≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B|找到与这两个式子（|An-A|和|Bn-B|）的关系如果|An-A||Bn|＜ε/2，|A||Bn-B|＜ε/2问题就解决了。这两个不等式等價于：|An-A|＜ε/(2|Bn|)|Bn-B|＜ε/(2|A|),为了清晰起见，分母加了括号|A|是个常数，已经没有问题但|Bn|不是常数，于是根据收敛数列极限运算公式的有界性即：|Bn|＜M，找到与n无关的正常数M于是|An-A||Bn|<|An-A|M＜ε/2,后一个不等式等价于：|An-A|＜ε/(2M),这里已经假定M是正数，绝对值符号就不写了这就是ε/(2M)的由来，而不是突然冒出来的 ”，第三个“<”用了②③ 另外，如果limAn=A一般得到|An-A|＜ε，肯定没有问题，如果写成|An-A|＜ε/2，应该也要理解证明中就强调“對于任意给定的ε＞0，无论怎样小”这句话一定要充分理解，一个是“任意”一个是“无论怎样小”。所以一定要理解“ε”是充分的小。因此，如果limAn=A我们可以得到|An-A|＜ε，也可以得到|An-A|＜ε/2 或者 |An-A|＜2ε，甚至如果常数 a>0，我们同样可以得到|An-A|＜ε/a 或者 |An-A|＜aε。但是，一定要注意 a 与數列极限运算公式的下标 n 无关是一般函数的话，务必和函数的自变量无关证明中在引出常数“M”时，特别强调“存在一个与n无关的正數M” 其实如果我们最后得到：|An?Bn-AB|<ε'M+|A|?ε''也是可以的，这里的ε'是由limAn=A得到的ε''是由limBn=B得到的。但这样一则不漂亮二则还要说明“ε'M+|A|?ε''”也是充分小。与其都要说明那就放在中间了，这样最后得到|An?Bn-AB|<ε，又漂亮又可以直接写：“这就是说，An?Bn的极限存在且等于AB”了。 臸于ε要不要找一个正常数与其相乘除，找怎样的正常数，就要看题目了。比如，上面的证明如果改成三个已知极限的乘积，或许就要用到ε/3了给ε找一个正常数与其相乘除，是解这一类题目的“惯用伎俩”。