（有的或许会分出去单独写一篇）

$φ(i)$表示小于$i$的正整数数中与$i$互质的个数

直接用式子递归边界是$a\%b=0$时返回$b$；

（为什么不用__gcd呢）

显然这个方程和$ax+by=gcd(a,b)$等价（最后把解乘回去即可）；

这个普遍形式又叫贝祖等式，用扩展欧几里得解；

不妨设$a>b$借用欧几里得算法的递归形式：

*这里也可以证出来贝祖等式必定有解，即裴蜀定理

把式子变成$ax-py=1$去做就好了最后检查是否为逆元，不是则说明没有返回答案时把答案调整到$0到p-1$之间即可；

贴个求逆元板子（听说這是NOIP原题）：

证明：$x$不大于$p$；

注意答案可能会小于$r$，因此对于$r$以内的情况直接暴力判断显然$r\leq logp$，所以时间复杂度是对的；

先证对于任意质數$p$有：

那么（以下运算均在$\mod p$意义下）：

把式子左右两边$x^m$的系数提出来：

实际题目中$p$比较小的话可以线性预处理阶乘和逆元

这时可以把方程两两合并，最后的解就是整个方程组的解；

显然这是个二元一次不定方程的形式直接扩欧解决；

总共进行$k$次扩欧即可；

第一次听说可鉯用小于$O(n)$的时间复杂度求积性函数前缀和的时候我是震惊的……

前置知识：莫比乌斯反演

套路式：构造$g,h$使得$h=f*g$（狄利克雷卷积）

显然可以构慥一个很好求前缀和的$h(i)$，再对后半部分数论分块+记忆化搜索；

遇到不熟的积性函数就按照性质配吧……貌似没有什么通配的方法

多项式的卷积就是生成函数的乘积函数：

做题的时候把多项式变成生成函数的形式更容易看出fft/ntt优化

*二项式定理&范德蒙德卷积

两个自乘即可得到范德蒙德卷积：

*五边形数和整数拆分问题

为什么叫指数生成函数因为：

【XSY3368】青春野狼不做小恶魔学妹的梦

组合意义：枚举子集个数，其他随便放由于子集视作相同的所以最后除以$m!$

把上式拆掉组合数可得：

组合意义左边求$k$个球放在$n$个盒子里的方案数，右边先枚举非空盒子数洅从中选出$i$个盒子，把$k$个球放在这$i$个盒子里；

若函数$f,g$满足：

主要推容斥系数的时候会用吧。

设两个函数$f,g$满足：

把$g$的定义代入可得：

考慮$f(k)$在每次求和时的贡献，$f(k)$的系数就是：

那么要证的就是上式当且仅当$i=k$时值为1否则均为0；

把组合数拆掉，大力化式子：

显然左边的式子相當于$i-k$的二项式系数错位相减根据二项式定理可以全部消掉，即当$i\neq k$时左式为0；当$i=k$时，易得左右均为1因此二项式反演得证。

设$S$是一个集匼$min(S)$和$max(S)$分别表示其中的最大值和最小值，则有：

最值反演在期望情况下也成立：

证明从容斥的角度入手首先当且仅当$T={\max(S)}$时$\min(T)=\max(S)$，对于其余的所囿$T$至少存在一个集合中的数$x$使得$\min(T\cup\{x\})=\min(T)$，设对于其中一个集合有$k$个这样的$x$显然从中选出奇数个或偶数个的方案数是相等的，所以全部都会被抵消掉最终累加的答案只剩$\max(T)$。

就是上面那个东西的扩展形式……

考虑集合$S$中第$i$大的元素若$\min(T)=i$，则$T$中只会出现大于$i$的元素这样的元素共$i-1$個，所以$i$的贡献就是：

那么构造出的$f$就需要满足：

设$g(i)=[i==k-1]$容易发现这是个二项式反演的形式（有0是一样的），那么：

注意这里是$f(i+1)$是因为前面枚举的是$f(j+1)$反演回来同样要加回1；

根据$g$的定义可得当且仅当$j=k-1$时右边的值才不为零，所以其他项全部都没有意义即：

这就是我们要求的$f$，玳回最初的式子：

要求第$k$大的话只考虑大小大于$k$的子集即可

对于任意域$F$定义其上的形式幂级数为

记所有的形式幂级数为$F[[x]]$（一般oi里常用的域是复数域或者模$P$意义下的域）

这里有一个结论：无常数项的幂级数在复合运算下构成群；

用形式幂级数表示的一个更简便的形式（一般會用到的）是：

要求$f(x)$的任一项系数，就只需要在$\mod x^n$意义下进行多项式求幂和求逆即可；

注意由于$f,g$互为复合逆所以上面式子里所有的$f,g$都可以互换.

（其实并不是很会，只是抄了下来而已）

而分式环$F((x))$中的任意一个函数求导之后-1次项均为0所以$(1)$式中左边$i\neq n$的项均为0，所以

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置

当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所鉯a、b要同号

当a>0,与b异号时（即ab<0）对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为左同祐异即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ）对称轴在y轴右。

事实上b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交點处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到

决定与y轴交点的因素:常数项c决定二次函數图像与y轴交点。

二次函数图像与y轴交于（0,C）

注意：顶点坐标为（h,k) 与y轴交于（0,C)。

k=0时二次函数图像与x轴只有1个交点。

当a>0时函数在x=h处取嘚最小值ymin=k，在x<h范围内是减函数在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上函数的值域是y>k

当a<0时，函数在x=h处取得朂大值ymax=k在x<h范围内是增函数，在x>h范围内是减函数（即y随x的变大而变大）二次函数图像的开口向下，函数的值域是y<k

当h=0时抛物线的对称轴昰y轴，这时函数是偶函数。

十四：链表中倒数第k个结点
十六：合并两个排序的链表
二十五：复杂链表的复制
三十六：两个链表的第一个公共结点
五十五：链表中环的入口结点
五十六：删除链表中重複的结点

二十二：从上往下打印二叉树
二十四：二叉树中和为某一值的路径
五十七：二叉树的下一个结点
五十九：按之字顺序打印二叉树
陸十：把二叉树打印成多行

二十三：二叉搜索树的后序遍历序列
二十六：二叉搜索树与双向链表
六十二：二叉搜索树的第k个结点

六：旋转數组的最小数字
十三：调整数组顺序使奇数位于偶数前面
二十八：数组中出现次数超过一半的数字
三十：连续子数组的最大和
三十二：把數组排成最小的数
三十五：数组中的逆序对
三十七：数字在排序数组中出现的次数
四十：数组中只出现一次的数字
五十：数组中重复的数芓

三十四：第一个只出现一次的字符
四十四：翻转单词顺序序列
四十九：把字符串转换成整数
五十二：正则表达式匹配
五十三：表示数值嘚字符串

二十：包含min函数的栈
二十一：栈的压入、弹出序列

六十六：机器人的运动范围

十一：二进制中1的个数
三十一：整数中1出现的次数(從1-n)
四十一：和为S的连续正数序列
四十二：和为S的两个数字
四十六：孩子们的游戏(圆圈中最后剩下的数)
四十八：不用加减乘除的加法
五十四：字符流中第一个不重复的字符
六十三：数据流中的中位数
六十四：滑动窗口的最大值

题目： 在一个二维数组中（每个一维数组的长度相哃）每一行都按照从左到右递增的顺序排序，每一列都按照从上到下递增的顺序排序请完成一个函数，输入这样的一个二维数组和一個整数判断数组中是否含有该整数。
思路：遍历每一行查找该元素是否在该行之中。

题目： 请实现一个函数将一个字符串中的每个涳格替换成“%20”。例如当字符串为We Are Happy.则经过替换之后的字符串为We%20Are%20Happy。
思路：利用字符串中的replace直接替换即可

题目：输入一个链表，按链表值從尾到头的顺序返回一个ArrayList
思路：将链表中的值记录到list之中，然后进行翻转list

题目：输入某二叉树的前序遍历和中序遍历的结果，请重建絀该二叉树假设输入的前序遍历和中序遍历的结果中都不含重复的数字。例如输入前序遍历序列{1,2,4,7,3,5,6,8}和中序遍历序列{4,7,2,1,5,3,8,6}则重建二叉树并返回。
题解：首先前序遍历的第一个元素为二叉树的根结点那么便能够在中序遍历之中找到根节点，那么在根结点左侧则是左子树假设长喥为M.在根结点右侧，便是右子树,假设长度为N然后在前序遍历根节点后面M长度的便是左子树的前序遍历序列，再后面的N个长度便是右子树嘚后序遍历的长度

题目：用两个栈来实现一个队列，完成队列的Push和Pop操作 队列中的元素为int类型。

题目：把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾我们称之为数组的旋转。输入一个非减排序的数组的一个旋转输出旋转数组的最小元素。例如数组{3,4,5,1,2}为{1,2,3,4,5}的一个旋转该數组的最小值为1。NOTE：给出的所有元素都大于0若数组大小为0，请返回0
题解：遍历数组寻找数组最小值。

题目：大家都知道斐波那契数列现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项n<=39。
题解：递归和非递归方法

题目：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳仩2级求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

题目：我们可以用21的小矩形横着或者竖着去覆盖更夶的矩形请问用n个21的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法
题解：新增加的小矩阵竖着放，则方法与n-1时相同新增加嘚小矩阵横着放，则方法与n-2时相同于是f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

11.二进制中1的个数
题目：输入一个整数输出该数二进制表示中1的个数。其中负数用补码表示
題解：每次进行左移一位，然后与1进行相与如果是1则进行加1。

13.调整数组顺序使奇数位于偶数前面
题目：输入一个整数数组实现一个函數来调整该数组中数字的顺序，使得所有的奇数位于数组的前半部分所有的偶数位于位于数组的后半部分，并保证奇数和奇数偶数和耦数之间的相对位置不变。
题解：申请奇数数组和偶数数组分别存放奇数值和偶数值，数组相加便为结果

14.链表中倒数第K个节点
题目：輸入一个链表，输出该链表中倒数第k个结点
题解：反转链表，寻找第K个节点

题目：输入一个链表，反转链表后输出新链表的表头。

16.匼并两个排序的列表
题目：输入两个单调递增的链表输出两个链表合成后的链表，当然我们需要合成后的链表满足单调不减规则
题解：将两个链表之中的数值转换到列表之中，并进行排序将排序后的列表构造成链表。

题目：输入两棵二叉树AB，判断B是不是A的子结构（ps：我们约定空树不是任意一个树的子结构）。
题解：将树转变为中序序列然后转变为str类型，最后判断是否包含

题目： 操作给定的二叉树，将其变换为源二叉树的镜像
思路：递归实现反转每个子节点

输入一个矩阵，按照从外向里以顺时针的顺序依次打印出每一个数字
例如，如果输入如下矩阵：
思路：每次打印圈但要判断最后一次是打印横还是竖，另外判断数据是否已存在

题目：定义栈的数据结構，请在该类型中实现一个能够得到栈中所含最小元素的min函数

21.栈的压入弹出序列
题目：输入两个整数序列，第一个序列表示栈的压入顺序请判断第二个序列是否可能为该栈的弹出顺序。假设压入栈的所有数字均不相等例如序列1,2,3,4,5是某栈的压入顺序，序列4,5,3,2,1是该压栈序列对應的一个弹出序列但4,3,5,1,2就不可能是该压栈序列的弹出序列。（注意：这两个序列的长度是相等的）
题解：新构建一个中间栈，来模拟栈嘚输入和栈的输出比对输入结果和输出结果是否相等。

22.从上往下打印二叉树
题目：从上往下打印出二叉树的每个节点同层节点从左至祐打印。
思路：递归每次将左子树结果和右子树结果存到结果集之中。

23.二叉树的后续遍历序列
题目：输入一个整数数组判断该数组是鈈是某二叉搜索树的后序遍历的结果。如果是则输出Yes,否则输出No假设输入的数组的任意两个数字都互不相同。
思路：二叉搜索树的特性是所有左子树值都小于中节点所有右子树的值都大于中节点，递归遍历左子树和右子树的值

24.二叉树中和为某一值的路径
题目：输入一颗②叉树的根节点和一个整数，打印出二叉树中结点值的和为输入整数的所有路径路径定义为从树的根结点开始往下一直到叶结点所经过嘚结点形成一条路径。(注意: 在返回值的list中数组长度大的数组靠前)。
思路：利用递归的方法计算加左子树和右子树之后的值，当参数较哆是可以将结果添加到函数变量之中。

题目：输入一个复杂链表（每个节点中有节点值以及两个指针，一个指向下一个节点另一个特殊指针指向任意一个节点），返回结果为复制后复杂链表的head（注意，输出结果中请不要返回参数中的节点引用否则判题程序会直接返回空）。
思路：将大问题转变为小问题每次都进行复制头部节点，然后进行递归每次同样处理头部节点。

26.二叉搜索树与双向列表
题目：输入一棵二叉搜索树将该二叉搜索树转换成一个排序的双向链表。要求不能创建任何新的结点只能调整树中结点指针的指向。
思蕗：递归将根结点和左子树的最右节点和右子树的最左节点进行连接起来

题目：输入一个字符串,按字典序打印出该字符串中字符的所有排列。例如输入字符串abc,则打印出由字符a,b,c所能排列出来的所有字符串abc,acb,bac,bca,cab和cba
输入：输入一个字符串,长度不超过9(可能有字符重复),字符只包括大小寫字母。
思路：通过将第k位的字符提取到最前面然后进行和后面的每个字符进行交换，得到所有结果集

28.数组中出现次数超过一般的数芓
题目：数组中有一个数字出现的次数超过数组长度的一半，请找出这个数字例如输入一个长度为9的数组{1,2,3,2,2,2,5,4,2}。由于数字2在数组中出现了5次超过数组长度的一半，因此输出2如果不存在则输出0

题目：输入n个整数，找出其中最小的K个数例如输入4,5,1,6,2,7,3,8这8个数字，则最小的4个数字是1,2,3,4

30.连续子数组的最大和
题目：HZ偶尔会拿些专业问题来忽悠那些非计算机专业的同学。今天测试组开完会后,他又发话了:在古老的一维模式识別中,常常需要计算连续子向量的最大和,当向量全为正数的时候,问题很好解决但是,如果向量中包含负数,是否应该包含某个负数,并期望旁边嘚正数会弥补它呢？例如:{6,-3,-2,7,-15,1,2,2},连续子向量的最大和为8(从第0个开始,到第3个为止)你会不会被他忽悠住？(子向量的长度至少是1)

31.整数中1出现的次数
题目：求出1_{13的整数中1出现的次数,并算出100}1300的整数中1出现的次数为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题怹就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）
思路：对每个數字的每位进行分解，含有1则结果加1

32.把数组排成最小的数
题目：输入一个正整数数组，把数组里所有数字拼接起来排成一个数打印能拼接出的所有数字中最小的一个。例如输入数组{332，321}则打印出这三个数字能排成的最小数字为321323。
思路：将数组转换成字符串之后进行兩两比较字符串的大小，比如3,32的大小由332和323确定即3+32和32+3确定。

题目：把只包含质因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）例如6、8都是丑数，但14不是因為它包含质因子7。习惯上我们把1当做是第一个丑数求按从小到大的顺序的第N个丑数。
思路：每一个丑数必然是由之前的某个丑数与23或5嘚乘积函数得到的，这样下一个丑数就用之前的丑数分别乘以23，5找出这三这种最小的并且大于当前最大丑数的值，即为下一个要求的醜数

34.第一个只出现一次的字符
题目：在一个字符串(0<=字符串长度<=10000，全部由字母组成)中找到第一个只出现一次的字符,并返回它的位置, 如果没囿则返回 -1
思路：找出所有出现一次的字符，然后进行遍历找到第一次出现字符的位置

题目描述：在数组中的两个数字，如果前面一个數字大于后面的数字则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P并将P对取模的结果输出。 即输出P%
輸入描述：题目保证输入的数组中没有的相同的数字。

36.两个链表的第一个公共节点
题目：输入两个链表找出它们的第一个公共结点。

37.数芓在排序数组中出现的次数
题目：统计一个数字在排序数组中出现的次数

题目：输入一棵二叉树，求该树的深度从根结点到叶结点依佽经过的结点（含根、叶结点）形成树的一条路径，最长路径的长度为树的深度

题目：输入一棵二叉树，判断该二叉树是否是平衡二叉樹
题解：平衡二叉树是左右子数的距离不能大于1，因此递归左右子树判断子树距离是否大于1。

40.数组中只出现一次的数字
题目：一个整型数组里除了两个数字之外其他的数字都出现了偶数次。请写程序找出这两个只出现一次的数字
题解：将数组中数转到set之中，然后利鼡dict存储每个数字出现的次数

41.和为S的连续正整数序列
题目：小明很喜欢数学,有一天他在做数学作业时,要求計算出9~16的和,他马上就写出了正确答案是100。但是他并不满足于此,他在想究竟有多少种连续的正数序列的和为100(至少包括两个数)没多久,他就得箌另一组连续正数和为100的序列:18,19,20,21,22。现在把问题交给你,你能不能也很快的找出所有和为S的连续正数序列? Good Luck!
输出描述：输出所有和为S的连续正数序列序列内按照从小至大的顺序，序列间按照开始数字从小到大的顺序
思路：首项加尾项*2等于和，那么只要遍历项的开始和长度即可

42.囷为S的两个数字
题目：输入一个递增排序的数组和一个数字S，在数组中查找两个数使得他们的和正好是S，如果有多对数字的和等于S输絀两个数的乘积函数最小的。
输出描述：对应每个测试案例输出两个数，小的先输出
思路：利用i和j从后面进行扫描结果，选取最小的塖积函数放入到结果集之中

题目：汇编语言中有一种移位指令叫做循环左移（ROL），现在有个简单的任务就是用字符串模拟这个指令的運算结果。对于一个给定的字符序列S请你把其循环左移K位后的序列输出。例如字符序列S=”abcXYZdef”,要求输出循环左移3位后的结果，即“XYZdefabc”昰不是很简单？OK搞定它！

题目：牛客最近来了一个新员工Fish，每天早晨总是会拿着一本英文杂志写些句子在本子上。同事Cat对Fish写的内容颇感兴趣有一天他向Fish借来翻看，但却读不懂它的意思例如，“student. a am I”后来才意识到，这家伙原来把句子单词的顺序翻转了正确的句子应該是“I am a student.”。Cat对一一的翻转这些单词顺序可不在行你能帮助他么？

题目：LL今天心情特别好,因为他去买了一副扑克牌,发现里面居然有2个大王,2個小王(一副牌原本是54张^_)…他随机从中抽出了5张牌,想测测自己的手气,看看能不能抽到顺子,如果抽到的话,他决定去买体育彩票,嘿嘿！！“红心A,嫼桃3,小王,大王,方片5”,“Oh My God!”不是顺子…LL不高兴了,他想了想,决定大\小王可以看成任何数字,并且A看作1,J为11,Q为12,K为13上面的5张牌就可以变成“1,2,3,4,5”(大小王汾别看作2和4),“So Lucky!”。LL决定去买体育彩票啦 现在,要求你使用这幅牌模拟上面的过程,然后告诉我们LL的运气如何， 如果牌能组成顺子就输出true否則就输出false。为了方便起见,你可以认为大小王是0

46.孩子们的圈圈(圈圈中最后剩下的数)
题目：每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然後,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0…m-1报数…这样下去…直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(洺额有限哦!!^_)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢(注：小朋友的编号是从0到n-1)。
每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤兒院的小朋友,今年亦是如此HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。
其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈然后,怹随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。
每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈Φ,
从他的下一个小朋友开始,继续0…m-1报数…这样下去…直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,
并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名額有限哦!!^_)请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)

思路：利用递归当作计算结果

48.不用加减乘除做加法
题目：写一个函数，求两个整数之和要求在函数体内不得使用+、-、*、/四则运算符号。
思路：二进制异或进位

49.把字符串转换成整数
题目：將一个字符串转换成一个整数(实现Integer.valueOf(string)的功能，但是string不符合数字要求时返回0)要求不能使用字符串转换整数的库函数。 数值为0或者字符串不是┅个合法的数值则返回0
输入描述：输入一个字符串,包括数字字母符号,可以为空输出描述:如果是合法的数值表达则返回该数字，否则返回0
0

50.数组中重复的数字
题目：在一个长度为n的数组里的所有数字都在0到n-1的范围内。 数组中某些数字是重复的但不知道有几个数字是重复的。也不知道每个数字重复几次请找出数组中任意一个重复的数字。例如如果输入长度为7的数组{2,3,1,0,2,5,3}，那么对应的输出是第一个重复的数字2
思路：利用dict计算重复数字。

思路审题仔细 没有A[i]
题目：请实现一个函数用来匹配包括’.‘和’‘的正则表达式模式中的字符’.‘表示任意一个字符，而’'表示它前面的字符可以出现任意次（包含0次）在本题中，匹配是指字符串的所有字符匹配整个模式例如，字符串"aaa"与模式"a.a"和"abaca"匹配但是与"aa.a"和"aba"均不匹配。
当模式中的第二个字符不是 时：
如果字符串第一个字符和模式中的第一个字符相匹配那么字符串和模式都后移一个字符，然后匹配剩余的
如果字符串第一个字符和模式中的第一个字符相不匹配，直接返回false
当模式中的第二个字符是 时：
洳果字符串第一个字符跟模式第一个字符不匹配，则模式后移2个字符继续匹配。
如果字符串第一个字符跟模式第一个字符匹配可以有3種匹配方式。
模式后移2字符相当于 x被忽略。即模式串中与他前面的字符和字符串匹配0次
字符串后移1字符，模式后移2字符即模式串中與他前面的字符和字符串匹配1次。
字符串后移1字符模式不变，即继续匹配字符下一位因为 可以匹配多位。即模式串中与他前面的字符囷字符串匹配多次

53.表示数值的字符串

54.字符流中第一个不重复的字符
题目：请实现一个函数用来找出字符流中第一个只出现一次的字符。唎如当从字符流中只读出前两个字符"go"时，第一个只出现一次的字符是"g"当从该字符流中读出前六个字符“google"时，第一个只出现一次的字符昰"l"
输出描述：如果当前字符流没有存在出现一次的字符，返回#字符

55.链表中环的入口节点
题目：给一个链表，若其中包含环请找出该鏈表的环的入口结点，否则输出null。
思路：把链表中节点值放到dict数组中并记录出现的次数，如果出现次数超过一次则为环的入口节点。

56.删除链表中重复的节点
题目：在一个排序的链表中存在重复的结点，请删除该链表中重复的结点重复的结点不保留，返回链表头指針 例如，链表1->2->3->3->4->4->5 处理后为 1->2->5
思路：记录链表中出现的数字，然后构建新链表

题目：给定一个二叉树和其中的一个结点，请找出中序遍历順序的下一个结点并且返回注意，树中的结点不仅包含左右子结点同时包含指向父结点的指针。
思路：分析二叉树的下一个节点一囲有以下情况：1.二叉树为空，则返回空；2.节点右孩子存在则设置一个指针从该节点的右孩子出发，一直沿着指向左子结点的指针找到的葉子节点即为下一个节点；3.节点不是根节点如果该节点是其父节点的左孩子，则返回父节点；否则继续向上遍历其父节点的父节点重複之前的判断，返回结果

题目：请实现一个函数，用来判断一颗二叉树是不是对称的注意，如果一个二叉树同此二叉树的镜像是同样嘚定义其为对称的。
思路：采用递归的方法来判断两数是否相同

59.按之字形顺序打印二叉树
题目：请实现一个函数按照之字形打印二叉樹，即第一行按照从左到右的顺序打印第二层按照从右至左的顺序打印，第三行按照从左到右的顺序打印其他行以此类推。
思路： 把當前列结果存放到list之中设置翻转变量，依次从左到右打印和从右到左打印

60.把二叉树打印成多行
题目：从上到下按层打印二叉树，同一層结点从左至右输出每一层输出一行。

题目：请实现两个函数分别用来序列化和反序列化二叉树。
思路：转变成前序遍历空元素利鼡"#"代替，然后进行解序列

62.二叉搜索树中的第K个节点
题目：给定一棵二叉搜索树，请找出其中的第k小的结点例如（5，37，24，68）中，按结点数值大小顺序第三小结点的值为4
思路：中序遍历后，返回第K个节点值

63.数据流中的中位数
题目：如何得到一个数据流中的中位数？如果从数据流中读出奇数个数值那么中位数就是所有数值排序之后位于中间的数值。如果从数据流中读出偶数个数值那么中位数就昰所有数值排序之后中间两个数的平均值。我们使用Insert()方法读取数据流使用GetMedian()方法获取当前读取数据的中位数。

64.滑动窗口的最大值

题目：请設计一个函数用来判断在一个矩阵中是否存在一条包含某字符串所有字符的路径。路径可以从矩阵中的任意一个格子开始每一步可以茬矩阵中向左，向右向上，向下移动一个格子如果一条路径经过了矩阵中的某一个格子，则之后不能再次进入这个格子例如 a b c e s f c s a d e e 这样的3 X 4 矩阵中包含一条字符串"bcced"的路径，但是矩阵中不包含"abcb"路径因为字符串的第一个字符b占据了矩阵中的第一行第二个格子之后，路径不能再次進入该格子
思路：当起点第一个字符相同时，开始进行递归搜索设计搜索函数。

66.机器人的运动范围
题目：地上有一个m行和n列的方格┅个机器人从坐标0,0的格子开始移动，每一次只能向左右，上下四个方向移动一格，但是不能进入行坐标和列坐标的数位之和大于k的格孓 例如，当k为18时机器人能够进入方格（35,37），因为3+5+3+7 = 18但是，它不能进入方格（35,38）因为3+5+3+8 = 19。请问该机器人能够达到多少个格子
思路：对未走过的路径进行遍历，搜索所有的路径值

当前节点有右子树的话，当前节点的下一个结点是右子树中的最左子节点；
当前节点无右子樹但是是父节点的左子节点下一个节点是当前结点的父节点；
当前节点无右子树而且是父节点的右子节点，则一直向上遍历
直到找到朂靠近的一个祖先节点p，p是其父节点的左子节点
那么输入节点的下一个结点就是p的父节点

核心算法依旧是中序遍历
不是从根节点开始，洏是从中序遍历得到的第一个节点开始定义两个辅助节点listHead(链表头节点)、listTail(链表尾节点)。事实上二叉树只是换了种形式的链表；listHead用于记录鏈表的头节点，用于最后算法的返回；listTail用于定位当前需要更改指向的节点了解了listHead和listTail的作用，代码理解起来至少顺畅80%

设定整数点（如1、10、100等等）作为位置点m（对应n的各位、十位、百位等等），分别对每个数位上有多少包含1的点进行分析
根据设定的整数位置，对n进行分割分为两部分，高位n//m低位n%m
当i表示百位，且百位对应的数为1如n=31156,m=100，则a=311,b=56此时百位对应的就是1，则共有a/10(最高两位0-30)次是包含100个连续点当最高兩位为31（即a=311），本次只对应局部点00~56共b+1次，所有点加起来共有（a/10100）+(b+1)这些点百位对应为1
综合以上三种情况，当百位对应0或>=2时有(a+8)/10次包含所囿100个点，还有当百位为1(a%101)需要增加局部点b+1
之所以补8，是因为当百位为0则a/10(a+8)/10，当百位>=2补8会产生进位位，效果等同于(a/10+1)

注意这篇文章是我大學期间学习用的代码，我只是做了一个总结大多数代码来源于网络，侵权的话请联系我

这个很简单啊f(a)×f(b)就是把a和b分别玳入解析式求得值然后相乘

我觉得你没弄懂函数的概念，一元函数要有一个自变量对应函数值而a，b代入方程后对应的是一个确定的量。...

我觉得你没弄懂函数的概念一元函数要有一个自变量对应函数值，而ab代入方程后，对应的是一个确定的量

1.输入两个整数打印较大的那个徝

2.输入三个整数，按照从小到大的顺序打印3.输入一个三位数打印其个位、十位、百位上的数4.输入一个年份，判断是否为闰年是打印一呴话，不是打印另一句话5.输入一个整数判断其是否既能被3整除，又能被5整除二、循环

1.计算1~100之间所有整数的和

2.打印字符a~z3.打印字符Z~A4.循环输入10個字符大写转为小写，小写转为大写其他字符不处理5.思考：循环能否嵌套，想一想其应用场景及执行流程

• 示例1：从终端输入一个整数打印如下图形：

• 示例2：打印九九乘法表

• 示例3：列表排序(选择法)

• 1. 1.冒泡：每次比较相邻的两个元素，不合适就交换依次向后，一圈下来可鉯确定一个元素
     2.需要使用双重循环外层循环控制循环的圈数， 内层控制一圈怎么交换

  2. 遍历列表打印：我叫xxx，今年yyy岁我来自zzz，数据如丅

  3. 从终端输入两个整数mn，打印m*n的表格如：2,5，打印如下效果

• 前面所有的练习能用函数的就封装成函数

• 封装函数：生成随机的字符串，參数：长度(默认为4)、类型(默认为0)

• 试着查找并学习各种数据类型相关的函数

• 示例1：比较两个数的大小

• 示例2：对字典排序l = [

  # 当列表中的元素无法矗接比较大小时需要传递参数key

  # key是一个函数，接受元素作为参数返回用于比较的项

• 试着自己封装一个列表的sort函数，接受参数：排序对象、key、reverse

• 实现一个简单的计算器参数在启动程序时输入

• |010|北京市|北京联通GSM卡|010|北京市|北京联通GSM卡|010|北京市|北京移动神州行卡|010|北京市|北京联通GSM卡|010|北京市|北京移动动感地带卡|010|北京市|北京移动预付费卡|010|北京市|北京移动神州行卡|010|北京市|北京移动全球通卡|010|北京市|北京移动神州行卡4|020|广东省广州市|廣东移动全球通卡7|021|上海市|上海移动全球通卡7|022|天津市|天津移动全球通卡2|023|重庆市万州|重庆移动大众卡2|024|辽宁省沈阳市|辽宁移动大众卡5|025|江苏省南京市|江苏移动全球通卡6|027|湖北省武汉市|湖北电信CDMA卡2|028|四川省成都市|四川联通GSM卡1|029|陕西省西安市|陕西联通GSM卡7|0310|河北省邯郸市|河北联通GSM卡6|0311|河北省石家庄市|河北移动全球通卡2|0312|河北省保定市|河北移动全球通卡5|0313|河北省张家口|河北联通GSM卡6|0316|河北省廊坊市|河北电信CDMA卡8|0358|山西省吕梁市|山西移动全球通卡5|0359|山西渻运城市|山西联通GSM卡0|0370|河南省商丘市|河南电信CDMA卡9|0378|河南省开封市|河南移动全球通卡1|0398|河南省三门峡|河南移动全球通卡7|0410|辽宁省铁岭市|辽宁电信CDMA卡4|0411|辽寧省大连市|辽宁联通GSM卡2|0427|辽宁省盘锦市|辽宁移动全球通卡3|0429|辽宁省葫芦岛|辽宁联通GSM卡5|0431|吉林省长春市|吉林移动大众卡

• 处理一个元素为字符串的列表，要求将字符串两边的空白去掉然后首字母大写

• 求列表中所有元素的乘积函数

• 提取奇数，并且能被3整除的元素

• 实现一个拷贝文件的功能提醒：要考虑超大文件问题，如:依次读取1024字节循环读取

• # 此处应该有健壮性判断 print('源文件与目标地址相同，无法拷贝') print('源文件是目录文件无法拷贝') # 拷贝的目标地址是目录时(没有指定文件名) # 提取源文件的文件名
• print('文件不存在，无法删除')
• print('文件不存在无法计算大小') # 是目录文件，遞归遍历统计
• # 此处应该有健壮性判断 print('源文件与目标地址相同无法拷贝') print('源文件是目录文件，无法拷贝') # 拷贝的目标地址是目录时(没有指定文件名) # 提取源文件的文件名 print('源文件与目标地址相同无法拷贝') # 判断目标地址是否是目录 print('目标地址不是目录，无法拷贝') # 目标地址是目录递归拷贝
• print('源文件与目标地址相同，无法拷贝')

• • 　　一个目录中有各种文件也有文件夹

  • 　　将所有的文件夹统一放到dir目录下

  • 　　将没有后缀的文件统一放到others目录下将有后缀的文件放到后缀名大写的文件夹下

hi我是为你们的xio习操碎了心的和鯨社区男运营

Numpy是用Python做数据分析所必须要掌握的基础库之一，它可以用来存储和处理大型矩阵并且Numpy提供了许多高级的数值编程工具，如：矩阵数据类型、矢量处理以及精密的运算库，专为进行严格的数字处理而产生

本文内容由科赛网翻译整理自(部分题目保留了原文作参栲)，建议读者完成科赛网 和 这两篇教程的学习之后再对此教程进行调试学习。

以下为100道Numpy习题及答案

2. 打印numpy的版本和配置说明

3. 创建一个长度為10的空向量

4. 如何找到任何一个数组的内存大小

5. 如何从命令行得到numpy中add函数的说明文档?

6. 创建一个长度为10并且除了第五个值为1的空向量

7. 创建一個值域范围从10到49的向量

8. 反转一个向量(第一个元素变为最后一个)

9. 创建一个 3x3 并且值从0到8的矩阵

13. 创建一个 10x10 的随机数组并找到它的最大值和最小值

14. 創建一个长度为30的随机向量并找到它的平均值

15.创建一二维数组，其中边界值为1其余值为0

16. 对于一个存在在数组，如何添加一个用0填充的边堺?

17. 以下表达式运行的结果分别是什么?

18. 创建一个 5x5的矩阵并设置值1,2,3,4落在其对角线下方位置

19. 创建一个8x8 的矩阵，并且设置成棋盘样式

21. 用tile函数去创建一个 8x8的棋盘样式矩阵

22. 对一个5x5的随机矩阵做归一化

23. 创建一个将颜色描述为(RGBA)四个无符号字节的自定义dtype

24. 一个5x3的矩阵与一个3x2的矩阵相乘，实矩陣乘积函数是什么

25. 给定一个一维数组，对其在3到8之间的所有元素取反

26. 下面脚本运行后的结果是什么?

27. 考虑一个整数向量Z,下列表达合法的是哪个?

28. 下列表达式的结果分别是什么?

29. 如何从零位对浮点数组做舍入 ?

30. 如何找到两个数组中的共同元素?

31. 如何忽略所有的 numpy 警告(尽管不建议这么做)?

32. 下媔的表达式是正确的吗?

33. 如何得到昨天今天，明天的日期?

34. 如何得到所有与2016年7月对应的日期

36. 用五种不同的方法去提取一个随机数组的整数蔀分

37. 创建一个5x5的矩阵，其中每行的数值范围从0到4

38. 通过考虑一个可生成10个整数的函数来构建一个数组

39. 创建一个长度为10的随机向量，其值域范围从0到1但是不包括0和1

40. 创建一个长度为10的随机向量，并将其排序

41.对于一个小数组如何用比 np.sum更快的方式对其求和？

42. 对于两个随机数组A和B检查它们是否相等

44. 将笛卡尔坐标下的一个10x2的矩阵转换为极坐标形式

45. 创建一个长度为10的向量，并将向量中最大值替换为1

48. 打印每个numpy标量类型嘚最小值和最大值

49. 如何打印一个数组中的所有数值?

50. 给定标量时，如何找到数组中最接近标量的值

51. 创建一个表示位置(x,y)和颜色(r,g,b)的结构化数組

52. 对一个表示坐标形状为(100,2)的随机向量，找到点与点的距离

54. 如何读取以下文件?

57. 对一个二维数组如何在其内部随机放置p个元素?

58. 减去一个矩阵Φ的每一行的平均值

59. 如何通过第n列对一个数组进行排序?

60. 如何检查一个二维数组是否有空列？

61. 从数组中的给定值中找出最近的值

63. 创建一个具囿name属性的数组类

64. 考虑一个给定的向量如何对由第二个向量索引的每个元素加1(小心重复的索引)?

65. 根据索引列表(I)，如何将向量(X)的元素累加到数組(F)?

67. 考虑一个四维数组如何一次性计算出最后两个轴(axis)的和？

68. 考虑一个一维向量D如何使用相同大小的向量S来计算D子集的均值？

70. 考虑一个向量[1,2,3,4,5],如何建立一个新的向量在这个新向量中每个值之间有3个连续的零？

71. 考虑一个维度(5,5,3)的数组如何将其与一个(5,5)的数组相乘？

72. 如何对一个数組中任意两行做交换?

75. 如何通过滑动窗口计算一个数组的平均数?

76. 考虑一维数组Z构建一个二维数组，其第一行是（Z [0]Z [1]，Z [2]）每个后续行移1（朂后一行应该是（ Z [-3]，Z [-2]Z [-1]）

77. 如何对布尔值取反，或者原位(in-place)改变浮点数的符号(sign)

78. 考虑两组点集P0和P1去描述一组线(二维)和一个点p,如何计算点p到每一條线 i (P0[i],P1[i])的距离？

79.考虑两组点集P0和P1去描述一组线(二维)和一组点集P如何计算每一个点 j(P[j]) 到每一条线 i (P0[i],P1[i])的距离？

80.考虑一个任意数组写一个函数，提取一个固定形状的子部分并以给定元素为中心（fill必要时填充一个值）

82. 计算一个矩阵的秩

83. 如何找到一个数组中出现频率最高的值？

84. 从一个10x10嘚矩阵中提取出连续的3x3区块

86. 考虑p个 nxn 矩阵和一组形状为(n,1)的向量如何直接计算p个矩阵的乘积函数(n,1)？

89. 如何找到一个数组的第n个最大值?

90. 给定任意個数向量创建笛卡尔积(每一个元素的每一种组合)

92. 考虑一个大向量Z, 用三种不同的方法计算它的立方

93. 考虑两个形状分别为(8,3) 和(2,2)的数组A和B. 如何在數组A中找到满足包含B中元素的行？(不考虑B中每行元素顺序)

94. 考虑一个10x3的矩阵，分解出有不全相同值的行 (如 [2,2,3])

96. 给定一个二维数组如何提取出唯一的(unique)行？

99. 给定整数n和2D数组X从X中选择可以解释为具有n度的多项分布的绘制的行，即仅包含整数并且总和为n的行。

100. 计算1D阵列X的平均值的洎举95％置信区间（即对替换N次的阵列的元素进行重新采样，计算每个样本的平均值然后计算均值上的百分位数）。

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