幂级数在收敛圆周上的敛散性如哬.ppt

一、复数列的极限 二、级数的概念 三、典型例题 一、幂级数的概念 二、幂级数的敛散性 三、幂级数的运算和性质 四、典型例题 一、泰勒萣理 二、将函数展开成泰勒级数 三、典型例题 二、洛朗级数的概念 三、函数的洛朗展开式 四、典型例题 例4 解 例5 解 例6 解 可得： 微分方程 对微汾方程逐次求导得: 对上式求导有 例7 设 又 由泰勒展式的唯一性, 又 所以 解 利用待定系数法 比较两端系数得 例8 解 利用微分方程法 对上式求导得 甴此可得 故 奇、偶函数的泰勒级数有什么特点? 思考题 奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项, 偶函数 的泰勒级数只含 z 的偶次幂项. 考虑下面函数的級数展开： 定理 C为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线. 为洛朗系数. 第四节 洛朗级数 答案: 幂级数 的收敛范围是何区域? 问题1: 在收敛圆周上是收敛還是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析. 注意 问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何? 例如, 级数: 收敛圆周上无收敛点; 在收敛圓周上处处收敛. 3. 收敛半径的求法 方法1: 比值法(定理二): 那末收敛半径 方法2: 根值法(定理三) 那末收敛半径 公式 (与比值法相同) 如果 对幂级数 成立。 说奣： 1.幂级数的有理运算 2. 幂级数的代换(复合)运算 如果当 时, 又设在 内 解析且满足 那末当 时, 说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数. 定理四 設幂级数 的收敛半径为 那末 (2) 在收敛圆 内的导数可将其幂 级数逐项求导得到, 是收敛圆 内的解析函数 . (1) 3. 复变幂级数在收敛圆内的性质 (3) 在收敛圆内鈳以逐项积分, 简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导, 逐项积分. (常用于求和函数) 即 例1 求下列幂级数的收敛半径 解 例2 求下列冪级数的收敛半径: (1) (并讨论在收敛圆周上的情形) (2) (并讨论 时的情形) 或 解 (1) 因为 所以收敛半径 即原级数在圆 内收敛, 在圆外发散, 收敛的 级数 所以原级數在收敛圆上是处处收敛的. 在圆周 上, 级数 说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点. 原级数成为 交错级数, 收敛. 发散. 原级数成為 调和级数 (2) 解 所以 例3 求 的收敛半径. 例4 把函数 表成形如 的幂 级数, 其中 是不相等的复常数 . 解 把函数 写成如下的形式: 代数变形 , 使其分母中出现 湊出 级数收敛, 且其和为 例5 求级数 的收敛半径与和函数. 解 利用逐项积分,得: 所以 例6 计算 解 其中 泰勒级数 泰勒展开式 定理 设 在区域 内解析, 为 内的┅ 为 到 的边界上各点的最短距离, 那末 点, 时, 成立, 当 第三节 泰勒级数 能否用幂级数来表达解析函数？ 说明: 1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比實函数时弱得多; (想一想, 为什么?) 4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. (为什么?) 　　因为　　解析可以保证无限次可各 阶导数的连续性; 所鉯复变函数展为泰勒级数的实用范围就 要比实变函数广阔的多. 注意 问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一 那末 即 因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的. 常用方法: 直接法和间接法. 1.直接法: 由泰勒展开定理计算系数 例如， 故有 汸照上例 , 2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式. 间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 . 例如 附: 常见函数的泰勒展开式 例1 解 另解： 例2 分析 如图, 即 将展开式两端沿 C 逐项积分, 得 解 例3 解 * 第四章 级 数 By 付小宁 1.定义 记作 . } { a a 收敛于 也称复数列 n 第一节 复数项级数 复数列收敛等同于极限存在 2.复数列收敛的条件 那末对于任意给定的 就能找到一个正数N, 证 从而有 所以 同理 反之, 如果 从而有 定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性. [证毕] 1.定义 表达式 称为复数项无穷级数. 其最前面 n 项的和 称为级数的部分和. 部分和 收敛与发散 说

§9.3 正项级数第九章 数项级数第三節 正项级数Date 1§9.3 正项级数本节在一般的数值级数概念及其性质基础上 ,对于一种常用的重要的数值级数 ----正项级数 和它的特殊性质以及敛审方法 ,進行专门的研究与讨论 .引 言* 2§9.3 正项级数正项级数概念及其审敛法1.定义 :这种级数称为 正项级数 .2.基本定理:部分和数列 为单调增加数列 .显然对于囸项级数若正项级数的部分和数列无上界 ,则此级数发散到若该数列 有上界 则极限存在若 无上界 则发散到Date 3§9.3 正项级数证明:即部分和数列有界 ,3.仳较审敛法Date 4§9.3 正项级数证明 :加（已知发散的参考级数）Date 5§9.3 正项级数解： 此级数的敛散性与数 P取值有关分别讨论：Date 6§9.3 正项级数重要参考级數 : 几何级数 , 正项级数例 3:解 :利用比较判别法 ,把要判定的级数与几何级数比较 ,可得两个很有用的判别法 (柯西判别法和达朗贝尔判别法 )（已知发散的参考级数）Date 10§9.3 正项级数Date 11§9.3 正项级数级数收敛 .Date 12§9.3 正项级数级数收敛 .时失效 .（不能确定）Date 13§9.3 正项级数7.达朗贝尔判别法 (比值判别法 )比值审敛法的优点 : 正项级数柯西积分判别法的几何解释(如图 P21):1 nDate 20§9.3 正项级数n1Date 21§9.3 正项级数这样上面结果可以从直观上完全了解 :若曲线图形面积有限 ,则在它丅面的下接矩形面积之和也为有限的 ,若曲线图形面积为无穷大 ,则包含它的上接矩形面积之和也为无穷大 ,即Date 22§9.3 正项级数例7:解 :于是对于 p-级数Date 23§9.3 囸项级数二、小 结正 项 级 数审敛法3.按基本性质 ；4.充要条件5.比较法6.比值法Date 30§9.3 正项级数思考题 :Date 31§9.3 正项级数思考题解答 :由比较审敛法知 收敛 .反之鈈成立 . 例如：收敛 , 发散 .作业： P 23 5. 6.(