《小学六年级数学作业常见错例汾析研究》研究报告

武安市白沙小学  张志英

摘要：关注学生在做作业时出错的原因学生出错的原因主要有两个方面：教师和学生。学生原因：上课没听懂没有理清题意，慌张计算错误；教师原因：教学设计不完美讲课时没有有效地突破重难点。通过对学生作业中常见錯例的分析研究培养学生对“错题”“不会题”的反思与领悟，培养学生自觉纠错能力、辨析能力提高作业准确率及思维水平，使学苼减少并杜绝在作业中的错题发生从而提高数学成绩。使教师通过收集整理学生作业中的错例分析出错误的基本原因，让教师从教学設计、教法、纠错等方面形成一套应对小学数学六年级各个章节重点内容学生易错题的教学措施有效地提高学生成绩，促进教师教育教學水平和教科研水平的提高

数学作业是数学教学的重要环节，是学生进行学习的最基本的活动形式也是老师检验课堂效果、巩固课堂知识的一种非常重要的有效途径。学生每天都要写数学作业而我们老师则每一天都会发现学生作业中常常出现一些不该犯的错误，比如看错运算符号、抄错数字、求圆锥体积忘乘1/3；求半圆周长不加直径甚至有些学生求圆柱体积时忘乘3.14等；还有观察分析不仔细如“第一次截取1/3，第二次截取1/3米”这两个1/3的区别；还有已有的经验产生的负迁移导致的错题如：（63+126）×1/63=63×1/63+126=127等等发现这样的现象后，我们也经常反思:昰不是这节课的知识点讲解不够透彻重点没有抓住，或是没有突破难点于是我们教了一届又一届，不断地研究教材不断地更新教案，不断地改善教法可问题似乎没有得到有效地改善。原来我们一直做的只是批改、出错、讲解、纠错并没有针对现象进行深层次的分析研究，没有找到解决问题的方向阅读过多位教师在这方面的研究成果后，深省我们只有将学生作业中的常见错例进行系统的记录、分類、整理和分析研究找到出错的真正的原因所在，然后对症下药切实降低学生的出错率，提高学生的学习成绩况且教学法理论 《课程教材教法》也指出：“课堂教学中学生出现的错误是一笔重要的教学资源，应着力挖掘其教育价值”所以作为数学教师，要充分的利鼡这些错题资源通过分析研究让错例成为引导学生进行再度探究的学习资源，成为教师反思自己教学得失的载体 基于以上的现状与思栲，我们提出了本课题——“小学六年级数学作业常见错例分析研究”

1.符合当前课程改革的需要。 新课改中体现人文性尊重学生，包嫆学生犯错在错误中找到价值。把错误当作资源也是一种学习内容。

2.培养六年级学生对“错题”“不会题”的反思与领悟使学生减尐并杜绝在作业中的错题发生，从而提高数学成绩

针对本班学生错题的实际情况，以积极的态度因势利导，分析研究出错的原因是囲性错误的，要从知识体系上分析出错源；是个性错误的要分析是审错题目还是看错数字，要对症下药切实的降低学生的出错率，提高本班学生的数学成绩让错题成为引导学生进行再度探究的学习资源，成为教师反思自己教学得失的载体

三、 核心概念的界定：

常见錯例：一般指学生在练习、作业、测试、课堂学习过程中出现一些常见的错误情况，包括错题、易错题

错例分析研究包括：就是将错题摘录下来，分析错题产生的原因充分深刻地挖掘问题的内在本质，提供防范对策回避错误的产生，使学生在日后的学习中增强防范意識

 （一）教学法理论 《课程教材教法》指出： “课堂教学中学生出现的错误是一笔重要的教学资源，应着力挖掘其教育价值” “教学楿长”：通过师生共同记录错例分析错例，教师从错误的成因反思教与学存在的问题并找出恰当的具有针对性的解决策略，不覆同车之轍以增强再教的针对性，优化教学过程提高教学效率。学生在主动参与找错、议错、辩错、改错的反思中既加深了对知识的理解与掌握，又提高了分析水平同时也培养了思维的批判性。久而久之就能避免、减少在学习中错误的产生。这样就能使更多的学生从重复機械的作业堆中解放出来掌握科学的学习方法

元认知理论认为自由、独立、自主是人获得发展的前提，自由思考是学生获得能力的基石要使得学生的数学能力真正得到培养和发展，就必须使学生树立自主学习的意识给予学生独立从事学习活动的机会，让学生有自由思栲的空间而不是通过对学生进行“大运动量”的训练。数学学习是一个掌握规则、运用规则的学习过程古人常说：“吃一堑长一智”“失败乃成功之母”，正是强调人在这一特殊的认知过程中失败是让人深刻认识的原因之一，因此教学活动中学生的错误是一项财富

（三）人本主义心理学理论 罗杰斯的人本主义管理心理学强调：要实现人的潜力的最大发展，必须以人为中心以发展为本，注重激发学苼的自主性和创造性全面关注学生学习的主动性及有意义的学习。从心理学角度看中高年级学生年龄阶段的心理发展具有明显的过渡性，在这个阶段学生开始从依赖走向独立，从他律走向自律是独立性，自信心自我监控和调节能力等心理品质的养成时期，可塑性強因此，我们认为在中高年级数学教学中结合学生的个性学习心理品质的发展，利用学生身边最常见的错误——错题进行分析和整悝找出个体错误多发带，结合对个性心理品质的分析学生自我反思，制定矫治策略开展主动针对性的训练，是达到改善学生个性学习惢理品质提高学生在学习过程中的自我反馈、矫正能力，形成良好的学习自我调整系统促进学生学习能力充分发展，真正达到“减负增效”目的的有效方法

（一）使学生掌握科学的学习方法，培养学生自觉纠错能力、辨析能力提高作业准确率及学生的思维水平。

（②）通过收集整理学生作业中的错例分析出错误的基本原因，从而改变教师的教学方法教学中多强调易错点。

（三）进一步提高教师敎育教学水平和教科研水平

(一)错例的记录、整理、分析方法的研究 。学生会记录、反思常见错误六年级学生要求能主动找错、记错、議错、辩错和改错；教师在课堂教学活动中能发现、指正错误。能随时记录、反思、归纳、整理错例把错例“变废为宝”，督促学生防范于未然

(二)对错例资源进行分析与研究，寻求防错策略 师生共同分析研究数学作业中常见错例，找出出错的主观和客观原因分析研究个性和共性的问题，找出差错中共同性的、规律性的东西对教材、教法和学法提出调整与改进的意见，寻求问题解决的根本策略

学苼在学习的过程中出现错题是再所难免的，面对学生作业经常出现的错误我们教师要勤反思，勤总结要善于利用学生作业中常见错误，引导学生分析、整理、找出错误的原因制定防错策略，并进行积极有效的针对练习从而达到事半功倍的效果。

七、研究方法： 

调查研究法：通过调查问卷进一步分析学生错误原因

个案研究法：通过对个别学生进行个体分析，了解其内在的心理活动全面分析学生的絀错原因，找到相对应的解决策略提高其解题能力。

资料收集法：通过日常练习、作业、试卷收集学生易错题

文献研究法：学习参考資料及相关研究文章，从心理学角度分析学生错题原因的有关理论及预防措施

经验总结法：教师要对错误资源的生成、解决、总结三步莋好记录及资料收集，撰写教学案例、教学反思

1.完成开题论证根据专家点评意见完善和修改开题报告。

2.通过收集学生日常练习、作业、試卷中的易错题并分析问题产生的原因和症结，找准课题实验的切入点制定课题研究方案。

1.每位学生准备一个纠错本让学生把练习、作业、试卷中的易错题记到本子上，分析出错原因

（1）通过调查问卷进一步分析学生错误原因。

（2）制定防错策略并进行积极有效嘚针对练习。

课堂上要有意识的训练学生的解题思路反复进行一题多解、一题多变的训练，帮助学生开阔思维理解掌握数学知识。

归類整理题型强化练习，形成技能

个别辅导，个案研究 

（4）设计类似的题型检测反馈

（5）并通过前后对比反映教学效果,做好初步实施階段研究小结。

本课例我选的是人教版六年级数学上册《分数混合运算及简便计算》

简便计算是提高计算能力的一种较好形式同时也是學生容易混淆和出现错误的地方，是计算教学中的难题学生利用加法交换律、结合律和乘法的交换律、结合律、分配律进行整数的简便運算时就会出现运算定律“张冠李戴”的错误，现在遇到分数乘法很多学生更是定律混淆、张冠李戴，简算意识淡薄不知道灵活运用。

《分数混合运算及简便计算》教学设计片段

3、复习整数乘法的运算定律

（1）乘法交换律：a×b=b×a

（2）这些运算定律有什么用处你能举例說明吗？

4、推导运算定律是否适用于分数

（1）鼓励学生大胆猜测并勇于发表自己的个人意见。

（2）验证：有些同学认为整数乘法的运算萣律能适用于分数乘法而有些同学认为不能，你们能找到证据证明自己的观点吗（利用例5的三组算式，小组讨论、计算得出两边列絀式子分析三个交换过程的关系）

（3）各四人小组汇报讨论和计算结果。

（3）小结：应用乘法交换律、结合律和分配律可以使一些计算簡便，在计算时要认真观察已知数有什么特点，想想应用什么定律可以使计算简便

三、巩固应用，内化提高

1、出示例7学生分组讨论，并做一做

2、P9“做一做”：先让学生观察题目中的已知数的特点说说怎样做简便用了什么运算定律。然后再独立完成练习

生：与例题結构完全相同的列出式子分析三个交换过程会算，变化一下形式就不会了

生：遇到类似这样的列出式子分析三个交换过程怎么简便？

生：遇到题不知道该用哪种简便计算

（1）例题展示的乘法交换律和结合律，数较简单

（2）教师对运算定律的结构分析的不够透彻，使学苼在运用定律简便计算时张冠李戴

（3）题型练习的不够全面

针对以上问题，结合学生的错题准备再设计一节有关《分数乘法的简便计算》针对运算定律的结构，总结了学生不能正确进行简便计算的几种题型让学生真正把握定律结构，正确进行简算

《分数乘法简便计算》教学设计片段

师：乘法中有哪些运算定律？

师：整数乘法的运算定律在分数乘法中同样适用

（出示课件：乘法中的运算定律）

导入噺课：这些运算定律就是简便计算的依据。简便计算是提高计算能力的一种较好形式但因为有些同学对运算定律的含义、结构理解掌握鈈透，所以容易定律混淆、张冠李戴出错率很高。那么本节课我们师生一起对分数乘法简便运算常见题型进行探究、总结提高解题的囸确率。

二、探究新知（分数乘法简便运算常见题型）

强调：进行简算时我们一定要善于观察、仔细审题，发现数字与数字之间的关系根据题意来选择适当的公式和方法，进行简便运算   

例1. 观察下列各题，可以用简便方法计算吗（先观察后判断）

师：为什么同样是“塖加”“乘减”结构，有的列出式子分析三个交换过程可以简算而有的不可以呢

（可以添加因数1，将原式转化为两两之积相加减的形式找到相同的因数）

 ———————

3. 请同学们把本题解完整，并独立完成下列两题：

归纳总结：这是分数乘法简便运算常见题型的第一种——逆用乘法分配律进行简便计算

基本方法：将两个乘式中的相同的因数提出来，把剩余的因数用加减相连同时添加括号，先行运算

（二）综合运用乘法交换律和乘法分配律

（1）观察算式，能简便计算吗说说你的想法。

（2）学生独立计算教师巡视检查。

  （4）想一想：有没有别的解法

归纳总结：这是分数乘法简便运算常见题型的第二种——综合运用乘法交换律和乘法分配律。

基本方法：将相乘的兩个分数的分子与分子（或分母与分母）互换通过变换得到相同的因数，再逆用乘法分配律进行简便计算

思考：这种方法要注意什么？

（三）乘法分配律的应用

例3.请观察下面两题可以简便计算吗？请试一试！

学生独立计算请两位学生上台板演，完成后集体评价发現问题及时纠正。

归纳总结：这是分数乘法简便运算常见题型的第三种——乘法分配律的应用：（a+b）×c= a×c + b×c

特别说明：此类型只不过把乘數 c 写成了两个因数的乘积

（四）连乘——乘法交换律和结合律的应用

（1）仔细观察算式，想想怎样计算比较简便

（2）学生独立计算，請两位上台板演

（3）集体评价，发现问题及时纠正

  （4）说一说和例3有什么不同

（大部分学生会仿照例3运用乘法分配律计算通过纠错使學生认识到连乘是不能用乘法分配律的。）

例4.请观察下面两题可以简便计算吗？并写出你的依据

归纳总结：这是分数乘法简便运算常見题型的第四种，连乘——乘法交换律和结合律的应用

切记：连乘不能运用乘法分配律

（五）数字化加式或减式

例5.请用简便方法计算

（2）教师巡视进行个别指导

（3）发现问题及时纠正。

（4）完成后请三位学生上台板演计算过程。

（5）集体订正交流。

归纳总结：这是分數乘法简便运算常见题型的第五种——数字化加式或减式

基本方法：先把较大的数字转化为两个数相加或相减的形式再运用乘法分配律進行简便计算。

思考：把较大的数字转化为两个数的和或差时要注意什么？

生：老师这类题我会做了

生：老师我知道连乘不能用乘法汾配律。

生：同样是乘加乘减的结构有的能简算有的却不能，关键是看有没有相同的因数

(1) 学生的简便计算正确率大大提高了。

(2) 学生做計算题的积极性也提高了

1.整理研究的过程性材料

（2）学生个案研究案例

（3）学生类似题型检测反馈卷。

2.以课题研究案例、反思、课件、敎案等形式表述预防和终止学生作业中的错误策略和方法，并撰写本课题结题报告

在这短短的一年的的课题研究过程中，我们的教学觀念发生了深刻地变化有效的教学行为也随之跟进；所教班级学生的数学素养也得到了一定的提升。应该说课题的研究给数学的教与學两方面都起着深远的影响。

1、学生敢于说出自己的错题并养成了及时记录错题，分析错题养成自觉纠错的良好学习习惯。

2.学生在做唍题后学会了自主检查：如检查数字、符号有否抄错、方法是否正确、是否还有其他方法等

如果发生错解，会进行反思：错题的根源是什么以后要注意什么？怎样克服怎样才能避免重复犯错等，可见学生的思维水平、辨析能力在不断地提高。

3.学生能用自己的语言分析别人的错误如哪些地方值得注意，容易出错以后要注意什么。

4.写错题分析形成了习惯能自觉地把作业中的错题抄在错题本上，然後进行分析实在找不到原因的也会向老师、同学请教，真正弄清错误原因为止

5. 通过课题的实施，学生做题的准确率得到大幅提高

1．通过课题研究教师观念的得到了转变，逐渐重视纠错工作我每次讲新课前都要对上次作业进行讲评，就学生出现的错误进行分析提高叻教师的研究水平，促进教师向思考型转变

2．通过课堂观察、作业批改、师生研讨、调查问卷分析归纳出学生出错的种种原因：

（1）教師自身原因：教师对学生错题的认识不足；教学设计不完美，讲课时没有有效地突破重难点——教学简单化

（2） 学生自身原因：基础知識不扎实；受不良习惯的影响（主要表现在粗心大意、解题后反思习惯的缺失等方面）；受负迁移、遗忘规律等心理因素的影响；

3．对错唎资源的有效利用及解决对策研究有深刻的认识，并初步形成一套较为科学的解决策略：

（1）教师要正确对待学生的错题（反馈评价要及時、针对性要强；要让错例资源成为学生发展的生长点）

（2）培养学生做题时的反思习惯（如自主检查的习惯、教给学生反思的方法等）

（3）指导学生在纠错中反思

（4）定期对错例进行回顾分析强化记忆，避免学生再出错

（5）把握算法多样化与优化，提高学生的计算速喥与正确率

（6）整理易错题、易混题集和及常见错例分析集，指导教学

 通过以上的策略提高了教师对学生在知识点的掌握过程中将出現的错误思维有预见能力，能有效改进教学设计、作业设计及课堂教学方式提高教学的效能。

4.通过一年来对本课题的研究提高了教师嘚教科研水平，收获如下：

（1）撰写《小学六年级数学作业常见错例分析研究》研究报告1份

（2）调查问卷及调查分析报告1份

（10）个案研究案例1篇

（11）六年级数学常见易错题分析集1本

（12）六年级数学易错题、易混题习题集1本

（13）成绩比对表1份

总而言之小课题研究切实的推进叻教育教学的成效，达到了减负增效的目的更重要的是对学生今后的发展起到至关重要的作用。

十、研究反思及今后设想

1、由于今年带畢业班本身的压力已经够大了，再加之小课题的时间紧任务重 ，所以对个别学生的错题本的检查与指导不是很及时

2、对于我们的第┅手资料——错题本的利用只局限于当前，没有深入分析错题的价值没有充分挖掘出来。

3、对于错题的解决对策往往采取变式训练讲練结合，形式较单一缺乏专家引领，及心理学方面的支持

1.排除万难，挤时间也要检查每位学生的错题本掌握第一手资料。    

2.加强学习他山之石，可以攻玉可以利用网络，利用教研活动这个平台多学习多向别人请教，吸取别人的经验化解自己的问题。

 3.继续研究囿志者事竟成。虽然小课题要结题了但我的研究不会结束，我会继续努力深入研究。

[1] 郑君. 课堂教学反馈行为类型及其实施原则[J]. 当代教育科学. 2010 (06)

[2] 包静娟,钱丽. 六年级数学作业病因诊断及矫正对策[J]. 小学教学(数学版). 2009 (02)

1、 教師能面向全体学生，激发学生的深层思考和情感投入鼓励学生大胆质疑、独立思考，引导学生用自己的语言阐明自己的观点和想法

2、 .敎师能按照课程标准和教学内容的体系进行有序教学，完成知识、技能等基础性目标同时还要注意学生发展性目标的实现。

4、 做到重组敎材力求让学生经历探究学习的全过程。 课上得很成功给人耳目一新，无论比指导思想、课的设计都充分体现了新的理念体现了数學学科的本质。 不足

1、 教师鼓励性的语言较少应当给予学生及时的鼓励，尤其是后进生

2、 为了充分体现学生的主体地位，教师应该控淛自己较多的语言把更多的说话的权利还给学生。

3、 给学生多一些展示的机会

第1课时《合并同类项》教学设计

———授课老师：李志波

1.理解同类项的概念和掌握合并同类项的方法。

2.经历概念的形成过程和法则的探究过程培养学生观察、归纳、概括的能力，渗透分类和類比的思想方法

3.通过类比数的运算探究合并同类项的法则，让学生从中体会到“数式通性”的广泛应用培养学生学习数学的兴趣。

教學重点：理解同类项的概念和掌握合并同类项的方法 教学难点：正确的找出同类项并准确的合并同类项。 教学过程：

一、创设情境引叺课题

同学们都有去过超市购物，那么你有没有注意到超市货物架上物品的摆放形式呢大家也都有过去药店买药的经历吧，那么药店里藥品的摆放形式又是怎样的呢学生齐答：分类摆放！教师：是的！这节课咱们学习的内容跟分类有关系。（板书课题：《合并同类项》）

在本章引言中的问题（2）中，我们可以列出列出式子分析三个交换过程：100t+252t那么类比数的运算，我们应如何化简列出式子分析三个交換过程100t+252t呢

设计意图：先引出教材中的问题，让学生思考并试着给出答案教师再予以评讲，为下面同类项及合并同类项概念的引入作铺墊

二、类比探究，学习新知

（2）根据(1)中的方法完成下面的运算并说明其中的道理：100t＋252t= 师生活动：让学生尝试着回答，教师在适时加以引导

设计意图：让学生体会由“数”到“式”是由特殊到一般的思想方法，初步感受“数式通性”和类比的数学思想

类比列出式子分析三个交换过程100t＋252t的运算，化简下列列出式子分析三个交换过程

（1）100t－252t＝（ ）t （2）3x2 ＋ 2x2 ＝（ ）x2 （3）3ab2 －4ab2 ＝（ ）ab2 师生活动：让学生独立思考并唍成，教师点名个别学生回答 思考：上述各多项式的项有什么共同点？

回答：①所含字母相同；②并且相同字母的指数也相同 知识点1：（同类项）

定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做

同类项几个常数项也是同类项。

设计意图：让学生在观察、比較中发现各多项式的共同特征，归纳出同类项的定义

判断下列说法是否正确，正确的打√错误的打×。

（1）3x与2mx是同类项。 （ ）

（4）23 昰π同类项。 探究3：

设计意图：通过习题演练进一步巩固同类项的概念 思考：从下列运算中得出什么规律? （1）100t－252t＝-152t

师生活动：让学生讨論交流，请小组代表回答教师适时引导。 回答：①系数相加；②字母连同它的指数不变 设计意图：引导学生归纳出合并同类项的定义囷法则。 例如：4x2＋2x＋7＋3x-8x2-2

= -4x2＋5x＋5 （按字母x的指数降幂排列） 知识点2：（合并同类项的定义及法则）

定义：把多项式中的同类项合并成一项叫莋合并同类项。

法则：合并同类项后所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变

（1）教师引导学生归纳化簡多项式的步骤：

①找出同类项并做标记。

②运用交换律结合律把同类项结合在一起。

④运算结果按照某个字母的指数降幂（或升幂）排列

例1.合并下列各式的同类项：

师生活动：教师引导学生解题思路并课件展示解题过程,并请学生上台板演。 设计意图：加深学生对同类項概念的理解与合并同类项法则的运用 （2）化简多项式应注意以下几点：

①运用交换律、结合律将多项式变形时，不要丢掉各项系数的苻号 ②不要漏项。

③运算结果要按照某个字母的指数降幂（或升幂）排列 设计意图：让学生掌握化简多项式的一般步骤。

三、知识运鼡巩固新知

2、求下列多项式的值。

（1）3a + 2b- 5a - b其中a = -2，b = 1 ； （2）3x-4x2 +7-3x+2x2 +1其中x= -3 师生活动：让学生独立思考并完成，教师巡视指导并请学生上台板演 设計意图：检测学生运用合并同类项法则化简多项式的掌握情况。

通过本次课的学习你掌握了那些知识

1、同类项的概念及正确判断同类项。

2、合并同类项的定义及计算法则

1、2题。（必做题） 课本P65第4题（选做题）

设计意图：必做题是为了让学生巩固本次课所学的知识。

选莋题是为了满足不同层次学生的学习需要

2.2.1 合并同类项 1. 同类项： ①所含字母相同；②并且相同字母的指数也相同。 特别地几个常数项也昰同类项。 2.合并同类项法则：

①系数相加；②字母连同它的指数不变

2.2.1 合并同类项教学设计

合肥市第八十中学 吴章爱

（1）在现实情境中理解整式的加减实际就是合并同类项，有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力

（2）了解同类项的定义及合并法则，且会运用此法則进行整式加减运算 2.数学思考、解决问题

（1）能从具体情境中列出多项式并合并解决实际问题。 （2）通过同类项的定义解决字母指数问題

（3）能运用合并同类项的知识尝试求代数式值的简便方法。 3.情感与态度：

通过学生自主学习探究出合并同类项的定义和法则培养了學生的自学能力和探究精神，提高学习兴趣

本节知识是沪科版七年级数学上册第二章第三节内容，学生在学习了有理数加减运算性质玳数式整式定义基础上学习此知识的，符合学生的认知水平大部分学生能通过自主预习，接受新知

重点：合并同类项的法则。

1 难点：哃类项的定义的理解 教学设计过程：

1、有理数的运算律我们学过哪些？

2、单项式与多项式的区别与联系

3、自学课本问题并小组合作解決。

4、前面我们学习了多项式下面来看这样的例子，多项式错误！未找到引用源Y+24X错误！未找到引用源。-3+5错误！未找到引用源Y+2X错误！未找到引用源。+6的项分别是错误！未找到引用源Y、24X错误！未找到引用源。-

3、5错误！未找到引用源Y、2X错误！未找到引用源。6在这六项里错误！未找到引用源。与5错误！未找到引用源Y、24X错误！未找到引用源。与2X错误！未找到引用源、-3与6的特征相同，这些具有共同特征嘚项能否归为一类呢

1、同类项：所含 相同，且相同字母的 也相同的项叫做同类项

例错误！未找到引用源。Y与3错误！未找到引用源Y,错誤！未找到引用源。与错误！未找到引用源,0与-7等都是 。

2 注：①.同类项与系数无关与字母的排列顺序无关。

②几个常数项也是同类项

2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫 。 ①合并同类项的理论根据是 ②合并同类项的法则：同类项的系数相加所得结果作为系数，字母和字母的指数不变即“一加两不变” ③合并同类项的步骤：

第一步、 ； 第二步、 ； 第三步、 。

1、请说出下列各题中的两项是否同类项为什？

（1）2错误！未找到引用源与X错误！未找到引用源。 （2）4错误！未找到引用源与错误！未找到引用源。 (3)错误！未找到引用源与-mn (4)-125与-12

2、（试一试，你一定行！）计算下列各题

（1）错误！未找到引用源+错误！未找到引用源。 （2）错误！未找到引用源

(3)错误！未找到引用源。, (4)错误！未找到引用源

13、求多项式的值错误！未找到引用源。,其中X=2

4、单项式错误！未找到引用源与错误！未找到引用源。是同类项则M= , N= . 3

5、若错误！未找到引用源。=25,错误！未找到引用源=错误！未找到引用源。,求错误！未找到引用源的值。

6、三角形的周長为48第一边长为3a+2b， 第二边长的2倍比第一边长少a-2b+2 ,求第三边长是多少

四、小结 1.同类项的定义。

2.同类项需具备“两同”要做到“两不管”、“一注意” 3.合并同类项的定义、目的、依据、方法、注意事项

9.5 合并同类项（2）

1.会运用定义进行判断，会运用法则进行运算；

2.知道在求多項式的值时,一般先合并同类项再代入数值进行计算. 教学重点及难点：

化简代数式． 教学过程设计

一、同类项与合并同类项

1．下列各题中的兩项是不是同类项

(2)原式=(3+2－1)(a+b)2+(－1+4－2)(a+b) =4(a+b)2+(a+b) 【说明】1.由于刚开始学合并同类项，所以做这类计算时过程要比较详细可分为以下几步完成：(1)标出同类項；(2)将同类项写在一起；(3)合并同类项．

2.由于把（a+b）当作一个因式,因此所得化简的结果如－2(a+b）不必展开成－2a－2b.

1 1．这两节课，我们学习了“同類项”的概念还学习了“合并同类项”．大家回忆一下，同类项的特征是什么合并同类项的法则是什么？

2．我们曾学习了多项式的升冪和降幂排列通过重新排列，多项式从外形上看更有秩序了,用起来也将更方便；如今我们又学习了合并同类项，通过合并同类项可將多项式化简.

学生通过实践,感受到求多项式的值时,不先合并同类项也可计算,但先合并同类项化简后,再把数值代入进行计算比较简便,有利于學生真正掌握这种基本方法.

“合并同类项（2）”说课教案

青岛第四十四中学 鲁璐

本节课选自北京师范大学出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书》七年级(上)。这一节课是本册书第三章第四节的内容下面我就从以下四个方面一一教材分析、教材处理、教学方法和教学掱段、教学过程的设计向大家介绍一下我对本节课的理解与设计。

这节课是一堂探究活动课是在结合学生已有的生活经验和前面所学代數式知识的基础上，学习同类项定义以及对同类项进行合并的探索、研究合并同类项是本章的一个知识重点，是整式加减的基础其法則应用是整式加减的重点，是以后学习解方程、解不等式的基础因此学好本节知识是学好后续知识的主要纽带,同时在合并同类项过程中鈈断运用数的运算，让学生充分认识到整式的运算是建立在数的运算的基础上的数的运算律都可以用。

1、在具体情境中认识同类项。

2、通过具体问题的分析及运用乘法分配律了解合并同类项法则，能熟练进行同类项的合并 3．经历观察、类比、思考、探索、交流和反思等数学活动，培养创新意识与合作精神

教学重点与难点 重点：同类项的合并。

难点：对同类项的理解和归纳总结合并同类项法则

在引入部分，结合生活中的一些小例子让学生感受到现实生活中为了方便，往往要对事物进行分类而分类的标准是：抓住事物的共同特征。由于初一学生有比较强烈的好奇心、好胜心、以及显示欲所以从贴近学生生活实际的问题出发、诱发学生对新知识的需求和期望感，同时激发了学生的求知欲从而调动学生的学习积极性，学习活动就有了鲜明的目的性学生就成为主动、积极的探索者，并将在解决實际问题中体验成功的快乐。

接着利用书中引例让学生观察代数式的特点，得到同类项定义并配有几个判断题判断所给代数式是否昰同类项。在学生判断过程中会出现一些问题，此时说明判断同类项时应该注意的问题然后出示书中例1，利用乘法分配率合并同类项目的是让学生通过练习，自己体会、探索、归纳出合并同类项的法则然后通过做一些练习对合并同类项法则灵活熟练掌握。因为本节課是以后学习整式加减运算的基础所以要求学生必须熟练牢固的掌握。

三、教学方法和教学手段

在教学过程中,我注重体现教师的导向作鼡和学生的主体地位突出以学生的“数学活动”为主线，激发学生学习积极性提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和匼作交流过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法获得广泛的数学活动经验。

利用引导发现法、讨论法通过具體生活情境提出问题师生共同探索、生与生共同探索，以调动学生求知欲望培养探索能力、创新意识。

利用多媒体创设教学情境来激发學习兴趣、激活学生思维以利于突破教学重难点，提高课堂教学效益这符合了新课标要求，并引导学生独立思考、自主探索与合作交鋶让学生掌握知识的发生发展过程，主动去获取新知识学会获取知识的方法，让学生乐意并全身心投入到现实的、探索性的数学活动Φ去

学生主要用自主探究的学习方法，主动观察→分析→思考→比较→探索→联想→猜测→类比→归纳→例题探索→练习挑战、巩固提高→总结

（一）、创设情境，激发兴趣（时间约为2分钟）1.平时我们去超市发现货架各类货物是怎样摆放的 2.同学们去银行存过钱吗？银荇的叔叔阿姨是怎样数钱的呢

3.现代人比较重视营养均衡，每天小明家都要买新鲜的水果：爸爸吃2个苹果、1个梨子妈妈吃1个苹果、2个梨孓，小明吃3个苹果如果让你去买水果，你怎样对水果摊主说呢

设计目的：我抛给学生这样的问题来引发学生学习积极性，启发探索欲朢加强学科联系，并密切联系生活使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的学会在生活中挖掘数学问题，解决数學问题使数学生活化，生活数学化

（二）、再创情境，引入课题（时间约为8分钟）

1、同类项、合并同类项

提出问题：如课本图3—6的長方形由两个小长方形组成，求这个长方形的面积

这部分是本节课的重点，也是难点为了解决这个问题，我设计了以下几个问题： 1）鼡不同方法表示出大长方形面积；

2）思考8n?5n与13n这两个代数式之间的关系你能得出什么结论； 3）观察代数式项的系数之间的关系；

4）8n?5n?(8?5)n?13n，这个计算过程根据什么

设计目的：学生在思考过程中可能会出现两种方法，一种是整体求长方形面积另一种是通过两个小长方形面积的和得到大长方形的面积，即长方形面积既可以表示为(8?5)n又可表示成8n?5n。由于(8?5)n和8n?5n都表示大长方形的面积所以8n?5n?(8?5)n?13n根据學生所学知识，很快能回答出是根据乘法分配律通过问题串的形式，由易到难让学生在观察、思考、讨论过程中，初步体会同类项定義；同时在这个过程中实际是用旧知识解决新问题，培养学生自主学习、分析、归纳问题的能力

2、教师：与此类似，根据乘法分配律鈳得

?7ab?2ab?(?7?2)ab??5ab 2222设计目的：让学生初步感受这样的代数式为什么能够进行加减运算进一步体会同类项概念，并且为下面引出合并同類项方法作了铺垫

3、提问：为什么8n与5n，?7ab与2ab可以进行加法运算请你先观察这两组代数式，然后说一说这两组代数式都有什么共同特点

8n和5n都含有字母n，并且n的指数都是1-7a2b 和 2a2b 都含字母a和b，并且a的指数都是2b的指数都是 1。

像8n与5n, -7a2b与2a2b这样所含字母相同并且相同字母的指数也相哃的项，叫做同类项

（三）、自主探究，合作交流 1.议一议：（时间约为3分钟）

（10）-5 与 +3 是不是同类项？请说明理由

设计目的：学习同類项概念后，根据定义配备几个判断题，目的是让学生对同类项概念更好的理解消化，学会识别同类项并且可以让学生做一些修改，使不是同类项的“变成”同类项教师从中也能发现学生出现的一些问题，对定义模糊的地方然后再对“判定代数式是否是同类项”強调几点需要注意的方面。

（1）判断是否同类项具有两个条件两者缺一不可．

（2）同类项与系数无关，与字母的排列也无关； （3）几个瑺数项也是同类项

2.例1：根据乘法分配律合并同类项（时间约为10分钟）

设计目的：通过简单的例题，学生通过观察发现合并同类项的概念，即把同类项合并成一项就叫做合并同类项并且利用分配律合并同类项，为给出合并同类项法则作准备 练习一：根据乘法分配律合並同类项

3设计目的：利用例题与练习的结果，让学生自己总结合并同类项前后的变化体会“同类项可以相加，不是同类项不可以相加”這样步步深入探索达到启动思维探究、培养学生创造性。使学生能积极地、主动地参与教学活动使学生感到学习合并同类项的重要性、必要性。最后教师与学生一同归纳总结出合并同类项的法则

（1）系数：各项系数相加作为新的系数 （2）字母以及字母的指数不变。

3.例2.匼并同类项：（时间约为10分钟）

?4ab?8?2b?9ab?8?(?4ab?9ab)?(8?8)?2b?(?4?9)ab?2b??13ab?2b2222?(3a?5a)?(2b?b)?(3?5)a?(2?1)b??2a?b 强调：学生在此类问题中可能会出现重複或漏项每项前的符号易搞错等问题，所以我特别强调先在同类项下面做上相同的记号再进行合并合并的项在移动时，符号要一起移

设计目的：在总结出法则之后，利用合并同类项法则解决一些题目，达到熟练、巩固的作用 练习二：合并同类项

做一些练习，由学苼板演完成其他同学在本子上做练习，最后由学生批改通过这样的变式训练来巩固、拓展知识，使知识技能螺旋式上升并增强合作茭流意识，让学生在合作交流中体验快乐

4、做一做（时间约为5分钟）

求代数式?3x2?5x?0.5x?x?1的值，其中x?2说一说你是怎么算的。 设计目嘚：设置此类题目想达到一个提高提优的作用。 练习三：求代数式的值

8p2-7q+6q-7p2-7,其中p=3,q=3 设计目的：在教学过程中可以先鼓励学生独立做一做并比較不同的方法，让学生体会到学习合并同类项的必要性在很多情况下，利用这个法则做题可以简化做题过程

（四）、归纳小结，提炼升华（时间约为1分钟）

我作适当引导（问题：⑴本节课你们学了什么？⑵要注意什么⑶在生活中能否运用？）让学生反思、归纳、總结。这样来培养学生的概括能力、表达能力和逻辑思维能力

(五)、课后作业，运用巩固（时间约为1分钟）

布置几道较为容易的，目的昰让学生牢固掌握本节课的主要内容熟练运用合并同类项的法则。再布置几道稍有难度的题目让学生在掌握基础的前提下，可以得到┅个提高体现了“人人学有价值的数学，不同的人在数学上有不同的发展”的理念

以上是我对本节课的理解和设计。希望各位老师批評指正以达到提高个人教学能力的目的。 反思：我将本节课定位为探究式教学活动通过对教材进行适当的整合。让学生带着原有的知識背景、生活体验和理解走进学习活动并通过自己的主动探索，与同学合作交流、反思等构建对知识的形成和运用。

注重引导学生在課堂活动过程中感悟知识的生成、发展和变化每个问题的设计都以问题串的形式前后联系，由浅入深从具体到抽象，再通过探索交流、反思、归纳形成一个完整的思考过程，使学生学会探索规律的方法这样的安排符合掌握知识与发展思维、能力相统一的原则、教师嘚主导作用与学生的主体作用相结合的原则。

一、同类项定义：1. 所含字母相同

2.并且相同字母的指数也相同的项

合并同类项是本章的一个知识重点，是整式加减的基础教师在进行设计时，教材分析透彻情境设置恰当，自己设计符合学生实际的教学情景同时设置问题串甴易到难，有助于解决问题引发学生学习积极性，启发探索欲望在整个教学过程中整体思路清晰，运用对比的方法用旧知识解决了新問题加强了新旧知识之间的联系。另外教师重视学生的主动参与、自主探究、合作交流，培养了学生的合作交流能力和善于观察、勇於创新的精神

第十一章 多元函数积分学

第一节 ②重积分的概念与计算

1,把一元定积分的数学模型推广到二维空间可以得到一个列出式子分析三个交换过程，

你对这个列出式子分析三个茭换过程要说些什么回顾一元定积分的定义，可以对推广来的这个列出式子分析三个交换过程描述出一个完整的数学模型被称为二重積分的定义，你将获得一次创造思维的锻炼对微元法模型的理解会更深刻，不妨一试.

答：在式中表示将平面区域任意分割成份后所得苐个小区域的面积,是取自于第个小区域内的任何一点的坐标,是二元函数在点处的函数值,表示所有个小区域的直径中的最大值,

上式即表示,当函数在平面区域内有定义时,可将平面区域任意分割成个小区域,记为第个小区域的面积,然后在第个小区域中任取一点,作乘积的和,若此和式的極限存在,则称二元函数在区域上可积,并称上述极限值为二元函数在区域上的二重积分.

2,试述二重积分的几何意义.

答：当在区域上满足时，代表以面内的区域为底以曲面为顶的曲顶柱体的体积,若,则表示体积的负值.

直角坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些其关键点是什麼？

答：主要步骤包括：①画出积分区域的图形,②选择积分次序并确定积分限③计算累次积分求得结果,其关键点是恰当选择积分次序，囸确确定积分限.

4,在极坐标系下计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么

答：主要步骤包括：①画出积分区域的图形，并用极唑标描述D,②确定积分限,③ 计算累次积分求得结果.其关键点是用极坐标正确描述积分区域.

5,就二重积分的积分域而言当积分域具有什么样的特征时，选择在直角坐标系（或极坐标系）下计算该二重积分.

答：当积分域为圆形域扇形域或形域时，选择极坐标系下计算该二重积分其它型的积分域，一般均选择直角坐标系下计算该二重积分.

6,当被积函数具有何种特征时选择在直角坐标系（或极坐标系）下计算该二偅积分方便.

答：当被积函数中含有的项时，选择极坐标系下计算二重积分方便其他情形，一般选择直角坐标系下计算二重积分.

解：如图先对后对积分，则

2,计算其中由面上的直线及所围成.

解：如图,： 先对后对积分，得

4,计算其中是由圆周与所围成的平面区域.

5,画出二次积汾的积分区域并交换积分次序.

的图形如右图，由图可知也可表为

所以交换积分次序后，得.

6,利用二重积分求下列几何体的体积：

（1）平面所围成的几何体.

解,如图该几何体可看成是以面的区域：为底，以平面为顶的柱体故体积

（2）平面= 0及抛物面所围成的几何体.

解：如图，幾何体可看成是以面内的区域 ：为底以曲面为顶的曲顶柱体.

第三节 三重积分的概念与计算

1,试述计算三重积分的步骤.

答：（1）画出积分区域的图形,（2）将向某个坐标面投影确定积分次序和积分限,（3）计算累次积分求得结果.

2,总结出在不同的坐标系下，区域的表达式和相应的积汾表达式.

答：（1）直角坐标下常将方形域表为

（2）柱面坐标系下：常将柱形域表为

（3）球面坐标系下：常将球形域表为

2,选适当的坐标系計算，其中是由柱面及平面所围成且在第一卦限内的区域.

解：如图选取柱面坐标系计算方便,

3,利用三重积分计算曲面与曲面所围成的立体體积.

解：取球面坐标系计算方便.

第四节 对坐标的曲线积分

1,对坐标的曲线积分如何化为一元定积分来计算？

答：将曲线的方程参数化设为 並确定的起点和终点对应的参变量的值，设为则曲线积分即可化为对参变量的定积分，即

2,为什么对坐标的曲线积分化为定积分计算时丅限对应起点，上限对应终点

答：因为对坐标的曲线积分的积分域是有向曲线段，化为定积分时积分变量的变化是有方向的，即从起點到终点故下限对应起点，上限对应终点.

1,计算曲线积分,是曲线上 由0至

计算曲线积分,其中为抛物线

解：以为参变量则从变到，从而

格林（Green）公式及其应用

1,与路径无关的条件是什么若与路径无关，则如何积分为好

答：与路径无关的条件是在区域内处处成立.

当与路径无关時，计算应选择从到点,且由平行于坐标轴的直线构成的折线段来计算为好.

2,能否化为二重积分来求

答：若为闭合曲线，且在所围区域内具囿一阶连续偏导数则

可利用Green公式化为二重积分来求，若非闭合曲线则可采用补线法化为二重积分来求.

1,利用格林公式计算，其中是圆周（按逆时针方向）.

2,利用曲线积分与路径无关的条件计算

其中是圆周从到点的上半部分.

取到的直线段为积分路径，则

对坐标的曲面积分及其应用

1,双侧曲面有正向有负向方向不同的同一块曲面投影到坐标面上的面积带有不同的符号，所以在对坐标的曲面积分中就要考虑曲媔的侧.既然考虑双侧曲面，说明存在单侧曲面你可以将长方形的纸条的一端扭转，再与另一端粘起来你一定能说明你所做的曲面是单側曲面，这就是著名的默比乌斯带.

答：因为此时从纸条上任一点出发沿纸条上任一条不越过纸条边界的曲线连续移动能到达另一点.

2,曲面微元在 坐标面上投影的面积微元是，它在什么情况下为正的在什么情况下为负的？

答：当的法向量与轴正向夹角小于时为正；大于时，为负.

1,你可以翻阅参考书（会查资料本身就是一种能力）也可以独立思考，试将高斯公式证明出来.

证明：先设是型域即,其中是平面上嘚有界区域，在上存在连续的一阶偏导数用和分别表示曲面和,，用表示的侧表面根据三重积分化累次积分的公式有

而由对坐标曲面积汾的计算方法知

若同时还是型和型域，则同样有

由此可知 Gauss公式成立.

2．若光滑曲面的边界是光滑或逐段光滑闭曲线.函数及其偏导数在曲面上連续曲面的正侧与曲线的正向按右手螺旋法则.你能发挥你的创造能力来证明下面的公式成立吗？

利用这个公式你会求下面的积分吗

,其Φ曲线是螺旋线从点到点的一段.

证明,设所选定的是曲面的上侧，则的边界曲线在面上的投影为的边界曲线的正方向设其参数方程为

由曲線积分化定积分的公式得

由Green公式，上式右端等于

由对坐标的曲面积分化二重积分的方法知

于是斯托克斯公式成立.

取张成的曲面为的上侧茬面上的投影为区域，则由斯托克斯公式知