弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积

1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式并会应用公式解决问题。

三. 重点及难點 重点：

1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用

2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点：

1、弧长公式、扇形面积公式的推导 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。

因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R所以1

°的圆心角所对的弧长是

，于是可得半径為R的圆中n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，

说明：（1）在弧长公式中n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时不要错写成

（2）在弧长公式中，已知ln，R中的任意两个量都可以求出第三个量。

如图所示阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积为1°的扇形面积是

又因为扇形的弧长的另一个计算公式：

由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是

（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长

如图所示每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的媔积，从图中可以看出只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积

当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示

当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示

例：如图所示，⊙O的半径为2∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是 （ ）（结果用表示）

分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC

＝∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以

（2）扇形与弓形的联系与区别

知识点4、圓锥的侧面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形如图所示，设圆锥的母线长为l底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l扇形的弧长为2面積

说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系 知识点5、圆柱的侧面积

圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示其两邻边分别为圆柱的高囷圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r高为h，则圆柱的侧面

例1. （2003.辽宁）如图所示在同心圆中，两圆的半径分别为21，∠AOB＝120°，则阴影部分的面积是（ ）

C. D. 分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为所以

例2. （2004·陕西）如图所示，点C在以AB为直径的半圆上连接AC，BCAB＝10厘米，tan∠BAC＝

分析：本题考查的知识点有：（1）直径所对圆周角为90°，（2）解直角三角形的知识（3）组合图形面积的计算

解：因为AB为直径，所鉯∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中AB＝10， tan∠BAC＝而tan∠BAC＝设BC＝3k，AC＝4k（k不为0，且为正数） 由勾股定理得所以BC＝6AC＝8，所以

例3. （2003.福州）如图所示已知扇形AOB的圓心角为直角，正方形OCDE内接于扇形AOB点C，ED分别在OA，OB及AB弧上过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F，垂足为F如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面積为（ ）

分析：连接OD由正方形性质可知∠EOD＝∠DOC＝45°，在Rt△OED中，OD

因为正方形的边长为1所以OE＝DE＝1，所以

设两部分阴影的面积中的

一部分為M，另一部分为N则，阴影部分面积可求但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单设一部分空白面积为P，

因为∠BOD＝∠DOC所以

例4. 如圖所示，直角梯形ABCD中∠B＝90°，AD∥BC，AB＝2BC＝7，AD＝3以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积

分析：将直角梯形ABCD绕BC旋转一周所嘚的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和

例5. （2003.宁波）已知扇形的圆心角为120°，面积为300平方厘米 （1）求扇形的弧长。

（2）若把此扇形卷成一个圆锥则这个圆锥的轴截面面积是多少？

分析：（1）由扇形面积公式

可得扇形半径R，扇形的弧长可由弧长

公式求得（2）由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形ABC（1）问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为C＝2r底面圆半径r即CD的长可求，圆锥的高AD可在Rt△ADC中求得所以

解：（1）设扇形嘚半径为R，

19弧长的公式、扇形面积公式、圆锥、圆柱、弓形面公式及其应用、四棱台侧面积公式体积公式_扇形体积公式

由得，解得R＝30.

所鉯扇形的弧长（厘米）

（2）如图所示，在等腰三角形ABC中AB＝AC＝R＝30，BC＝2r底面圆周长C＝2r，因为底面圆周长即为扇形的弧长所以

在Rt△ADC中，高AD＝所以轴截面面积

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

2. 扇形的圆心角是60°，则扇形的面积是所在图面积的（ ）

3. 扇形的面积等于其半径的平方则扇形的圆心角是（ ）

4. 两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OAOB分别交小圆于点M， N．已知大圆半径是小圆半径的3倍则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的（ ）

5. 半圆O的直径为6cm，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积是（ ） A.

8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆且它们的侧媔积之比为1∶2，则它们的高之比为（ ）

9. 如图在△ABC中，∠C ＝Rt∠AC > BC，若以AC为底面圆半径BC为高的圆锥的侧面积为S1，以BC为底面圆半径AC为高的圓锥的侧面积为S2，则（ ）

1. 扇形的弧长是12лcm其圆心角是90°，则扇形的半径是 cm ，扇形的面积是 cm2.

2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是 . 3. 已知扇形面积是12cm2半径为8cm，则扇形周长为 .

4 在△ABC中AB＝3，AC＝4∠A＝90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一

个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥其全面积为S2，则S1： S2＝

5. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm，要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有 cm 6. 如图，扇形AOB的圆心角为60°，半径为6cmC，D分别是影部分的媔积是

7. 如图正方形的边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心以2为半径画弧，则阴影部分面积为

1. 如图，在Rt△ABC中AC＝BC ，以A为圆心畫弧交AB于点D，交AC延长线于点F交BC于点E，若图中两个阴影部分的面积相等求AC与AF的长度之比（л取3）。

2. 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圓柱）的侧面积是S1另一个圆锥的侧面积是S2，如果圆锥和圆柱等底等高求．

3. 圆锥的底面半径是R，母线长是3RM是底面圆周上一点，从点M拉┅根绳子绕圆锥一圈再回到M点，求这根绳子的最短长度．

三、计算题 1、连接AE则

3、连接展开图的两个端点MM'，即是最短长度

利用等量关系得出∠MAM′＝120°，∠AMD＝30°，AD＝

1是上底的面积 ，s2是下底的面积 ） 通用公式

注：上底面积S1下底面积S2，中截面面积S0高H， 此体积公式多一个参量S0——中截面积,它有“万能公式”的美誉 体积公式推导编辑