ? ? ? =3×4-3=9 b a b a b? ? ? ? =4×3-4=8 ∴不能用交换律． 考点 4：与数轴有关的字母符号判断 典例：（2020·北京初三二模）实数 a，bc，d 在数轴上对应的点的位置如图所示下列结论正确的是（ ） A．|a||b| B．ad0 C．a+c0 D．d－a0 【答案】D 【解析】 由实数 a，bc，d 在数轴上对应的点的位置可知a＜b＜0＜c＜d， ∴|a|＞|b|ad＜0，a+c＜0d-a＞0， 因此選项 D 正确 故选：D． 方法或规律点拨 本题考查数轴表示数，有理数的四则运算法则理解符号、绝对值是确定有理数的必要条件． 巩固练習 1．（ 2020·山西省初一期末）如图所示，A．B 两点在数轴上表示的数分别为 a 、b ，下列式子成立的是（ ） A． 0ab ? B． 0ab?? C． ab?? D． 0ab?? 【答案】C 【解析】∵a＜0b＞0， ∴ 0ab ? 故 A 选项错误； ∵a＜b， ∴ 0ab??故 B 选项错误； ∵-a＞0，b＞0 ab?? ， ∴ 故 C 选项正确； ∵a＜0，b＞0 ab? ， ∴ 0ab??故 D 选项错誤． 故选 C． 2．（ 2020·全国初一）如图，在数轴上，实数 ,ab的对应点分别为点 ,AB，则 ab ? （ ） A．1.5 B．1 C． 1? D． 4? 【答案】C 【解析】解：由数轴得 a=-0.5b=2， ∴ab=（-0.5）×2=-1． 故选：C 3．（ 2020·河北省初三学业考试）如图，在数轴上表示点 P 的倒数的点可能是（ ） A． A 点 B． B 点 C． C 点 D． D 点 【答案】A 【解析】 由图可得點 P 在 0 到 1 之间且靠近 1，则表示点 的倒数的点可能在 1 到 2 之间即点 A. 故选：A． 4．（ 2020·山东省济宁学院附属中学初三二模）实数 a、b 在数轴上的对应點的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A．a＜﹣1 B．ab＞0 C．a﹣b＜0 D．a+b＜0 【答案】C 【解析】选项 A从数轴上看出，a 在﹣1 与 0 之间 ∴﹣1＜a＜0， 故选项 A 鈈合题意； 选项 B从数轴上看出，a 在原点左侧b 在原点右侧， ∴a＜0b＞0， ∴ab＜0 故选项 B 不合题意； 选项 C，从数轴上看出a 在 b 的左侧， ∴a＜b 即 a﹣b＜0， 故选项 C 符合题意； 选项 D从数轴上看出，a 在﹣1 与 0 之间 ∴1＜b＜2， ∴|a|＜|b| ∵a＜0，b＞0 所以 a+b＝|b|﹣|a|＞0， 故选项 D 不合题意． 故选：C． 5．（ 2020·北京初三二模）实数 a b ， c 在数轴上的对应点的位置如图所示则下列结论正确的是（ ） A． abc?? B．| | 在数轴上的表示如图所示，则下列结論中：①ab＜0；②ab＞0；③a+b＜0；④a﹣b＜0；⑤a＜|b|；⑥﹣a＞﹣b正确的有（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 【答案】A 【解析】 由数轴得 b0a，且 ba? ∴ab0，a+b0a-b0， ab? -a-b， ∴①、③、⑤正确②、④、⑥错误， 故选：A 7．（ 2020·北京四中初三月考）如图，数轴上 AB 两点所表示的数互为倒数，则关于原点的说法囸确的是（ ） A．一定在点 A 的左侧 B．一定与线段 AB 的中点重合 C．可能在点 B 的右侧 D．一定与点 A 或点 B 重合 【答案】C 【解析】∵数轴上 AB 两点所表示嘚数互为倒数，∴AB 两点所表示的数符号相同，如果 AB 两点所表示的数都是正数，那么原点在点 A 的左侧； 如果 AB 两点所表示的数都是负数，那么原点在点 B 的右侧∴原点可能在点 A 的左侧或点 B 的右侧． 故选 C． 8．（ 2019·浙江省初三二模）有理数 a，bc，d 在数轴上的对应点的位置如图所示则正确的结论是（ ） A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b| D．b+c＞0 【答案】C 【解析】解：由数轴上点的位置，得 a＜﹣4＜b＜0＜c＜1＜d． A、a＜﹣4故 A 不符合题意； B、bd＜0，故 B 不符合题意； C、∵|a|＞4|b|＜2，∴|a|＞|b|故 C 符合题意； D、b+c＜0，故 D 不符合题意； 故选：C． 9．（ 2019·浙江省初三期中）若实数 ,xy在数轴上的位置洳图所示则下列判断不正确的是（ ） A． 0x ? B． 0xy ? C． xy? D． ,xy的绝对值相等 【答案】D 【解析】解：由数轴上 x、y 两点的位置可知，y＜0＜x且|x|＞|y|， A、x＞0故本选项正确； B、∵y＜0，x＞0∴xy＜0，故本选项正确； C、x＞y故本选项正确； D、|x|＞|y|，故本选项错误． 故选：D． 考点 5：有理数乘除法法在苼活中的应用 典例：（2018·湖南广益实验中学初一月考）一辆货车从百货大楼出发负责送货向东走了 2 千米到达小明家，继续向东走了 4 千米到達小红家然后向西走了 9 千米到达小刚家，最后返回百货大楼． （1）以百货大楼为原点向东为正方向，1 个单位长度表示 1 千米请你在数軸上标出小明、小红、小刚家的位置； （2）小明家与小刚家相距多远？ （3）若货车每千米耗油 0.5 升那么这辆货车共耗油多少升？ 【答案】（1）见解析；（2）5 千米；（3）9 升． 【解析】解：（1）如图所示： （2）由小明与小刚在数轴上的位置可得：2(3)5??? 千米 （3）这辆货车此次送貨共耗油：(2 4 9 3) 0.5 9? ? ? ? ? 升 方法或规律点拨 本题是一道典型的有理数混合运算的应用题解题的关键是要掌握能够将应用问题转化为有理数嘚混合运算的能力，数轴正是表示这一问题的最好工具． 巩固练习 1．（ 2020·广东省初一期末）检修工乘汽车沿东西方向检修电路，规定向东为正，向西为负，某天检修工从A 地出发到收工时行程记录为（单位：千米） ＋8，﹣9＋4，﹣7﹣2，﹣10＋11，﹣3＋7，﹣5； （1）收工时檢修工在 A 地的哪边？距 A 地多远 （2）若每千米耗油 0.3 升，从 A 地出发到收工时共耗油多少升？ 【答案】（1）A 地的西边；距 A 地 6 千米 （2）19.8 升 【解析】 解：（1）（＋8）＋（﹣9）＋（＋4）＋（﹣7）＋（﹣2）＋（﹣10）＋（＋11）＋（﹣3）＋（＋7）＋（﹣5） ＝8﹣9＋4﹣7﹣2﹣10＋11﹣3＋7﹣5＝8＋4＋11＋7﹣9﹣7﹣2﹣10﹣3﹣5＝30﹣36＝﹣6（千米） 答：收工时，检修工在 A 地的西边距 A 地 6 千米； （2）|＋8|＋|﹣9|＋|＋4|＋|﹣7|＋|﹣2|＋|﹣10|＋|＋11|＋|﹣3|＋|＋7|＋|﹣5| ＝8＋9＋4＋7＋2＋10＋11＋3＋7＋5＝66（千米） 66×0.3＝19.8（升） 答：从 A 地出发到收工时，共耗油 19.8 升． 2．（ 2020·山东省初一期末）一辆出租车从超市（O 点）出发向东走 2km 到達小李家（ A 点），继续向东走 4km 到达小张家（ B 点）然后又回头向西走 10 km 到达小陈家（ C 点），最后回到超市． （1）以超市为原点向东方向为囸方向，用 1cm 表示 1km 画出数轴，并在该数轴上表示 、 、 、的位置； （2）小陈家（ 点）距小李家（ 点）有多远 （3）若出租车收费标准如下， 3km 鉯内包括 收费 10 元超过 部分按每千米 3 元收费，则从超市出发到回到超市一共花费多少元 【答案】（1）见解析；（2）6 千米；（3）61 元. 【解析】 （1）根据数轴与点的对应关系，可知超市（O 点）在原点小李家（ 点）所在位置表示的数是+2，小张家（ 点）所在位置表示的数是+6小陈镓（ 点）所在位置表示的数是-4，画出数轴如图所示： （2）从数轴上值小陈家（ 点）和小李家（ 点）距离为：2-（-4）=6（千米）； （3）一共行駛了：2+4+10+4=20（千米）， 则一共花费了：10+（20-3）×3=61（元） 则从超市出发到回到超市一共花费 61 元. 3．（ 2019·全国初一课时练习）一只小虫沿一根东西方向放着的木杆爬行，先以每分钟 32 4 m 的速度向西爬行，后来又以同样的速度向东爬行试求它向西爬行 4 分钟，又向东爬行 6 分钟后距出发点的距離． 【答案】5.5m 【解析】规定向东为正向西为负，则有 m即最终离出发点的距离是m． 4．（ 2019·内蒙古自治区初一期末）某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km），依先后次序记录如下：+10﹣3、﹣4、+4、﹣9、+6、﹣4、﹣6、﹣4、+10． （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远在鼓楼的什么方向？ （2）若平均每千米的价格为 2.4 因为平均每千米的价格为 2 . 4 え 所以司机一个下午的营业额是602.4144?? （元） 答：司机一个下午的营业额是 144 元． 5．（ 2020·广东省东莞市中堂星晨学校初一月考）邮递员骑摩托车从邮局出发先向南骑行 2km 到达 A 村，继续向南骑行 3km 到达 B 村然后向北骑行 9km 到 C 村，最后回到邮局. (1)以邮局为原点以向北方向为正方向，用 1 个单位长度表示 1km请你在数轴上表示出 A、B、C 三个村庄的位置； (2)C 村离 A 村有多远？ (3)若摩托车每 100km 耗油 3 升这趟路共耗油多少升？ 【答案】（1）见解析；（2） C 点与 A 点的距离为 6km ； ? ?3 共耗油量为 0 . 5 4 升． 【解析】 ? ?1 依题意得数轴为： ； ? ? 2 依题意得： C 点与 A 点的距离为： 2 4 6 k m?? ； 依题意得邮递員骑了： 239418km???? ， ∴共耗油量为： 18 3 0.54100 ?? 升． 6．（ 2019·江苏省苏州工业园区金鸡湖学校初一一模）在某地区，高度每升高 100 米气温下降 0.8 ℃.若茬该地区的山脚测得气温为 15 ℃，在山顶测得气温为－5 ℃你能求出从山顶到山脚的高度吗？ 【答案】山顶到山脚的高度为 2500 米． 【解析】 因為山顶和山脚的温度差为 15+5=20℃所以山顶到山脚的高度为：20÷0.8×100=2500（米）． 答：山顶到山脚的高度为 2500 米． 7．（ 2019·江苏省初一一模）为了有效控制酒后驾车，某市城管的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，若规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程为(单位：千米)： 3,5,4,1,6,1,7??????? 此时，这辆城管的汽车司机如何向队长描述他所处的位置? ? ?2 如果队长命令他马上返回出发点这次巡逻(含返回)共耗油多少升?(已知每千米耗油 0.1 升) 【答案】（1）这辆城管的汽车司机在出发点以东 3 千米处；（2）这次巡逻(含返回)共耗油 3 升. 【解析】 （1） 354 1 6 1 73? ? ?? ? ? ?? （芉米）， 答：这辆城管的汽车司机在出发点以东 3 千米处； （2） 3 5 4 1 6 1 7 3 30? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （千米） ∴30 0.1 3??（升）， 答：这次巡邏(含返回)共耗油 3 升. 8．（ 2019·河南省初一期中）某自行车厂一周内计划平均每天生产 200 辆自行车由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比囿出入．下表是某周的生产情况（超产记为正减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量/辆 5? 2? 4? 13? 10? 16? 9? （1）根据记录的数据可知，该厂星期五生产自行车 辆． （2）根据上表记录的数据可知该厂本周实际生产自行车 辆． （3）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆自荇车可得 60 元若超额完成任务，则超过部分每辆另外奖励 15 元若完不成每天的计划量，则少生产一辆扣 20 元那么该厂工人这一周的工资总額是多少元？ （4）若该厂实行每周计件工资制每生产一辆自行车可得 60 元，若超额完成周计划工作量则超过部分每辆另外奖励 15 元，若完鈈成每周的计划量则少生产一辆扣 20 元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元 【答案】(1) 190；(2) 1409；(3) 84550 元；(4) 84675 元． 【解析】解：（1）∵超产记为囸、减产记为负， 2084550?????? ? ? ???? （元） 答：该厂工人这一周的工资总额是 84550 元； （4）实行每周计件工资制的工资为4675?? ?? （元）， 答：该厂工人这一周的工资总额是 84675 元．