已知一个圆锥的底面半径为

求此圓柱的侧面积表达式;

为何值时,圆柱的侧面积最大?

• 由题意,圆柱的高已知为,故求出圆柱底面的半径关于的表达式,再由公式求出侧面积的表达式,甴图知,求底面半径可利用过轴的截面建立比例关系,从中解出底面半径表达式;
  由,此是一个关于圆柱高的二次函数,由二次函数的知识判断出函數的最值,即可得到圆柱侧面积的最大值,同时求出此时的的值
  

• 过圆锥及内接的圆柱的轴作截面,如图:

  
  

  ,即圆柱的高为圆锥高的一半时,圆柱的侧面積最大.

  
  

• 本题是一个旋转体中的最值问题,解题的关键是建立起圆柱侧面积的函数关系,利用函数的最值求侧面积的最值,本题的难点是作出旋转體的轴截面,由此截面上的比例关系将底面半径用高表示出来,从而由公式建立起侧面积关于高的函数关系,这也是本题的重点,本题考查了数形結合的思想,函数的思想,利用函数求最值是函数的一个重要运用,