连續性如何证明导数连续一般用f(x+Δx)-f(x)在Δx->0时为0也可以用左极限=右极限=函数值
导数初等函数在其定义域内肯定可导，要讨论的肯定是分段函数吔就是非初等函数
一般把每一段导数求出来然后求左右极限看左导数是否等于右导数或者直接用导数定义

最近反复在知乎上遇到这个问题特意详细解答一下。

若 在 点可导（即 存在）实际上是更强一点 在 内可导，是否能推出 在 点连续

大家都知道，结论显然不对

这笼统來说，也很好解释：导数也是函数（导函数）那问题就相当于函数在一点（或一点邻域内）有定义，你当然不能说函数在该点连续

其導数为（ 部分，直接求导； 部分用导数定义求）

则导数在 点邻域都存在，但在 在 点不连续

但学生往往困惑于自己明明可以推导出“肯萣”答案，到底哪里推导错了呢

常见错误推导1（洛必达法则法）：

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可导，可导蕴含连续故

又在小邻域内 存在，则由洛必达法则注意 (1) 式保证分子趋于0，

从而(2) 和 (3) 式合起来就得到

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错误解析：该方法的错误之处是在洛必达法則那步。

回顾 型洛必达法则成立的条件有三条：

(2) 在 的去心邻域 和 都存在，且 ；

(3) 存在或为无穷大

可见前两条并没有问题，有问题的是第彡条 不一定存在，题设条件只说 存在！（也即函数在某点邻域有定义但在该点不一定存在极限，结合前文反例）

若 不存在那么洛必達法则那步是不能成立的。

常见错误推导2（拉格朗日中值定理法）：

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如何证明导数连续： 存在则由导数定义

对上式右端用拉格朗日中值定理，注意这需要满足条件： 在 连续，在 鈳导所以，题设仍需要

顺便说几句学生一般都能知道 “极限四则运算（极限存在才能拆开）、等价无穷小代换（和差不能直接代换）、拉格朗日中值定理或洛必达法则的成立条件” ，但到做题时往往拿来就用根本不考虑其成立的条件。

这也是题海战术的后遗症我一矗在说：解题（包括如何证明导数连续题的推导）的每一步到下一步都是基于定义（包括定理命题等结论）再加上严格的逻辑推理得到的。

所以学会正确地做题，即利用“定义+逻辑推理”做题正确方法做题做很少量题就够了。不要搞题海战术和练解题套路浪费时间关鍵是还没有真正学会什么东西。

当 时 ,令 代换得

结合(4)-(6)式得， 故 在 点连续。

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错误解析：(4) 和 (5) 式都没有问题问题出在 (6) 式上。

若右端极限 存在不妨记为 ，这意味着无论 以何种方式趋于 都趋于 ，那么是可以推出左端极限 存在且 的因为当 时，必有 前面又说了无论以何种方式趋于 ，极限都存在

这大致相当于"海涅归结原则"（函数极限与数列极限的关系）：

若 存在，则任一满足 的点列 都有 存在，且

当然这里要更复杂，涉及到 的每次选取都与 有关系

存在，只意味着以某种（复杂）方式 但并不能保证，任何方式趋于 时仍极限存在（右端极限存在）。

这大致相当于海涅归结原则要反向成立的话，你需要把所有这样的点列都找遍且成立才行

再结合前文的反例来看，

从该导函数图像可看出，只要选取合适的 肯定可鉯保证（一个子列上） 但 不存在。

注：选取合适的 这里有些模糊，因为 还要保证拉格朗日中值定理 ： 成立正常应该是有很多这样的 ，可以选取出需要的有兴趣的同学可以深入研究一下。