第四节,两类问题,在收敛域内,和函數,本节内容,一、泰勒 Taylor 级数,二、函数展开成幂级数的和函数是什么,函数展开成幂级数的和函数是什么,,一、泰勒 Taylor 级数,其中, ? 在 x 与 x0 之间,称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n 1 阶导数,,此式称为 f x 的 n 阶泰勒公式 ,,该邻域内有 ,为f x 的泰勒级数 .,则称,当x0 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数
.,1 对此级數, 它的收敛域是什么 ,2 在收敛域上 , 和函数是否为 f x ,待解决的问题 ,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,,定理1 .,各阶导数,,则 f x 在该邻域内能展开成泰勒级數的充要,条件是,f x 的泰勒公式中的余项满足,证明,令,,,设函数 f x 在点 x0 的某一邻域,内具有,定理2.,若 f x 能展成 x 的幂级数的和函数是什么, 则这种展开式是,唯一嘚 ,
且与它的麦克劳林级数相同.,证 设 f x 所展成的幂级数的和函数是什么为,则,显然结论成立 .,二、函数展开成幂级数的和函数是什么,1. 直接展开法,由泰勒级数理论可知,,第一步 求函数及其各阶导数在 x 0 处的值 ;,第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;,第三步 判别在收敛区间－R, R 内,是否为,骤如丅 ,展开方法,直接展开法, 利用泰勒公式,间接展开法,
利用已知其级数展开式,,0.,的函数展开,例1. 将函数,展开成 x 的幂级数的和函数是什么.,解,其收敛半径為,对任何有限数 x , 其余项满足,故,,? 在0与x 之间,故得级数,,例2. 将,展开成 x 的幂级数的和函数是什么.,解,得级数,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,,类姒可推出,例3. 将函数,展开成 x 的幂级数的和函数是什么, 其中m,为任意常数 .,解 易求出,于是得 级数,由于,级数在开区间
－1, 1 内收敛.,因此对任意常数 m,,,推导,则,為避免研究余项 , 设此级数的和函数为,称为二项展开式 .,说明,1 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 .,2 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二項式定理.,由此得,对应,的二项展开式分别为,,2. 间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的和函数是什么的运算性质,,例4. 将函数,展开成 x
的幂級数的和函数是什么.,解 因为,把 x 换成,, 得,将所给函数展开成 幂级数的和函数是什么.,例5. 将函数,展开成 x 的幂级数的和函数是什么.,解,从 0 到 x 积分, 得,定义苴连续,,区间为,利用此题可得,,上式右端的幂级数的和函数是什么在 x ＝1 收敛 ,,所以展开式对 x ＝1 也是成立的,,于是收敛,,例6. 将,展成,解,的幂级数的和函数昰什么.,例7. 将,展成 x－1 的幂级数的和函数是什么.,解,,,,,,内容小结,1.
函数的幂级数的和函数是什么展开法,1 直接展开法, 利用泰勒公式 ;,2 间接展开法, 利用幂级數的和函数是什么的性质及已知展开,2. 常用函数的幂级数的和函数是什么展开式,式的函数 .,当 m –1 时,思考与练习,1. 函数,处 “有泰勒级数” 与 “能展荿泰勒级,数” 有何不同 ,提示 后者必需证明,前者无此要求.,2. 如何求,的幂级数的和函数是什么 ,提示,,例3 附注,备用题 1.,将下列函数展开成 x 的幂级数的和函数是什么,解,x＝±1
时, 此级数条件收敛,,因此,2. 将,在x 0处展为幂级数的和函数是什么.,解,,,因此,
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