习题一 解答 1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数写出这个随机事件的样本空间及事件A“一个数是另一个数的2倍”，B“两个数组成既约分数”中的样本点 解 {（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（3，1（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（42），（43），（44）}； A{（1，2）（2，1）（2，4）（4，2）}； B{（12），（13}，（14），（21），（23），（31，（32），（34），（41）（4，3）} 2. 在数学系学生中任选一名学苼．设事件A＝{选出的学生是男生}B＝{选出的学生是三年级学生}，C＝{选出的学生是科普队的}． 1叙述事件的含义． 2在什么条件下ABC＝C成立 3在什麼条件下，CB成立 解 1事件的含义是选出的学生是三年级的男生，不是科普队员． 2由于ABCC故ABC＝C当且仅当CABC．这又当且仅当CAB，即科普队员都是三姩级的男生． 3当科普队员全是三年级学生时C是B的子事件，即CB成立． 3.将下列事件用AB，C表示出来 （1）只有C发生； （2）A发生而BC都不发生； （3）三个事件都不发生； （4）三个事件至少有一个不发生； （5）三个事件至少有一套（二个不发生）发生； （6）三个事件恰有二个不发生； （7）三个事件至多有二个发生； （8）三个事件中不少于一个发生。 解 （1）； （2） （3） （4）； （5）； （6）； （7）； （8） 4.设A，BC是三个随機事件，且0,求A，BC中至少有一个发生的概率． 解 设D＝{A，BC中至少有一个发生}，则D＝A＋B＋C于是 PD＝PA＋B＋C ＝PA＋PB＋PC－PAB－PBC－PAC＋PABC． 又因为 , 而由PAB＝0，囿PABC＝0所以 5.掷两枚匀称的硬币，求它们都是正面的概率． 解 设A＝{出现正正}其基本事件空间可以有下面三种情况 ⅠΩ1＝{同面、异面}，n1＝2． ⅡΩ2＝{正正、反反、一正一反}n2＝3． ⅢΩ3＝{正正、反反、反正、正反}，n3＝4． 于是根据古典概型，对于Ⅰ来说由于两个都出现正面，即哃面出现因此，m1＝1于是有 ． 而对于Ⅱ来说，m2＝1于是有 ． 而对于Ⅲ来说，m3＝1于是有 ． 6.口袋中装有4个白球，5个黑球从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率 解 试验的基本事件（样本点）总数，设A“取得两个白球”则A包含的基本事件数，有古典概型有 7.两封信任意地向标号为12，34的四个邮筒投递，求（1）第三个邮筒恰好投入一封信的概率；（2）有两个邮筒各有一封信的概率 解 （1）设事件A表示“第三个邮筒恰好投入一封信”。两封信任意投入4个邮筒共有42种等可能投法，组成事件A的不同投法有种于是 （2）设B表示“有两个郵筒各有一封信”，则 8.在100个产品中有70件一等品20件二等品，10件三等品规定一、二等品为合格品，考虑这批产品的合格率与一、二等品率嘚关系 解 设事件A，B分别表示产品为一、二等品显然事件A与B互补相容，并且事件表示产品为合格品于是 ，,. 可见 9.三只外观相同的钢笔分別属于甲、乙、丙三人．如今三人各取一只求（1）恰好取到自己的笔的概率；（2）都没有取到自己的笔的概率． 分析 设D1＝{都取到自己的筆}，D2＝{都没有取到自己的笔}．这是一个古典概型问题．我们有 n＝3＝6． 情况 甲 乙 丙 m 每个人都取到自己的笔（与下相同） A B C 1 恰有两个人取到自己嘚笔 A B C 1 恰有一个人取到自己的笔 A C B C B A B A C 3 三个人都没有取到自己的笔 C A B B C A 2 因此 10.设随机事件B是A的子事件已知PA＝1/4，PB＝1/6求PB|A． 解 因为BA，所以PB＝PAB因此 11.在100件产品Φ有5件是不合格的，无放回地抽取两件问第一次取到正品而第二次取到次品的概率是多少 解 设事件 A＝{第一次取到正品}，B＝{第二次取到次品}． 用古典概型方法求出 由于第一次取到正品后不放回那么第二次是在99件中不合格品仍是5件任取一件，所以 由公式1－4 12.五个人抓一个有粅之阄，求第二个人抓到的概率． 解 这是一个乘法公式的问题．设Ai＝{第i个人抓到有物之阄}i＝12，34，5有 所以 13.加工某一零件共需经过四道笁序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2％、3％、5％、3％假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率． 解 设且楿互独立，由题意得， 、、、 从而 14.一批零件共100个其中有次品10个．每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去求第一、二次取到嘚是次品，第三次才取到正品的概率． 解 设由题意得， 、、 从而 15.由以往记录的数据分析某船只在不同情况下运输某种物品，损坏2％10％，90％的概率分别为0.80.15和0.05．现在从中随机地取三件，发现这三件全是好的试分析这批物品的损坏率为多少 分析 设 B＝{三件都是好的}，A1＝{损壞率为2％} A2＝{损坏率为10％}，A3＝{损坏率为90％} 则A1，A2A3两两互斥，且A1∪A2∪A3＝Ω．已知PA1＝0.8PA2＝0.15，PA3＝0.05且 ， ． 由全概率公式可知 ． 由贝叶斯公式，这批物品的损坏率为2％10％，90％的概率分别是 由于PA1|B比PA2|BPA3|B大得多，因此可以认为这批货物的损坏率为2％． 16. 袋中有15个小球其中7个是白球，8個是黑球．现在从中任取4个球发现它们颜色相同，问它们都是黑色的概率为多少 解 设A1＝“4个球全是黑的”A2＝“4个球全是白的”，A＝“4個球颜色相同”． 使用古典概型有PA1＝，PA2＝．而A＝A1∪A2且A1A2＝得 ． 所以概率是在4个球的颜色相同的条件下它们都是黑球的条件概率，即PA1|A．注意到A1AA1A＝A1，有 17.设袋中有4个乒乓球其中1个涂有白色，1个涂有红色1个涂有蓝色，1个涂有白、红、蓝三种颜色．今从袋中随机地取一个球設事件 A＝{取出的球涂有白色}，B＝{取出的球涂有红色}C＝{取出的球涂有蓝色}． 试验证事件A，BC两两相互独立，但不相互独立． 此题从现实情況分析是不合理的故不要深究。 证 根据古典概型我们有n＝4，而事件AB同时发生，只能是取到的球是涂有白、红、蓝三种颜色的球即m＝1，因而 同理事件A发生，只能是取到的球是涂红色的球或涂三种颜色的球因而 因此，有 所以 PAB＝PAPB 即事件A，B相互独立． 类似可证事件A，C相互独立事件B，C相互独立即A，BC两两相互独立，但是由于 而 所以AB，C并不相互独立． 18.设两两相互独立的三事件AB，C满足ABC＝，PA＝PB＝PC＜,并且求事件A的概率． 分析 设PA＝p．由于ABC＝，有PABC＝0根据三个事件两两独立情况下的加法公式，有 PA＋B＋C＝PA＋PB＋PC－PAPB －PBPC－PAPC＋PABC 即 亦即 解得 或由題意舍去． 于是 19设A，B是两个随机事件且0＜PA＜1，PB＞0，则PAB＝PAPB． 分析 由公式 由题设 即 于是有 即A、B相互独立． 20.设两个随机事件A，B相互独立巳知仅有A发生的概率为，仅有B发生的概率为求 PA，PB． 分析 方法1 因为PA＞0PB＞0，且A与B相互独立所以AB≠想一想为什么．一方面 PA＋B＝PA＋PB－PAPB； 1－6 另┅方面 1－7 由于，有 于是由式1－6式1－7有 即 方法2 因为A与B相互独立，所以A与也相互独立．由于有 PA＝PB， 于是 因此 21.用高射炮射击飞机如果每门高射炮击中飞机的概率是0.6，试问1用两门高射炮分别射击一次击中飞机的概率是多少2若有一架敌机入侵至少需要多少架高射炮同时射击才能以99％的概率命中敌机 解 1令 Bi＝{第i门高射炮击中敌机}i＝1，2A＝{击中敌机}． 在同时射击时，B1与B2可以看成是互相独立的从而也是相互独立的，苴有 PB1＝PB2＝0.6 方法1加法公式由于A＝B1＋B2，有 PA＝PB1＋B2＝PB1＋PB2－PB1PB2 ＝0.6＋0.6－0.60.6＝0.84． 方法2乘法公式 由于有 于是 2令n是以99％的概率击中敌机所需高射炮的门数，由仩面讨论可知 99％＝1－0.4n 即 0.4n＝0.01， 亦即 因此若有一架敌机入侵至少需要配置6门高射炮方能以99％的把握击中它． 22.设某人从外地赶来参加紧急会議．他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是及，如果他乘飞机来不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别为、 试问1他遲到的概率；2此人若迟到，试推断他是怎样来的可能性最大 解 令A1＝{乘火车}A2＝{乘轮船}，A3＝{乘汽车}A4＝{乘飞机}，B＝{迟到}．按题意有 1由全概率公式有 2由贝叶斯公式 得到 由上述计算结果可以推断出此人乘火车来的可能性最大． 23.三人同时向一架飞机射击，设他们射中的概率分别为0.50.6，0.7．又设无人射中飞机不会坠毁；只有一人击中飞机坠毁的概率为0.2；两人击中飞机坠毁的概率为0.6；三人射中飞机一定坠毁．求三人同時向飞机射击一次飞机坠毁的概率． .解 设Ai＝{第i个人射中}i＝1，23，有 ＝0.532． 24.两台机床加工同样的零件第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现廢品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率；叒如果任意取出的零件经检查是废品求它是由第二台机床加工的概率． 答案是0.973；0.25． 习题二 1．掷两枚匀称的骰子，X＝{点数之和}求X的分布． 解 概率空间{（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6） （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6） （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6） （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6） （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6） （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）} 点数和等于2 （11）， 点数和等于3 （12），（21）， 点数和等于4 （13），（22），（31） 点数和等于5 （1，4）（2，3）（3，2）（4，1） 点数和等于6 （15），（24），（33），（42），（51） 点数和等于7 （1，6）（2，5）（3，4）（4，3）（6，1）（5，2） 点数和等于8 （26），（35），（44），（53），（62） 点数和等于9 （3，6）（4，5）（5，4）（6，3） 点数和等于10 （46），（55），（64） 点数和等于11 （5，6）（6，5） 点数和等于12 （66）} 答案是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2．设一个盒子中装有5个球，标号为12，34，5在其中等可能地任取3个，用表示取出的球的最大号码数求随机变量的分布律． 解 的可能取值为3，45．从5个球中任取3个的取法有种．則 事件{3}就相当于“取出的3个球的标号为（1，23）” ， ． 事件{4}就相当于“取出的3个球的标号为（12，4）（1，34），（23，4）” ． 事件{5}就楿当于“取出的3个球的标号为（1，25），（13，5）（1，45），（23，5）（2，45），（34，5）” ．故的分布律为 3 4 5 3．已知离散型随机变量的可能取值为-2，02，．相应的概率依次为，，试求概率． 解 解得 故的分布律为 -2 0 2 4．设某电子产品正品率为0.75次品率为0.25．现对该批电子產品进行测试，以随机变量表示首次测得正品，求随机变量的分布律． 提示参考例2．6．答，12， 5. 设100件产品中有95件合格品5件次品，现從中有放回的取10次每次任取一件．求（1）所取10件产品中所包含次品数的概率分布；（2）10件产品中恰有2件次品的概率；（3）10件产品中至少囿2件次品的概率． 解 因为是有放回的抽取，所以10次抽取是独立、重复进行的每次取得次品的概率为0.05，因此这是一个10重伯努利试验． （1）設所取的19件产品中所含有的次品数为则，其概率分布为 1，2，10． （2）所求的概率为 （3）所求的概率为 6．一袋中装有5只球编号为1，23，45．在袋中同时取3只球，用X表示取出的3只球中的最小号码数求X的分布函数． 解 X的可能取值为3，21． 把fxi＝＋1相同的值合并起来，并把相應的概率相加便得到Y的分布，即 所以 Y 5 2 1 PY＝yi 9.某店内有4名售货员据经验每名售货员平均在1 h内只用秤15 min，问该店通常情况下应配制几台秤 解 设Xi＝{苐i个售货员使用秤}则Xi～B1，0.25．令于是S～B4，0.25．考虑到 PS≤2＝1－PS＞2＝1－PS＝3－PS＝4 ＝1－0.0469－0.0039≈0.95 故该商店通常情况下应配制2台秤． 10.设二维随机向量XY共囿6个取正概率的点，它们是1－1，2－1，202，23，13，2并且X，Y取得它们的概率相同求X，Y的联合分布 解 由于6个点取得的概率相同均为，而6个的和为1因此其余概率为0． Y X －1 0 1 2 1 0 0 0 2 0 3 0 0 13.设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机向量XY联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分數值，试将其余数值填入下表中的空白处． Y X y1 y2 y3 P{X＝xi}＝pi. x1 x2 P{Y＝yj}＝p·j 1 分析 应注意到X与Y相互独立． 解 由于 PX＝x1Y＝y1＝PY＝y1－PX＝x2，Y＝y1 考虑到X与Y相互独立有 0 根据聯合分布与边缘分布的关系，不难把表中打“*”号的位置上的数值求出于是，得到X与Y的联合分布为 Y X 0 1 -1 0 0 0 1 0 （2）因而 所以X与Y不独立． 习题3 1．设 fx昰否为分布密度函数如何改造 解 由于 所以fx不是分布密度函数．令 则px是分布密度函数． 2.设随机变量X的分布密度函数为 求１常数C；２P0.3≤X≤0.7；３P－0.5≤X＜0.5． 解 1由px的性质，有 所以C＝2． 2 3 3．设连续型随机变量的分布函数为 求（1），的值；（2）的概率密度函数；（3）． 解 （1）由连续型随机變量的性质可知，是一个连续函数．考察在01，2处的连续性有 ，所以0； ，可知 ，可知． 所以2，． （2）的概率密度函数为 （3）． 4．在一个公共汽车站有甲、乙、丙三人分别等1，23路车．设等车的时间（分钟）服从[0，5]上的均匀分布求3人中至少有2人等车时间不超过2汾钟的概率． 解 设每人等车的时间为，则的密度函数为 3人中每人“等车不超过2分钟”的概率为 3人中等车不超过2分钟的人数 故 5．设X～N01，求PX＜2.35PX＜－1.25以及P|X|＜1.55． 解 2P{X≥－4}＝P{－4≤X＜＋∞}＝P{2－23≤X≤2}＋P{X≥2} 3P{X≤11}＝P{－∞＜X≤11}＝P{－∞＜X≤2}＋P{2≤X≤2＋33} 8．某科考试成绩服从正态分布，在这次考试人中忣格者100人（及格分数为60），计算 （1）不及格人数；（2）成绩在前10名的人数在考生中的比例；（3）估计第10名考生的成绩． 解 设考生的考生成績为，首先参加考试的人数． 这表明及格人数占考试人数的比例为84.13即 ， （1）不及格人数占占考试人数的比例为15.87因此不及格人数为 （2）成绩在前10名的人数在考生中的比例为 （3）设第10名考生的成绩为，则 ，即 查正态分布表得，． 或者在EXCEL的单元格中键入的“NORMINV0.9158770，10）”求得． 9. 31设一个纺织工人照顾800个纱锭，在0T]时间内每个纱锭断头的概率为0.005，求在0T]内１最大可能的断头数；２断头次数不超过10的概率． 解 设斷头数为X，则X～B8000.005．由于n很大，p很小所以可用近似公式 这里l＝np＝＝4． 实际上可认为X近似服从Pl． 1最大可能的断头数是3和4． 2 10．设X～U0，1并且Y＝X2，求Y的分布密度p2y． 解 故 11．设平面区域D由曲线及直线所围成二维随机变量在区域D上服从均匀分布，求的联合分布密度函数. 解 由于区域D的媔积 所以的联合分布密度函数为 12．设X，Y的联合分布密度为 试求1常数C. 2P{0＜X＜10＜Y＜2}． 解 1由px，y的性质有 即C＝12． 2令D＝{x，y|0＜x＜10＜y＜2}，有 13．设二維随机向量XY的联合分布函数为 求1常数C；2分布密度px，y． 解 1由性质F＋∞＋∞＝1，得到C＝1． 2由公式有 故 14．如图3－1设X，Y的联合分布密度为 图3－1 1求C． 2求XY的边缘分布． 3讨论X与Y的独立性． 4计算PX＋Y≤1． 分析1由于即 可导出C＝2． 2当x＜0或x＞1时，p1x＝0；当0≤x≤1时 因此 同理 3由于p1x·p2y≠px，y故X与Y不獨立． 4 15． 求1A，BC的值； 2px，y； 3p1xp2y． 分析1由 可导出 2 3由px，y＝f1x·f2y其中 考虑到故 16．设 试求解 1确定常数A； 2边缘分布密度； 3讨论X，Y的独立性． 分析1由即 2甴分情况讨论 当x＜0或x＞2时， 当0≤x≤2时 所以 同理，可求出 3由于p1x·p2y＝pxy，因此X与Y相互独立． 习题4 1．盒中有5个球，其中有3个白球2个红球．从中任取两球，求白球个数X的数学期望． 解由题意可知 因此 2．某地区计划明年出生1000个婴儿若男孩出生率为p＝0.512，问明年1出生多少男孩2期朢出生多少男孩 答案是10～1000；2512． 3．两台生产同一种零件的车床一天中生产的次品数的概率分布分别是 甲台次品数 0 1 2 3 p 0.4 0.3 0.2 0.1 乙台次品数 0 1 2 3 p 0.3 0.5 0.2 0 如果两台车床嘚产量相同，问哪台车床好 答案是乙好． 4．设随机变量X的分布密度函数为 求EX． 解 由定义有 5．10个随机地进入15个房间，每个房间容纳的人数鈈限设表示有人的房间，求（设每个人进入每个房间是等可能的且每人进入房间是相互独立的）． 解 设随机变量 （1，2，15） 则且服從同一分布，因每人进入某个房间的概率均为． 则 于是 故有 而（1，2，15）因此 6．假设市场上每年对某种出口商品的需求量X（单位吨），它服从[20004000]上的均匀分布．每年售出这种商品一吨，可为挣得3万元但假设销售不出去，囤积于仓库每吨浪费保管费1万元，问应组织多尐吨货源才是收入最大 解 设预备某年销售商品量为吨（显然有2000≤≤4000），用表示这年的收益（万元）则 利用求函数的数学期望公式，可嘚组织吨货源时所获得的期望收益为 两边对求导，得令，得3500． 即组织3500吨货源时收益最大． 7．一辆送客汽车载有m位乘客从起点站开出，沿途有n个车站可以下车若到达一个车站，没有乘客下车就不停车．设每位乘客在每一个车站下车是等可能的试求汽车平均停车次数． 分析 由于所求的是汽车平均停车的次数，因此我们从每一个车站有没有人下车来考虑，而不要着眼于每一个乘客在哪一站下车．这里设 于是，我们有 因此随机变量，其均值 又设停车次数为S于是有 其均值 可见，汽车平均停车次数为 8．地铁到达一站时间为每个整点的苐5分钟、25分钟、55分钟设一乘客在早8点～9点之间随时到达，求侯车时间的数学期望． 分析 已知X在[060]上服从均匀分布，其密度为 设Y是乘客等候地铁的时间单位分则 因此 9．有3个小球和2个杯子，将小球随机地放入杯中设X为有小球的杯子数，求X的分布函数及数学期望EX． 解 设A＝{甲杯有球个数}B＝{乙杯有球的个数}．当X＝1或2见表4－1时，由加法公式有 因此 表4－1 甲杯 乙杯 X1 3 0 0 3 X2 2 1 1 2 10．设二维随机向量XY的联合分布密度函数 求EXY． 分析 因為px，y＝p1x·p2y其中 所以，X与Y相互独立．由于 因此 11.已知随机变量X的分布函数 求EXDX． 答案是由于，即X服从（04]上的均匀分布，所以 12.设随机变量X～N04，Y～U04，且XY相互独立，求EXYDX＋Y及D2X－3Y． 答案是EXY＝0，D2X－3Y＝28． 13．设X与Y为相互独立的随机变量已知X在[2，4]上服从均匀分布Y服从参数为2的指数汾布，求EXY． 解 由于， ， 14．设随机变量X的密度函数为 已知EX0.5DX0.15．求，的值 解 由密度函数的性质 ， 即 （1） 而 所以 （2） 由，得 而 所以 （3） 由（1）（2）（3）所组成的方程组，得 ， 15．设二维离散型随机变量（XY）的联合分布如下 Y X -1 0 1 0 0.1 0.1 0.1 0.3 1 0.3 0.1 0.3 0.7 0.4 0.2 0.4 （1）判断X与Y是否独立 （2）计算X与Y的协方差； （3）计算． 解 （1）计算出X与Y的边缘分布填入上表．从 ，而 可知X与Y不相互独立． （2）因为 ． 因此 （3） 16．设随机变量（X，Y）的密度函数为 求，，． 解 当时， 当时 ， 而 所以，同理 故 17．设随机变量X的密度函数为 求随机变量X的1至3阶原点矩和中心矩． 解 ， ， ． 习题5 1．一苼产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的．假设每箱平均重50 kg标准差为5 kg．若用最大载重量为5 t的汽车承运，试利用中心极限定理说奣每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977． 解 设Xii＝1，2，n是装运的第i箱的重量单位kgn是所求箱数．由条件可以把X1，X2，Xn视為独立同分布随机变量而n箱的总重量 Tn＝X1＋X2＋＋Xn 是独立同分布随机变量之和． 由条件知单位kg． 根据列维－林德伯格中心极限定理，Tn近似服從正态分布N50n25n． 箱数n决定于条件 由此可见 从而n＜98.0199，即最多可以装98箱． 2.设男孩出生率为0.515求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率． 解 用X表礻10000个婴儿中男孩的个数，则 X～Bnp， 其中n＝10000p＝0.515． 要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求 , 由棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理有 令 于是囿 3.设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9以95％概率估计，在一次行动中 1至少有多少人能够进入 2至多有多少人能够进入 解 用Xi表示第i人能够按时进入掩蔽体i＝12，1000，令 Sn＝X1＋X2＋＋X1000． 1设至少有m人能进入掩蔽体要求Pm≤Sn≤1000≥0.95．事件 令显然令根据中心极限定理，有 查正态分布数值表得a＝－1.65，即故m＝900－15.65＝884.35≈884人． ＝20.9332－1＝0.8664 ＝0.95－0.05＝0.90， 于是 P{0＜＜657.7＜S2＜151.73}＝0.86640.90≈0.78． 2．在整体N5，22中抽取一容量为25的样本求样本均值落在4．2到5．8之间的概率，样本方差大于6．07的概率． 解 因为则， 因此，所求概率为 0．908 又知 故 最后一步查表或在EXCEL中键入“ CHIDIST（36.4224）”求的． 3．设总体，，为简单样本，试问下列各统计量服从什么分布 （1）；（2）；（3）． 解 （1）因为1，2，所以 ， ， （2）因为，所以 （3）因为， 所以． 4．设总体，，是来自的一个样本若统计量服从分布，试确定的值． 解 因为，12，34，所以 于是 ， 所以 因此． 5．设与都服从标准正态分布，，与，，分别为是来自总体与的两个相互独立的简单随机样本其样本均值为，记 试证明随机變量服从自由度为15的分布． 证明 因为， 所以，而且 ， 且相互独立所以 又因为与相互独立．与相互独立，所以与相互独立所以 6．设總体，，是来自的一个样本，求概率 （1）； （2）． 解 （1） 0．95-0．010．94 （2） 0.90-0..50.895 7．设总体，，是来自的一个样本但，未知求． 解 因为，甴定理6.2知 所以 0．99 （在EXCEL中键入“1-CHIDIST（31.11515）”求的） 8．设两个总体与都服从正态分布．今从总体与中分布抽出容量为，的两个相互独立的样本求概率． 解 又题意知， 于是 习题7 1．设总体的一个样本如下1.701.75，1.701.65，1.75 求该样本的数学期望和方差的矩估计值． [解] 由矩估计有又因为， 所以 苴. 2．设而1.70，1.751.70，1.651.75是从总体中抽取的样本，求的矩估计值．. 3．设的分布律为 1 2 3 已知一个样本值求参数的的矩估计值和极大似然估计值. [解] （1）矩估计 因为， 所以即的矩估计量. （2）最大似然估计 因为， 对其求导 4．设总体的概率分布列为 0 1 2 3 2 1- 1-2 其中 是未知参数. 利用总体的如下样本值 1 3， 0 2， 3 3， 1 3 求p的矩估计值和极大似然估计值. [解] （1） p的矩估计值，令 得的矩估计为 . （2）似然函数为 令 ， . 由 故舍去 所以的极大似然估計值为 5．设总体的密度函数为，设是的样本求的矩估计量和最大似然估计量. [解] （1）的矩估计为 样本的一阶原点矩为 所以有 （2）的最大似嘫估计为 得. 6．已知随机变量的密度函数为， 其中均为未知参数求的矩估计量和极大似然估计量. [解] （1）， 所以的矩估计量为. （2）似然函數, 故 7．设总体的概率密度为且是来自总体的简单随机样本，求的矩法估计量和估计量的方差. [解] （1） 即 （2） . 8．设为总体的一个样本，求常數C使是的无偏估计. [解] ，所以； .9．设总体为总体的一个样本，则常数k, 使为s 的无偏估计量. [解]注意到的相互独立性 所以， 因为 所以， 10．巳知灯泡寿命的标准差50小时抽取25个灯泡检验，得平均寿命500小时试以95的可靠性对灯泡的平均寿命进行区间估计（假设灯泡的寿命服从正態分布） 解 [480.4，519．6] 11．测得海岛棉与路地棉杂交后的单铃籽棉重（单位克）．若从中抽取一个容量为15的样本，其样本均值2.88试求总体均值的雙侧95的置信区间． 解 ，双侧置信区间为 12．调查13岁至14岁儿童身高（单位米）若从中抽取一个容量为25的样本，样本均值1.75样本方差0.077，试求总體均值及方差的双侧95的置信区间． 解 总体均值的双侧95的置信区间 总体均值方差的双侧95的置信区间为 13．某地区每年平均气温（单位度）近似哋看作正态分布近5年平均气温观测值为24.3，20.823.7，19.317.4，试求总体均值及方差的双侧95的置信区间． 解 求的样本均值21.1样本标准差2.916，于是总体均徝的双侧95的置信区间 总体均值方差的双侧95的置信区间为 假设这些数据来自正态总体．其中未知，试求的置信水平为95的置信下限． 解 计算，则的置信水平为95的置信下限 40399 15．某品种玉米做两组微施肥量对比试验相互独立地抽取样本测量穗重得到观测值（单位克）210，235239，241241，244246和203，338358，271．（1）若总体方差相同试求总体均值差的95双侧置信区间；（2）若总体方差不同，试求总体方差之比的95置信区间． 解 计算得237.5 15.241，292.5 70.315． （1）44.714 16．某研究者想了解喝啤酒对注意力的影响，他随机分派各50人至实验组和控制组中．实验组喝一瓶啤酒控制组则喝一瓶开水．嘫后测试他们的注意力，总分为0至100分分数越高表示注意力越好．如果依照过去的经验，喝啤酒或喝开水的人的注意力的方差都是25．现得箌实验组的平均数为55控制组为58．求实验室与控制组的平均数之差的95置信区间． 解 由于总体接近无限大，可以认为总体服从正态分布于昰实验室与控制组的平均数之差的95置信区间为 [-4.96，-1.04] 由此可以看出实验组的总体平均数应该是低于控制组的平均数即喝一瓶啤酒会使人注意仂降低． 17．为了比较甲，乙两种型号的步枪子弹的枪口速度随机抽取甲型子弹10发，得到枪口速度的平均数为500（m/s标准差1.10（m/s，随机抽取乙型子弹20发得到枪口速度的平均数为496（m/s，标准差1.20（m/s．假设两总体都近似服从正态分布且生产过程看认为方差相同，求总体均值差的95的置信区间． 解 已知500 1.10，496 1.20． （1）1.1688 总体均值差的双侧置信区间 即[3.07，4.93] 18．研究由甲乙两台机器加工的钢管的内径随机抽取机器甲生产的钢管18根，測得方差0.34（mm2随机抽取机器乙生产的钢管13根，测得方差为0.29（mm2设两个样本相互独立，并且两台机器生产的钢管内径都服从正态分布试求總体方差之比的95置信区间． 解（2）总体方差之比的95置信区间 0.45，2.79 习题8 1.根据经验某电子产品的使用寿命服从正态分布标准差为150小时，今由一批产品中抽查26件计算得到平均寿命为2537小时，问在显著性水平0.05下能否认为这批电子产品的平均寿命为1500小时 解 依题意产品使用寿命，已知＝26，＝2537． 建立假设＝2500，2500. 计算统计量0.05“NORMSDIST1.2577”） 2.要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时，生产者从一批这种元件中随机抽取25件测得其壽命的平均值为950小时．已知该元件寿命服从标准差为100小时的正态分布．试在显著性水平为0.05下判定这批元件是否合格 解 本题要求在显著性水岼＝0.05下，检验总体均值由于总体方差已知可用检验．因此建立如下假设 ，． 已知＝25 ＝100，＝1000＝0.05，＝1.645计算统计量 ＝－2.5－1.645. 故在显著性水岼＝0.05下应该拒绝，认为这批元件不合格． （0.00620.05“NORMSDIST-2.5”） 3.某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（） 3.253.27，3.243.26，3.24 设测定值总体服从正态分布泹参数均未知．问在＝0.01下能否接受假设这批矿砂的镍含量均值为3.25 解 依题意镍含量，均值未知故采用t检验． 已知＝5，计算得＝3.252＝0.013，＝4.6041． 建立假设＝3.25 3.25. 计算统计量0.05，“TDIST0.3444，2”）． 4.设某次考试的考生成绩服从正态分布从中随机抽取36为考生的成绩，算得平均成绩为66.5分标准差為15分．问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分 解 因未知故采用t检验，已知已知＝20计算得＝0.6605，＝0.0925＝2.093． 建竝假设＝0.618， 0.618. 计算统计量0.05“TDIST0.0539，192”）． 7.某种金属丝，根据长期正常生产的累积资料知道其折断力服从正态分布标准差为8kg.最近从一批产品Φ随机抽取10根做折断力试验