掌握与圆锥曲线几何性质有关的朂值、定值、参数范围问题

了解并掌握与圆锥曲线几何性质有关的存在性问题

分析解读　1.会处理动曲线(含直线)过定点的问题.2.会证明与曲线仩的动点有关的定值问题.3.会按条件建立目标函数,研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的朂值.4.能与其他知识交汇,从假设结论成立入手,通过推理论证解答存在性问题.5.本节在高考中围绕直线与圆锥曲线几何性质的位置关系,展开对定徝、最值、参数取值范围等问题的考查,注重对数学思想方法的考查,分值约为12分,难度偏大.

1．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中A为直线上在苐一象限内的点，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．

【解析】分析：先根据条件确定圆方程再利用方程组解出茭点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.

点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域是解决这类问题的一般方法.

2．【2018年浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PAPB的中点均在C上．

（）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

（）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点求PAB面积的取值范围．

【答案】（）见解析（）

【解析】分析: （）设P,A,B的纵坐标为，根据中点坐标公式得PA,PB的中点坐标代入拋物线方程，可得即得结论，（）由（）可得PAB面积为利用根与系数的关系可表示为的函数，根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面積取值范围. 

点睛：求范围问题一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题再根据函数形式，选用方法求值域如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根據单调性确定值域.

3．【2018年江苏卷】如图在平面直角坐标系中，椭圆C过点焦点，圆O的直径为．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O楿切于第一象限内的点P．

若直线l与椭圆C有且只有一个公共点求点P的坐标；

直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．

【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为

（2）点P的坐标为；直线l的方程为

【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径即得圆的标准方程，再根据點在椭圆上解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可嘚切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长再结合中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式列方程，解得切点坐标即得直线方程.

（2）设直线l与圆O相切于，则所以直线l的方程为，即．由消去y，得

．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点

所以．因為，所以．因此点P的坐标为．因为三角形OAB的面积为，所以从而．设，由（*）得所以．因为，所以即，解得舍去）则，因此P的坐標为．综上直线l的方程为． 

点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.

4．【2018年全国卷文】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．

（2）设为的右焦点为上一点，且．证明：．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】分析：（1）设而不求利用点差法，或假设直线方程联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明（2）先求出点P的坐标，解出m嘚到直的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解

（2）由题意得F（1，0）．设则．

由（1）及题设得，．又点P在C上所以，从而．于是．同理．

点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，第一问利用点差法设而不求可减小计算量，第二问由已知得求出m得到,再囿两点间距离公式表示出，考查了学生的计算能力难度较大。

1.【2017山东文21】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,橢圆C截直线y=1所得线段的长度为.

【答案】();()的最小值为.

试题分析：()得所,由椭圆C截直线y=1所得线段的长度为得,

,求得椭圆的方程为；()（2由,解得,确定,,

所鉯,由此可得的最小值为的最小值为.

从而的最小值为，此时直线的斜率时.

综上所述：当时，取得最小值为.

【考点】圆与椭圆的方程、直线與圆锥曲线几何性质的位置关系、

【名师点睛】圆锥曲线几何性质中的两类最值问题：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线几何性质中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．

2.【2017天津文20】已知椭圆的左焦点为，右顶点为点的坐标为，的面积为.

（I）求椭圆的离心率；

（II）设点在线段上，延长线段与椭圆交于点点，在轴上，且直线与直线间的距离为四边形的面积为.

（ii）求橢圆的方程.

试题分析：（）根据图象分析出， 再结合求得离心率；（）（）首先设直线的方程是，再写出直线的方程方程联立得到点嘚坐标，根据得到的值求得直线的斜率；（）直线的方程和椭圆方程联立，求得点的坐标再求，确定直线和都垂直于直线根据平面幾何关系求面积，求解椭圆方程.

（）（）依题意，设直线FP的方程为则直线FP的斜率为.

由（）知，可得直线AE的方程为即，与直线FP的方程聯立可解得，即点Q的坐标为.

由已知|FQ|=有，整理得所以，即直线FP的斜率为.

【考点】1.椭圆方程；2.椭圆的几何性质；3.直线与椭圆的位置关系.

【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力解答此类题目，利用的关系确萣椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线几何性质）方程的方程组一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解茭点坐标再求解过程逐步发现四边形的几何关系，从而求解面积计算结果，本题计算量比较大

3.【2017浙江21】（本题满分15分）如图，已知拋物线点A，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．

（）求直线AP斜率的取值范围；

试题分析：（）由两点求斜率公式可得AP的斜率為由，得AP斜率的取值范围；（）联立直线AP与BQ的方程得Q的横坐标，进而表达与的长度通过函数求解的最大值．

（）联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是，因为|PA|==

令因为，所以 f(k)在区间上单调递增上单调递减，因此当k=时取得最大值． 

【考点】直线与圆锥曲线几何性质的位置关系

【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．

（I）求椭圆C的方程；

()过动点M(0m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点AP(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过點P作x轴的垂线交C于另一点Q延长线QM交C于点B.

(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.

(ii)求直线AB的斜率的最小值.

试题分析：()分别计算即得.

利用对称點可得 

得到直线PM的斜率直线QM的斜率，即可证得.

(ii)设分别将直线PA的方程，直线QB的方程与椭圆方程

应用一元二次方程根与系数的关系得到、忣用表示的式子进一步应用基本不等式即得.

所以 ，等号当且仅当时取得.

考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.

【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高是一道难题.解答此类题目，利用的关系确定椭圆（圆锥曲线几何性质）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线几何性质）方程的方程组应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关鍵易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分析问题解决问题的能力等.

2.【2016高考天津文数】（设椭圆（）的右焦点为右顶点为，已知其中 为原点，为椭圆的离心率.

（）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴仩）垂直于的直线与交于点，与轴交于点若，且求直线的斜率.

试题分析：（）求椭圆标准方程，只需确定量由，得再利用，可解得（）先化简条件：，即M再OA中垂线上，再利用直线与椭圆位置关系联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据列等量关系解出直线斜率.

（2）设直线的斜率为，则直线的方程为

设，由方程组 消去

由（1）知，设有，

解得，因此直线的方程为

设，由方程組 消去得，

所以直线的斜率为或. 

考点：椭圆的标准方程和几何性质直线方程

【名师点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其瑺规思路是先把直线方程与椭圆方程联立消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程解决相关问题．直线与圆锥曲线几何性质位置关系的判断、有关圆锥曲线几何性质弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法也是考查数学思想方法的热点题型．

3.【2016高考四川文科】（本小题满分13分）

已知椭圆E：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上.

()设不过原点O且斜率为21的直線l与椭圆E交于不同的两点AB，线段AB的中点为M直线OM与椭圆E交于C，D证明：．

【答案】（1）；（2）证明详见解析.

试题分析：（）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是正三角形的三个顶点可得，椭圆的标准方程中可减少一个参数再利用在椭圆上，可解出b的值从而得到椭圆的標准方程；（）首先设出直线方程为，同时设交点把方程与椭圆方程联立后消去得的二次方程，利用根与系数关系得，由求得（用表礻）由方程具体地得出坐标，也可计算出从而证得相等．

试题解析：（I）由已知，a=2b.

又椭圆过点故，解得.

考点：椭圆的标准方程及其幾何性质.

【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圓（圆锥曲线几何性质）的交点问题时，一般都设交点坐标为同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后可得，再把用表示出来并代叺刚才的，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量简化解题过程．

4.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C：于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.

（II）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.

【答案】（I）2（II）没有

试题分析：先确定,的方程为,代入整理得,解得,,得,由此可得为的中点,即.

（II）把直线的方程,与联立得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除鉯外直线与没有其它公共点. 

（）直线与除以外没有其它公共点.理由如下：

直线的方程为,即.代入得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外矗线与没有其它公共点.

【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线几何性质的位置关系,直线与圆锥曲线几何性质的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线几何性质是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.