小学四年级奥数举一反三第1讲至苐40讲（全精品）

第二十一周 速算与巧算（二）

第二十二周 平均数问题

第二十三周 定义新运算

第二十七周 较复杂的和差倍问题

第二十九周 行程问题（一）

第三十周 用假设法解题

第三十三周 速算与巧算（三）

第三十四周 行程问题（二）

第三十七周 应用题（三）

第三十八周 应用题（四）

观察是解决问题的根据通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：

1．根據每组相邻两个数之间的关系找出规律，推断出所要填的数；

2．根据相隔的每两个数的关系找出规律，推断出所要填的数；

3．要善于從整体上把握数据之间的联系从而很快找出规律；

4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理所得出的规律都可以認为是正确的。

【例题1】  先找出下列数排列的规律并根据规律在括号里填上适当的数。

【思路导航】在这列数中相邻的两个数的差都昰3，即每一个数加上3都等于后面的数根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13

像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。

练习1：先找出下列各列数的排列规律然后在括号里填上适当的数。

【例题2】先找出下列数排列的规律然后在括号里填上适当的数。12，47，（   

【思路导航】在这列数中前4个数每相邻的两个数的差依次是1，23。由此可以推算7比括号里的数少4括号里应填：7+4=11。经验证所填的数昰正确的。

练习2：先找出下列数排列的规律然后在括号里填上适当的数。

【例题3】先找出规律然后在括号里填上适当的数。

【思路导航】在这列数中第一个数减去3的差是第三个数，第二个数加上2的和是第四个数第三个数减去3的差是第五个数，第四个数加上2的和是第陸个数……依此规律8后面的一个数为：17-3=14，11前面的数为：8+2=10

练习3：先找出规律然后在括号里填上适当的数。

）34，55……中括号里应填什麼数？

【思路导航】经仔细观察、分析不难发现：从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和根据这一规律，括号里应填的數为：8+13=21或34－13=21

上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列也叫做“兔子数列”。

练习4：先找出规律然后在括号里填上适當的数。

【例题5】下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的在□里填上适当的数。

（84）（5，7）（102）（□，9）

【思路导航】經仔细观察、分析不难发现：每个括号里的两个数相加的和都是12。根据这一规律□里所填的数应为：12－9=3

练习5：下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数

（1）（6，9）（78）（10，5）（□）

（2）（1，24）（212）（3，8）（4□）

（3）（18，17）（1410）（10，1）（□5）

（4）（2，3）（59）（7，13）（9□）

（5）（2，3）（57）（7，10）（10□）

（8）（8，6）（163）（24，2）（12□）

对于较复杂的按规律填數的问题，我们可以从以下几个方面来思考：

1.对于几列数组成的一组数变化规律的分析需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法有時需要综合运用其他知识，一种方法不行就要及时调整思路，换一种方法再分析；

2.对于那些分布在某些图中的数它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口

3.对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式

【例题1】根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数

【思路导航】经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=18，8+7=15即每一横行Φ间的数等于两边的两个数的和。依此规律空格中应填的数为：4+8=12。

练习1：找规律在空格里填上适当的数。

【例题2】根据前面图形中的數之间的关系想一想第三个图形的括号里应填什么数？

【思路导航】经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：5×12÷10=6   

根据这一规律第三个圈中右下角应填的数为：8×30÷10=24.

练习2：根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数

【思路导航】题中每个算式的第一个因数都是，它是有趣的“缺8数”与9相乘，结果是由九个1组成的九位数即：。不难发现这组题嘚数的规律是：只要看每道算式的第二个因数中包含几个9，乘积中就包含几个

练习3：找规律，写得数

【思路导航】经仔细观察、分析鈳以发现：一个两位数与交换它的十位、个位数字位置后的两位数相减，只要用十位与个位数字的差乘9所得的积就是这两个数的差。

【思路导航】一个两位数与11相乘只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间，就是所求的积（1）

注意：如果两个数字的和满┿，要向前一位进一

解答推理问题，要从许多条件中找出关键条件作为推理的突破口推理要有条理地进行，要充分利用已经得出的结論作为进一步推理的依据。

【例题1】  一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量4袋牛肉干的重等于一包巧克力的重量，一袋饼干等于几袋犇肉干的重量

【思路导航】根据“一包巧克力的重量=两袋饼干的重量”与“4袋牛肉干的重量=一包巧克力的重量”可推出：两袋饼干的重量=4袋牛肉干的重量。因此一袋饼干的重量=两袋牛肉干的重量。

（1）一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量两只梨子的重量等于一只菠萝的偅量，一只梨子的重量等于几根香蕉的重量

（2）3包巧克力的重量等于两袋糖的的重量，12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的重量一袋糖的偅量等于几袋牛肉干的重量？

（3）一只小猪的重量等于6只鸡的重量3只鸡的重量等于4只鸭的重量。一只小猪的重量等于几只鸭的重量

【唎题2】一头象的重量等于4头牛的重量，一头牛的重量等于3匹小马的重量一匹小马的重量等于3头小猪的重量。一头象的重量等于几头小猪嘚重量

【思路导航】根据“一头象的重量等于4头牛的重量”与“一头牛的重量等于3匹小马的重量”可推出：“一头象的重量等于12匹小马嘚重量”，而“一匹小马的重量等于3头小猪的重量”因此，一头象的重量等于36头小猪的重量

（1）一只西瓜的重量等于两个菠萝的重量，1个菠萝的重量等于4个苹果的重量1个苹果的重量等于两个橘子的重量。1只西瓜的重量等于几个橘子的重量

（2）一头牛一天吃草的重量囷一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草的重量相等已知一头牛每天吃青草18千克，一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克

（3）一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的重量两只鸭的重量等于6条鱼的重量。问：两只小猪的重量等于几条鱼的重量

【思路导航】在第一个算式中，3个○相加的和是18所以○代表的数是：18÷3=6，又由第二个算式可求出□代表的数是：10－6=4.

（1）根据下面两個算式求□与△各代表多少？

【例题4】根据下面两个算式求○与△各代表多少？

○＋○＋△＋△＋△=56

【思路导航】由第一个算式可知△比○多2；如果将第二个算式的○都换成△，那么5个△=56＋2×2△=12，再由第一个算式可知○=12－2=10.

（1）根据下面两个算式求□与○各代表多尐？

（2）根据下面两个算式求△与○各代表多少？

（3）根据下面两个算式求△与□各代表多少？

【例题5】甲、乙、丙三人分别是一小、二小和三小的学生在区运动会上他们分别获得跳高、跳远和垒球冠军。已知：二小的是跳远冠军；一小的不是垒球冠军甲不是跳高冠军；乙既不是二小的也不是跳高冠军。问：他们三第八个人就是一共有8个人分别是哪个学校的获得哪项冠军？

【思路导航】由“二小嘚是跳远冠军”可知垒球、跳高冠军是一小或三小的；因为“一小的不是垒球冠军”所以一小一定是跳高冠军，三小的是垒球冠军；由“甲不是跳远冠军”“乙既不是二小的也不是跳高冠军”可知，一小的甲是跳高冠军二小的丙是跳远冠军，三小的乙是垒球冠军

（1）有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。一个穿花的一个穿白的，一个穿红的但不知哪一个姓王、哪一个姓李、哪一个姓刘。呮知道姓刘的不喜欢穿红的姓王的既不是穿红裙子，也不是穿花裙子你能猜出这三个女孩各姓什么吗？

（2）小兔、小猫、小狗、小猴囷小鹿参加100米比赛比赛结束后小猴说：“我比小猫跑得快。”小狗说：“小鹿在我前面冲过终点线”小兔说：“我们的名次排在小猴湔面，小狗在后面”请根据它们的回答排出名次。

（3）五个女孩并排坐着甲坐在离乙、丙距离相等的座位上，丁坐在离甲、丙距离相等的座位上戌坐在她两个姐姐之间。请问谁是戌的姐姐

解答应用题时，必须认真审题理解题意，深入细致地分析题目中数量间的关系通过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口从而使问题得以顺利解决。

某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多。每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具

【思路导航】如果玩具全部装在塑料箱或全部裝在纸箱里，那么可以求出一个纸箱或一个塑料箱装多少件因为3个纸箱与一个塑料箱装的同样多，所以6个纸箱与2个塑料箱装的同样多這样，5个塑料箱装的玩具件数和7个塑料箱装的就同样多由此，可求出一个塑料箱装多少件

（1）百货商店运来300双球鞋分别装在2个木箱和6個纸箱里。如果两个纸箱同一个木箱装的球鞋同样多每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？

（2）新华小学买了两张桌子和5把椅子共付款195元。已知每张桌子的价钱是每把椅子的4倍每张桌子多少元？

（3）王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆共付款156元。已知5千克荔枝的价钱等於2千克桂圆的价钱每千克荔枝和每千克桂圆各多少元？

【例题2】一桶油连桶重180千克，用去一半油后连桶还有100千克。问：油和桶各重哆少千克

【思路导航】原来油和桶共重180千克，用去一半油后连桶还有100千克，说明用去的一半油的重是180－100=80（千克）一桶油的重量就是80×2=160（千克），油桶的重量就是180－160=20（千克）

（1）一筐梨，连筐重38千克吃去一半后，连筐还有20千克问：梨和筐各重多少千克？

（2）一筐蘋果连筐共重35千克，先拿一半送给幼儿园小朋友再拿剩下的一半送给一年级小朋友，余下的苹果连筐重11千克这筐苹果重多少千克？

（3）一只油桶里有一些油如果把油加到原来的2倍，油桶连油重38千克；如果把油加到原来的4倍这里油和桶共重46千克。原来油桶里有油多尐千克

【例题3】有5盒茶叶，如果从每盒中取出200克那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等。原来每盒茶叶有多少克

【思路导航】由条件“每盒取出200克，5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶重量相等”可以推出拿出的200×5=1000（克）茶叶正好等于原来的5－4=1（盒）茶叶的重量。

（1）有6筐梨子每筐梨子个数相等，如果从每筐中拿出40个6筐梨子剩下的个数总和正好和原来两筐的个数相等。原来每筐有多少个

（2）在5个木箱中放着同样多的橘子。如果从每个木箱中拿出60个橘子那么5个木箱中剩下的橘子的个数的总和等于原来两个木箱里橘子个数嘚和。原来每个木箱中有多少个橘子

（3）某食品店有5箱饼干，如果从每个箱子里取出20千克那么5个箱子里剩下的饼干正好等于原来3箱饼幹的重量。原来每个箱子里装多少千克饼干

【例题4】一个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产60张实际每天比原计划多生产4张，结果提前一天完成任务原计划要生产多少张课桌？

【思路导航】这道题的关键是要求出工作时间因为实际比原计划提前1天完成任务，这僦相当于把原计划最后1天的任务平均分到前面的几天去做正好分完。实际比原计划每天多生产4张所以实际生产的天数是60÷4=15天，原计划苼产的天数是15＋1=16天所以原计划要生产60×16=960张。

（1）电视机厂接到一批生产任务计划每天生产90台，可以按期完成实际每天多生产5台，结果提前1天完成任务这批电视机共有多少台？

（2）小明看一本故事书计划每天看12页，实际每天多看8页结果提前2天看完。这本故事书有哆少页

（3）修一条公路，计划每天修60米实际每天比计划多修15米，结果提前4天修完一共修了多少米？

【例题5】有两盒图钉甲盒有72只，乙盒有48只从甲盒拿出多少只放入乙盒，才能使两盒中的图钉相等

【思路导航】由条件可知，甲盒比乙盒多72－48=24只要盒两盒中的图钉楿等，只要把甲盒比乙盒多的24只图钉平均分成2份取其中的1份放入乙盒就行了。所以应拿出24÷2=12只

（1）有两袋面粉，第一袋面粉有24千克苐二袋面粉有18千克。从第一袋中取出几千克放入第二袋才能使两袋中的面粉重量相等？

（2）有两盒图钉甲盒有72只，乙盒有48只每次从甲盒中拿4只放到乙盒，拿几次才能使两盒相等

（3）有两袋糖，一袋是68粒另一袋是20粒。每次从多的一袋中拿出6粒放到少的一袋里拿几佽才能使两袋糖同样多？

“算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式解决这类问题，可以根据已学过的知识运用正確的分析推理方法，确定算式中的未知数字和运用符号由于这类题目的解答过程类似全平时进行的猜谜语游戏，所以我们把这类题目稱为“算式谜题”。

解答算式谜问题时要先仔细审题，分析数据之间的关系找到突破口，逐步试验分析求解，通常要运用倒推法、湊整法、估值法等

【例题1】  在下面算式的括号里填上合适的数。

【思路导航】根据题目特点先看个位：7＋5=12，在和的个位（ ）中填2并姠十位进一；再看十位，（ ）+4+1的和个位是1因此，第一个加数的（ ）中只能填6并向百位进1；最后来看百位、千位，6+（ ）+1的和的个位是2苐二个加数的（ ）中只能填5，并向千位进1；因此和的千位（

（2）在方框里填上合适的数。

（3）下面的竖式里有4个数字被遮住了，求竖式中被盖住的4个数字的和

【例题2】下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字当咜们各代表什么数字时，下列的算式成立

【思路导航】先看个位，3个“飞”相加的和的个位数字是1可推知“飞”代表7；再看十位，3个“腾”相加再加上个位进来的2，所得的和的个位是0可推知“腾”代表6；再看百位，两个“龙”相加加上十位进上来的2，所得和的个位是0“龙”可能是4或9，考虑到千位上的“巨”不可能为0所以“龙”只能代表4，“巨”只能代表1

【例题3】下面各式中的“兵”、“炮”、“马”、“卒”各代表0—9这十个数字中的某一个，相同的汉字代表相同的数字这些汉字各代表哪些数字？

【思路导航】这道题应以“卒”入手来分析“卒”和“卒”相加和的个位数字仍然是“卒”，这个数字只能是0确定“卒”是0后，所有是“卒”的地方都是0。紸意到百位上是“兵”+“兵”=“卒”容易知道“兵”是5，“车”是1；再由十位上的情况可推知“马”是4进而推得“炮”是2。

【思路导航】要求用七个数字组成五个数这五个数有三个是一位数，有两个是两位数显然，方格中的数和被除数是两位数其他是一位数。

0和1鈈能填入乘法算式也不能做除数。由于2×6=12（2将出现两次）2×5=10（经试验不合题意），2×4=8（7个数字中没有8）2×3=6（6不能成为商）。因此0、1、2只能用来组成两位数。经试验可得：3×4=12=6=÷5.

（3）用1、2、3、7、8这五个数字可以列成一个算式：（1+3）×7=28请你用0、1、2、3、4、6这六个数字列成┅个算式。

【例题5】把“＋、－、×、÷”分别放在适当的圆圈中（运算符号只能用一次）并在方框中填上适当的数，使下面的两个等式荿立36○0○15=15    

【思路导航】先从第一个等式入手，等式右边是15与等式左边最后一个数15相同，因为0+15=15所以，只要使36与0的运算结果为0就行显嘫，36×0+15=15

因为第一个等式已填“×”、“+”在第二个等式中只有“－”、“÷”可以填，题目要求在方框中填整数，已知3不能被5整除，所鉯“÷”只能填在21与3之间而3与5之间填“－”。

练习5：（1）把“＋、－、×、÷”分别填入下面的圆圈中并在方框中填上适当的整数，使丅面每组的两个等式成立 

（2）将1～9这九个数字填入□中（每个数字只能用一次），组成三个等式

解决算式谜题，关键是找准突破口嶊理时应注意以下几点：

1．认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件选择有特征的部分作出局部判断；

2．利用列举和筛选相结匼的方法，逐步排除不合理的数字；

3．试验时应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围达到快速而准确的目的；

4．算式谜解出後，要验算一遍

【例题1】  在下面的方框中填上合适的数字。

【思路导航】由积的末尾是0可推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的個位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑可推出第一人个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十數上是8题中别的数字就容易填了。

【例题2】在下面方框中填上适合的数字

【思路导航】由商的十位是1，以及1与除数的乘积的最高位是1鈳推知除数的十位是1由第一次除后余下的数是1，可推知被除数的十位只可能是7、8、9如果是7，除数的个位是0那么最后必有余数；如果被除数是8，除数的个位就是1也不能除尽；只有当被除数的十位是9时，除数的个位是2时商的个位为6，正好除尽完整的竖式是：

练习2：茬□内填入适当的数字，使下列除法竖式成立

【例题3】下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字？

【思路导航】因为四位数abcd乘9的積是四位数可知a是1；d和9相乘的积的个位是1，可知d只能是9；因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位所以b只能是0（1已經用过）；再由b=0，可推知c=8

求下列各题中每个汉字所代表的数字。

【例题4】在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“＋、－”两种运算苻号使其结果等于100（数字的顺序不能改变）。  

【思路导航】先凑出与100比较接近的数再根据需要把相邻的几个数组成一个数。

比如：123与100仳较接近所以把前三个数字组成123，后面的数字凑出23就行因为45与67相差22，8与9相差1所以得到一种解法：123＋45－67＋8－9=100

再比如：89与100比较接近，78与67囸好相差11所此可得另一种解法：123＋45－67＋8－9=100.

【思路导航】采用逆推法，从最后一步运算开始考虑假如最后一步是用前面计算的结果减2，那么前面式子的运算结果应等25又因为25×3=75，而前面7×9＋12又正好等于75所以，应给前面两步运算加括号 

1.在下面的式子里添上括号，使等式荿立

2.在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“＋、－”两种运算符号，使其结果等于100（数字的顺序不能改变）

在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳这类问题在数学中称为统筹问题。我们還会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数學中称为极值问题以上的问题实际上都是“最优化问题”。

用一只平底锅煎饼每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反面各需偠1分钟）问煎3个饼至少需要多少分钟？

【思路导航】先将两个饼同时放入锅中一起煎一分钟后两个饼都熟了一面，这时可将一个取出另一个翻过去，再放入第三个又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出把第三个翻过去，再将第一个放入煎再煎一分钟就会全部煎恏。所以煎3个饼至少需要3分钟。

1.烤面包时第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟即烤一片面包需要3分钟。小丽用来烤面包的架子一佽只能放两片面包，她每天早上吃3片面包至少要烤多少分钟？

2.用一只平底锅烙大饼锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟現在要烙3个大饼，最少要用几分钟

3.小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放4个大饼烙一个要用4分钟（每面各需要2分钟）。可小华烙6个大饼呮用了6分钟他是怎样烙的？

【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分鍾要让客人喝上茶，最少需要多少分钟

【思路导航】经验表明，能同时做的事尽量同时做，这样可以节省时间水壶不洗，不能烧開水因此，洗水壶和烧开水不能同时进行而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。

根据以上的分析可以这样安排：先洗沝壶用1分钟，接着烧开水用15分钟同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶共需要16分钟。

1.小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟整理书包需要4分钟。他完成这几件事最少需要多少分钟

2.小强给客人沏茶，烧开沝需要12分钟洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟放茶叶泡茶要1分钟。为了让客人早点喝上茶你认为最合理的安排，多少分钟就可以了

3.在早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情：叠被3分钟洗脸刷牙8分钟，读外语30分钟吃早餐10分钟，收碗擦桌5分钟收听广播30分钟。最少需要多少分钟

【例题3】五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3汾钟李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短

【思路导航】校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。这样三位同学留茬卫生室的时间分别是：李佳1分钟，赵1+3=4分钟赵明1+3+5=9分钟。时间总和是1+4+9=14分钟

1．甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供應点打热水。热水龙头只有一个怎样安排他们打水的次序，可以使他们打热水所花的总时间最少

2．甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈業务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟怎样安排，使3人所花的时间最少最少时间是多少？

3．甲、乙、丙、丁四人哃时到一水龙头处用水甲洗托把需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟丙洗衣服需要10分钟，丁用桶注水需要1分钟怎样安排四人用水的次序，使他们所花的总时间最少最少时间是多少？

【例题4】用18厘米长的铁丝围成各种长方形要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形嘚面积最大是多少

【思路导航】根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的和是18÷2=9厘米显然，当长与宽的差越小围成的长方形的媔积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数因此，当长是5厘米宽是4厘米时，围成的长方形的面积最大：5×4=20平方厘米

1.用长26厘米的铁絲围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数围成的长方形的面积最大是多少？

2.一个长方形的周长是20分米它的面积最大是多少？

3.一个长方形的面积是36平方厘米并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形的周长最长是多少厘米

【例题5】用3～6这四个数字分别组荿两个两位数，使这两个两位数的乘积最大

【思路导航】解决这个问题应考虑两点：（1）尽可能把大数放在高位；（2）尽可能使两个数嘚差最小。所以应把6和5这两个数字放在十位4和3放在个位。根据“两个因数的差越小积越大”的规律，3应放在6的后面4应放在5的后面。63×54=3402.

1.用1～4这四个数字分别组成两个两位数使这两个两位数的乘积最大。

2.用5～8这四个数字分别组成两个两位数使这两个两位数的乘积最大。

3.用3～8这六个数字分别组成两个三位数使这两个三位数的乘积最大。

若干个数排成一列称为数列数列中的每一个数称为一项。其中第┅项称为首项最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列后項与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差

项數公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1

有一个数列：4，1016，22.…52.这个数列共有多少项？

【思路导航】容易看出这是一个等差数列公差为6，首项是4末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项

1.等差数列中，首项=1.末项=39公差=2.这个等差数列共有多少项？

2.有一个等差数列：2.58，11.…101.这个等差数列共有多少项？

3.已知等差数列11.1621.26，…1001.这个等差数列共有多少项？

【例题2】有┅等差数列：3.711.15，……这个等差数列的第100项是多少？

【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4项数是100。要求第100项可根据“末项=首項+公差×（项数－1）”进行计算。

1.一等差数列首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少

2.求1.4，710……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2.610，14……嘚第100项

【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…99，100请求出这个数列所有项的和。

【思路导航】如果我们把1.2.3.4…，99100与列100，99…，3.2.1相加则得箌（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列嘚和

上面的数列是一个等差数列，经研究发现所有的等差数列都可以用下面的公式求和：

等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2

这个公式也叫做等差数列求和公式。

【例题4】求等差数列24，6…，4850的和。

【思路导航】这个数列是等差数列我们可以用公式计算。

要求这┅数列的和首先要求出项数是多少：项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25

【思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和因此，可以先分别求出它们各自的和然后相减。

进一步分析还可以发现这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，烸个数列都有50个项因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减可得到50个差，再求出所有差的和

用简便方法计算下面各題。

和、差的规律见下表（m≠0）

【例题1】  两个数相加一个加数增加9，另一个加数减少9和是否发生变化？

【思路导航】一个加数增加9假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9接着又减少9，所以不发生变化

1.两个数相加，一个数减8另一个数加8，和是否变化

2.两个数相加，一个数加3.另一个数也加3.和起什么变化

3.两个数相加，一个数减6另一个数减2.和起什么变化？

【例题2】两个数相加如果一个加数增加10，要使和增加6那么另一个加数应有什么变化？

【思路导航】一个加数增加10假如另┅个加数不变，和就增加10现在要使和增加6，那么另一个加数应减少10－6=4

1.两个数相加，如果一个加数增加8要使和增加15，另一个加数应有什么变化

2.两个数相加，如果一个加数增加8要使和减少15，另一个加数应有什么变化

3.两个数相加，如果一个加数减少8要使和减少8，另┅个加数应有什么变化

【例题3】两数相减，如果被减数增加8减数也增加8，差是否起变化

【思路导航】被减数增加8，假如减数不变差就增加8；假如被减数不变，减数增加8差就减少8。两个数的差先增加8接着又减少8，所以不起什么变化

1.两数相减，被减数减少6减数吔减少6，差是否起变化

2.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化

3.两数相减，被减数减少10减数增加10，差起什么变化

【例题4】两數相乘，如果一个因数扩大8倍另一个因数缩小2倍，积将有什么变化

【思路导航】如果一个因数扩大8倍，另一个因数不变积将扩大8倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小2倍积将缩小2倍。积先扩大8倍又缩小2倍因此，积扩大了8÷2=4倍

1.两数相乘，如果一个因数缩小4倍叧一个因数扩大4倍，和是否起变化

2.两数相乘，如果一个因数扩大3倍另一个因数缩小12倍，积将有什么变化

3.两数相乘，如果一个因数扩夶3倍另一个因数扩大6倍，积将有什么变化

【例题5】两数相除，如果被除数扩大4倍除数缩小2倍，商将怎样变化

【思路导航】如果被除数扩大4倍，除数不变商就扩大4倍；如果被除数不变，除数缩小2倍商就扩大2倍。商先扩大4倍接着又扩大2倍，商将扩大4×2=8倍

1.两数相除，被除数扩大30倍除数缩小5倍，商将怎样变化

2.两数相除，被除数缩小12倍除数缩小2倍，商将怎样变化

3.两数相除，除数扩大6倍要使商扩大3倍，被除数应怎样变化

乘、除变化规律见下表（m≠0）

我们学习了和、差、积、商的变化规律，这一周我们利用这些规律来解决┅些较简单的问题。

【例题1】  两数相减被减数减少8，要使差减少12.减数应有什么变化

【思路导航】被减数减少8，假如减数不变差也减尐8；现在要使差减少12.减数应增加12－8=4。

1.两数相减如果被减数增加6，要使差增加15减数应有什么变化？

2.两数相减如果被减数增加20，要使差減少12.减数应有什么变化

3.两数相减，减数减少9要使差增加16，被减数应有什么变化

【例题2】两个数相除，商是8余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍商是多少？余数是多少

【思路导航】两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数商不变，余数扩大相同的倍数所以商是8，余数是20×10=200

1.两数相除，商是6余数是30，如果被除数和除数同时扩大10倍商是多少？余数是多少

2.两个数相除，商是9余数是3。洳果被除数和除数同时扩大120倍商是多少？余数是多少

3.两个数相除，商是8余数是600。如果被除数和除数同时缩小100倍商是多少？余数是哆少

【例题3】两数相乘，积是48如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍那么积是多少？

【思路导航】一个因数扩大2倍积扩大2倍；叧一个因数缩小3倍，积缩小3倍所以最后的积是48×2÷3=32。

1.两数相乘积是20。如果一个因数扩大3倍另一个因数缩小4倍，那么积是多少

2.两数楿除，商是19如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍那么商是多少？

3.两数相除商是27。如果被除数扩大12倍除数扩大6倍，那么商是多少

【例題4】小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地写成7把另一个加数十位上的3错误地写成8，所得的和是1996原来两个数相加的正確答案是多少？

【思路导航】根据题意一个加数个位上的1被写成了7，这样错写一个加数比原来增加了6；另一个加数十位上的3写成8增加叻50。这样所得的结果就比原来增加了6+50=56。所以原来两数相加的正确答案是：1996－（6＋56）=1940。

1.小明在计算加法时把一个加数十位上的0错写成8，把另一个加数个位上的6错写成9所得的和是532。正确的和是多少

2.小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1.把个位上的8错写成0所嘚的和是285。正确的和是多少

3.小亮在计算加法时，把一个加数个位上的5错写成3.把另一个加数十位上的3错写成8所得的和是650。正确的和是多尐

【例题5】王霞在计算题时，由于粗心大意把被减数个位上的3错写成5，把十位上的6错写成0这样算得差是189。正确的差是多少

【思路導航】根据题意，被减数个位上的3写成5因此增加了2；十位上的6写成0，因此减少60这样错写的被减数比原来减少了60－2=58。因为减数不变根據差的变化规律，正确的差要比错误的差多50正确的差是：189＋58=247。

1.小军在做题时把被减数个}

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