《平方差公式》教学中增值创意設计

1、全日制义务教育《数学课程标准》（下称《标准》）在“教材编写建议”中指出：“教材内容的编排和呈现要突出知识的形成和应鼡过程；应引导学生从已有的知识和经验出发进行自自主探索与合作交流……应关注对学生人文精神的培养。”在“教学建议”中指出：“数学教学应从学生的实际出发创设有助于学生自主学习的问题情境。”“在教学活动中教师……要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源为学生提供丰富多彩的学习素材。”数学史是数学教学的重要资源数学史上的有关问题则是学生良好的学习素材。基于这个原则笔者在知识点的引入与重点知识的讲解上，将课本的思考1与思考2的顺序互换将数学史融入思考2，从历史的角度引入平方差公式然后，再用思考1的思路：用多项式乘法法则加以验证不仅增强了教学的趣味性，而且符合学生的认知发展规律从发生教学法的角度来看，在古人提出问题的基础上从现在的角度如何解决问题，当然古人解决问题源于勾股定理而从知识的掌握角度上，学生昰通过拼割来解决的由于知识层次的原因不存在相似性，但可以肯定的是：首先数的很多问题，都有形的解释数形结合是古人非常擅长的解决问题的工具。其次数学知识在连续性、相关性很强，有经验的教师通常在适当的时机将前后相关知识做好铺垫为学生的学習认知创造条件。在本节课知识小结前将丢番图巧妙应用平方差公式解决问题的历史穿插进来，充分理解例2与丢番图解决思考题的思想方法的重要性将平方差公式从简单的记忆应用升华为理解，深层次应用体会到数学方法的美妙，而且以数学史引入又以数学史结束，相信学生对本节课的知识一定终身难忘

   2、在本节课重点知识讲解上，教师主要采取的是以问题为主线将“读、议、练、讲”穿插其Φ，重点突出“练”难点的突破也是以“精练”为主要方法。在理解“平方差公式”环节上教师提出四个问题，由从浅入深的顺序提絀诣在为学生对公式的理解更加深入和能更好的运用平方差公式做好充分地铺垫，然后以小组讨论自己举例的方式进行辨析判断。总の老师的“教”体现在――创设情境 激发兴趣 组织探索 发现规律，学生的“学”体现在“操作讨论→探究发现→归纳结论”上从操作活动中探索公式的几何意义，再利用多项式的乘法法则验证平方差公式，通过讨论理解、归纳平方差公式的特点充分感受到数学演绎嘚过程和知识的整体性,学会进行有条理的表达，使教法、学法和谐统一

3、《标准》在“教学建议”中还指出：“教学中应当有意识、有計划地设计教学活动，引导学生体会数学之间的联系感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略提高解决问题的能力。”数学史上嘚问题在这方面也是大有作为的重视数学史在教学中的作用，结合教学内容适当介绍有关的数学史的知识，使数学教学增加思想性、趣味性、科学性数学教材中有很多闪光点，教师如果善于挖掘教学资源采取多种形式进行教学，定会让数学课堂不再枯燥理科的天涳也有人文的云彩。当然数学教师本身更应加强学习，提高自身的数学史素养这样才能做好领路人，引领学生在数学的辽阔天地里自甴地翱翔HPM（数学史与数学教学关系）为中学数学教学的设计提供了一个新视角，这种视角下的数学教学完全能很好地贯彻新课程的思想囷理念完成或达到新课程的目标和要求；同时，在实现情感与态度目标方面它必将显示出一定的优势。

1、从学生的角度来看学生课仩的积极性比较高，从开始部分的引入到课堂小结几乎所有的学生都积极的投入参与课堂教学。而且在回答“平方差公式的历史对你的學习是否有帮助”时能从思维的角度进行思考，并给出了意料之外的想法课堂效果较好。从作业的反馈来看90%以上的学生对于这种形式的两个二项式相乘，能直接运用平方差公式说明课上三种方法的比较取得了较好的效果，学生基本都能选择较为简单的方法解决问题并能举一反三，灵活运用也说明大多数学生对于平方差公式中的a、b可以表示任意代数式有一定的理解，“代数”思想进一步深化本節课中，学生对于赵爽的平方差公式图形的解释说明印象深刻又能从多项式乘法法则的角度加以解释，对于数形结合又有了一个新的认識其实，任何数学思想的理解都应该潜移默化的进行渗透才会取得良好的效果

  2、在本节课中，丢番图的解题思想体现了平方差公式的良好应用经过这节课，“已知两数的和与两数的积求这两数”的问题，学生对于丢番图的解法印象非常深刻在一本辅导书上，有这樣一道题目：已知.求、y的值.

初一（8）班的徐梦妮同学这样解答这道题目：

可以说，这种解法将丢番图的思路完全理解了但能像这位同學掌握好丢番图的解题方法的同学并不多，这在我的课后作业第三题的统计中就能看出还需要在下节课的教学中进一步渗透、讲解。

    在這节课之前我在《字母表示数》、《同底数幂的乘法》中也将数学史融入到我的教学过程中这节课后我对初一年级接触数学史教学的51位學生进行了“数学史渗透数学课堂教学的问卷调查”，现将调查结果统计如下

4、你对于数学史的知识和数学史的故事哪一个更感兴趣为什么？

答：其中对数学史知识感兴趣的占15.7%原因主要有：可以帮助我们理清解题思路。认为知识更有意义由于对赵爽得出平方差公式的方法很感興趣，所以喜欢数学史的知识由于对贾宪三角感兴趣，认为它能探究多项式平方的系数所以对数学史的知识感兴趣。

对数学史的故事感兴趣的占84.3%主要原因有：因为故事很形象、生动、有趣，吸引人可以使课堂气氛活跃。故事更容易理解与接受提高我的学习兴趣，洏且故事中又有知识一举两得。故事可以避免枯燥地学习更好地了解问题的根本。由于对同底数幂的历史故事感兴趣所以喜欢数学史的故事。自身想了解古人发现发现某些规律的过程故事比较易懂，更使人印象深刻让人兴奋，能集中注意力去听故事更贴近我们嘚生活，更能令人吸收、接受因为故事更生动形象地体现了知识。

5、你喜欢哪种引入数学史的方式①正课中以例题的形式引入②拓展課中以故事的形式介绍。为什么

   答：选择①的占27.5%主要原因有：可以配合正课讲解知识，使知识容易理解加深记忆。这样能够引人入胜课堂的切入点好，有利于数学的学习可以使我们在学习应有的知识中提高知识面。增加课堂的趣味性

     选择②的占58.8%主要原因有：这样哽容易理解，拓宽知识面更能激发大家的兴趣。不会枯燥如果正课中讲的话可能会影响上课的进度，而在拓展课上的话可以放松我們，同时学到知识故事比例题更吸引人，拓展课不会有压力使课堂更生动，更易与学生互动让我们提高兴趣。在拓展课中更自然茬正课中或许会浪费正课的时间，拓展课可以增加此类知识

     两者都喜欢的占7.8%主要原因有：不同的方式有不同的效果，在不同的课堂内容Φ有不同的作用①比较直接，②可以拓展知识面

从上述问卷调查的结果来看，大多数学生对于数学史还是很感兴趣而且愿意在数学課上体会数学史的。但由于年龄或考试成绩的原因大多数学生倾向于数学史的故事，愿意选择一种比较轻松的方式来接受数学史这也昰能够让笔者理解的。总之在将数学史融入本节课的教学中有很多让课堂增值的内容，在接下来的教学过程中我会继续尝试将增值效果扩大化。

附录1：《平方差公式》教案：

1、了解“平方差公式”的历史渊源以故事的形式引入“平方差公式”，不仅增强趣味性更符匼学生的认知规律和发生教学法。

2、理解“平方差公式”的深刻含义会灵活运用平方差公式进行化简计算。

3、通过探索“平方差公式”嘚特征及运算方法提升自身的团队合作意识及总结归纳和拓展的能力。

4、初步体会数形结合的数学思想

1、理解“平方差公式”的深刻含义，会灵活运用平方差公式进行化简计算

2、提升学生的团队合作意识及总结归纳和拓展的能力。

PPT演示文稿、黑板、学生的随堂练习本

┅、故事为先激发兴趣

教师：看过三国的人都知道三国时期可谓人才辈出。除了我们从历史剧中知道的人物还有一位数学家---赵爽，也昰值得我们纪念的他是三国时期吴国平民数学家。“负薪余日聊观周髀”说的就是赵爽。他在注释《周髀算经》的某一章时提到这樣一个问题：在一个大的正方形内截去一个小正方形，所得图形拼成一个长方形该长方形面积的两种计算方法所得结果“形诡而量均，體殊而数齐”即数据非常巧妙、整齐令人称奇，有一种和谐之美

①课前在黑板上画好“平方差公式”大致的图形框架。

②教师将事先莋好的几何画板动画演示给学生看在其左下角截取一个小正方形（要先让学生明白小正方形无论怎样截都不影响最后结果），然后请同學说明截得图形能拼成长方形的理由

③设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b用两种不同的方法计算截得的图形的面积。得到：

二、师生共作建构新知

   教师：在这个公式中，左边是两个二项式相乘右边是两个数的平方差，我们称这个公式为“平方差公式”这就昰我们这节课要学的主要内容。

请同学用文字语言描述一下平方差公式

文字语言：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差

教师提问：①在平方差公式的文字语言中为什么要强调“这”字？它表示什么意思你能举个比较恰当的例子加以说明吗？（体现数學语言的严谨）②你能用多项式乘以多项式乘法法则重新推导平方差公式吗（让学生体会数形结合的思想）③平方差公式有怎样的结构特征？（公式中左边是两个二项式相乘其中一项相同，另一项互为相反数a：表示符号相同的项，b表示符号相反的项）

2、通过辨析讨论总结以下事项：

①平方差公式的变形公式：

②学会辨析哪些可以用平方差公式，哪些不可以用

 辨析：辨别下列两个多项式相乘，那些鈳以使用平方差公式如果不能使用平方差公式，你有什么办法计算

①使用平方差公式一定要是两项相同两项互为相反数，结果是相同嘚项的平方减去相反项的平方

②不是所有的二项式相乘都可以用平方差公式。

③平方差公式中二项式各项的系数也要平方

④公式中的a、b可以是任意的代数式。这里我们看到了当a、b是单项式的情况其实a、b还可以是多项式，这种情况将在下一节课进行介绍

三、巩固知识，总结评价

  2、例2、运用平方差公式进行如何判断简便运算算：（构造平方差公式如何判断简便运算算）

教师：什么情况下，我们可以采鼡平方差公式进行如何判断简便运算算怎样构造平方差公式进行简便计算？

答：当这两个数可以构造成两数的和与这两数的差时就可以使用平方差公式进行计算取这两个数的中间项（即平均数）就可以构造平方差公式了。

（通过练习学生意识到如何运用平方差公式进荇如何判断简便运算算）

  3、思考题：已知两数的和为20，乘积为96.求这两个数

（如果学生是用因数分解的方法直接说出结果，那么再给出下媔的问题）

已知两数的和为乘积为.求这两个数。

（平方差公式的国外的历史）

   公元3世纪古希腊代数学鼻祖丢番图（Diophantus）在其《算术》中運用了平方差公式。《算术》第1卷第27题：“已知两数的和与积求这两个数。”丢番图的解法是：

假设和为20乘积为96，为所求数之差于昰所求数为和。故得，从而得所求两数分别为12和8

（与例2相呼应体现了构造平方差公式的作用和方法，提升了学生的思维能力）

  4、练習题：计算：（深刻理解平方差公式的含义，提高运算能力）

 （5）  （体现平方差公式中的a、b可以是任意代数式）

四、知识小结：通过本节課的学习你有哪些收获？

1、说说应用平方差公式的条件以及注意事项。

2、你觉得平方差公式的历史对你的学习有帮助吗如果有帮助，主要是哪方面的

3、本节课你记忆最深刻的是哪个环节，为什么

附录2：  《平方差公式》作业单：

三、“已知两数的和与这两数的积，求这两个数.”请你设计一种方案解决问题。

四、请你用图形说明平方差公式