第四章 齐次线性方程组求解例题組 1．设齐次方程组 有非零解求及其通解. 解：因为此方程组有非零解，故系数矩阵的行列式为零. 所以，即 （1）当时对此方程组的系数矩阵进行行变换 原方程组等价于, 即 . 取，得为方程组的基础解系. 则方程组的通解为. （2）当时 原方程组等价于 取，得为方程组的基础解系. 故通解为. 2．解齐次方程组 （1） （2） （3） （4） （1）解：对此齐次线性方程组求解例题组的系数矩阵进行初等行变换 原方程组等价于 即 取得为原方程组的基础解系. 故通解为 . （2）解：对齐次线性方程组求解例题组的系数矩阵进行初等行变换 故 ，所以此方程组只有零解, 即 . （3）解：对齊次线性方程组求解例题组的系数矩阵进行初等行变换 原方程组等价于 取 得 为方程组的基础解系. 所以原方程组的通解为 . （4）解：对方程組的系数矩阵进行初等行变换， 原方程组等价于 即 取 得 为方程组的基础解系. 故通解为 . 3．解非齐次方程组 （1） （2） （3） （1）解：对此方程组嘚增广矩阵进行初等行变换 因为 所以此方程组无解. （2）解：对此方程组的增广矩阵进行初等行变换 原方程组等价于 此方程组对应的导出組的基础解系为 此方程组的特解为 故方程组的通解为 . （3）解：对此方程组的增广矩阵进行初等行变换 原方程组等价于 即 此方程组对应导出組的基础解系为 特解为 故通解为 . 4．求解非齐次方程组 （1） （2） （1）解：对此非齐次齐次线性方程组求解例题组的增广矩阵进行初等行变换 ①当，或时方程组无解; ②当且，方程组有无穷多解; 此时方程组等价于 即 取 得对应的导出组的基础解系 ， 为特解. 故通解为， . （2）解：對方程组的增广矩阵进行初等行变换 ①当时方程组无解. ②当，时方程组有无穷多解. 此时，原方程组等价于 即 则 为导出组的基础解系為方程组的一个特解，故通解为. ③ 时，方程组有无穷多解 此时原方程组等价于 即 则 为导出组的基础解系, 为方程组的一个特解. 故方程组嘚通解为. 5．讨论方程组的解，并求解 解：齐次线性方程组求解例题组的系数矩阵的行列式为 令则或 （1）时. 齐次线性方程组求解例题组的增广矩阵为 因为 所以，此时方程组无解; （2）当时, 方程组等价于为导出组的基础解系, 为方程组的一个特解. 故通解为. （3）当且时，方程组有唯一解. ，. 6．设其中是的转置，求解方程. 解：将代入下式得 由 得 又 所以 即 对齐次线性方程组求解例题组的增广矩阵进行初等行变换 方程組等价于 即，为导出组的基础解系. 为方程组的一个特解. 故通解为 . 7．已知向量组与向量组具有相同的秩且可由线性表示，求的值. 解：因為可以由线性表示 所以有解. 即

　　1.[2009.7]设A为m×n矩阵则n元齐次齐次線性方程组求解例题Ax=0存在非零解的充要条件是（　）

　　A.A的行向量组线性相关

　　B.A的列向量组线性相关

　　C.A的行向量组线性无关

　　D.A的列姠量组线性无关