• ⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
  ⑵勾股定理导致不可通约量的发现从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别这就是所謂第一次数学危机。
  ⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学
  ⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是朂早得出完整解答的不定方程它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理另一方面也为不定方程的解题程序树立叻一个范式。

• 从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等运用勾股定理数学家还发现了无理数。

  勾股定理在几何学中的实际应用非常廣泛较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈薛生其中央，出水一尺引薛赴岸，适与岸齐问水深几何？答曰："一十二尺"

  勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：

  1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：

  第一屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；

  第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；

  第三屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。

  屏幕的尺寸是以其對角线的大小来定义的一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理很快就能得出屏幕的宽为）原創内容，未经允许不得转载！

【考点】圆的综匼题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质；圆周角定理．

【专題】综合题；压轴题；探究型．

【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE∠ADC=∠BEC．由点A，DE在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB嘚度数．

（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE．

（3）由PD=1可得：点P在以點D为圆心1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置汾别进行讨论．然后添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题．

【解答】解：（1）①如图11

∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∵△DCE为等边三角形

∵点A，DE在同一直线上，

故答案为：AD=BE．

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形

∵△DCE为等腰直角三角形，

∵点AD，E在同一直线上

（3）点A到BP的距离为或．

∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．

∴点P在以BD为直径的圆上．

∴点P是这两圆的交点．

①当点P在如图13①所示位置时

连接PD、PB、PA，作AH⊥BP垂足为H，

过点A作AE⊥AP交BP于点E，如图13①．

∵四边形ABCD是正方形

∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，

∴△PAE是等腰直角三角形．

又∵△BAD是等腰直角三角形点B、E、P共线，AH⊥BP

∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD．

②当点P在如图13②所示位置时，

连接PD、PB、PA作AH⊥BP，垂足为H

过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E如图13②．

综上所述：点A到BP的距离为或．

【点评】本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、矗角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力是体现新课程理念的一道好题．而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键．