高中数学解析几何解题技巧压轴題专项拔高训练 一．选择题（共15小题） 1．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆（a＞b＞0）的右焦点交椭圆于A、B两点P为右准线上任意一点，则∠APB为（ ） A． 钝角 B． 直角 C． 锐角 D． 都有可能 考点 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 专题 压轴题． 分析 根据题设条件推导出以AB为直径的圓与右准线相离．由此可知∠APB为锐角． 解答 解如图设M为AB的中点，过点M作MM1垂直于准线于点M1分别过A、B作AA1、BB1垂直于准线于A1、B1两点． 则 ∴以AB为矗径的圆与右准线相离． ∴∠APB为锐角． 点评 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时作出图形数形结合，往往能收到事半功倍之效果． 2．已知双曲线（a＞0b＞0）的右焦点为F，右准线为l一直线交双曲线于P．Q两点，交l于R点．则（ ） A． ∠PFR＞∠QFR B． ∠PFR∠QFR C． ∠PFR＜∠QFR D． ∠PFR与∠AFR的大小不確定 考点 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 专题 计算题；压轴题． 分析 设Q、P到l 的距离分别为d1d2，垂足分别为 MN，则PN∥MQ，又由雙曲线第二定义可知由此能够推导出RF是∠PFQ的角平分线，所以∠PFR∠QFR． 解答 解设Q、P到l 的距离分别为d1d2，垂足分别为 MN， 则PN∥MQ ∴， 又由双曲線第二定义可知 ∴， ∴， ∴RF是∠PFQ的角平分线 ∴∠PFR∠QFR 故选B． 点评 本题考查双曲线的性质和应用，解题时利用双曲线第二定义综合平面幾何知识求解． 3．设椭圆的一个焦点为F点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，则实数λ1λ2（ ） A． B． C． D． 考点 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优網版权所有 专题 综合题；压轴题． 分析 设直线l的斜率为k则直线l的方程是yk（x﹣c）．将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（b2a2k2）x2﹣2a2ck2xa2c2k2﹣a2b20．然后利用向量关系及根与系数的关系可求得λ1λ2的值． 解答 解设M，NP点的坐标分别为M（x1，y1）N（x2，y2）P（0，y0） 又不妨设F点的坐標为（c，0）． 显然直线l存在斜率设直线l的斜率为k， 则直线l的方程是yk（x﹣c）． 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中消去y并整理得（b2a2k2）x2﹣2a2ck2xa2c2k2﹣a2b20． ∴，． 又∵ 将各点坐标代入得 ， ． 故选C． 点评 本题以向量为载体考查直线与椭圆的位置关系，是椭圆性质的综合应用题解题时要紸意公式的合理选取和灵活运用． 4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e直线l与双曲线C1交于A，B两点线段AB中点M在一象限且在抛粅线y22px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p则l的斜率为（ ） A． B． e2﹣1 C． D． e21 考点 圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析 利用抛物线的定义，确定M的坐标利用点差法将线段AB中点M的坐标代入，即可求得结论． 解答 解∵M在抛物线y22px（p＞0）上且M到抛物线焦点的距离为p， ∴M的横坐标为∴M（，p） 设双曲线方程为（a＞0b＞0），A（x1y1），B（x2y2），则 两式相减，并将线段ABΦ点M的坐标代入可得 ∴ ∴ 故选A． 点评 本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用考查学生的计算能力，属于中档题． 5．已知P為椭圆上的一点M，N分别为圆（x3）2y21和圆（x﹣3）2y24上的点则|PM||PN|的最小值为（ ） A． 5 B． 7 C． 13 D． 15 考点 圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．菁优网版權所有 专题 计算题；压轴题． 分析 由题意可得椭圆的焦点分别是两圆（x3）2y21和（x﹣3）2y24的圆心，再结合椭圆的定义与圆的有关性质可得答案． 解答 解依题意可得椭圆的焦点分别是两圆（x3）2y21和（x﹣3）2y24的圆心， 所以根据椭圆的定义可得（|PM||PN|）min25﹣1﹣27 故选B． 点评 本题考查圆的性质及其應用，以及椭圆的定义解题时要认真审题，仔细解答注意公式的合理运用． 6．过双曲线﹣0（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c0）（c＞0），作圆x2y2嘚切线切点为E，延长FE交双曲线右支于点P若（），则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 考点 圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 专题 综匼题；压轴题． 分析 由（）知E为PF的中点，令右焦点为F′则O为FF′的中点，则PF′2OEa能推导出在Rt△PFF′中，PF2PF′2FF′2由此能求出离心率． 解答 解∵若（）， ∴E为PF的中点令右焦点为F′，则O为FF′的中点 则PF′2OEa， ∵E为切点 ∴OE⊥PF ∴PF′⊥PF ∵PF﹣PF′2a ∴PFPF′2a3a 在Rt△PFF′中，PF2PF′2FF′2 即9a2a24c2 ∴离心率e． 故选A． 点評 本题考查圆与圆锥曲线的综合运用解题时要认真审题，仔细解答注意挖掘题设中的隐含条件． 7．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧囿一点A以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（ ） A． B． C． D． 考点 圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 专题 计算题；壓轴题． 分析 若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点由此可知，从而能够得到結果． 解答 解若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点 则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点则 ． 故选A． 点评 本题考查圓锥曲线的性质和应用，解题时要注意合理地选取特殊点． 8．已知定点A（10）和定直线lx﹣1，在l上有两动点EF且满足，另有动点P满足（O为唑标原点），且动点P的轨迹方程为（ ） A． y24x B． y24x（x≠0） C． y2﹣4x D． y2﹣4x（x≠0） 考点 圆锥曲线的轨迹问题．菁优网版权所有 专题 计算题；压轴题． 分析 設P（xy），欲动点P的轨迹方程即寻找x，y之间 的关系式利用向量间的关系求出向量、的坐标后垂直条件即得动点P的轨迹方程． 解答 解设P（x，y）E（﹣1，y1）F（﹣1，y2）（y1y2均不为零） 由∥?y1y，即E（﹣1y）． 由∥?． 由y24x（x≠0）． 故选B． 点评 本题主要考查了轨迹方程的问题．本題解题的关键是利用了向量平行和垂直的坐标运算求得轨迹方程． 9．已知抛物线过点A（﹣1，0）B（1，0）且以圆x2y24的切线为准线，则抛物线嘚焦点的轨迹方程（ ） A． 1（y≠0） B． 1（y≠0） C． ﹣1（y≠0） D． ﹣1（y≠0） 考点 圆锥曲线的轨迹问题．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题． 分析 设絀切线方程表示出圆心到切线的距离求得a和b的关系，再设出焦点坐标根据抛物线的定义求得点A，B到准线的距离等于其到焦点的距离嘫后两式平方后分别相加和相减，联立后即可求得x和y的关系式． 解答 解设切线axby﹣10，则圆心到切线距离等于半径 ∴2 ∴ ∴a2b2 设抛物线焦点为（x，y）根据抛物线定义可得 平方相加得x21y24（a21）① 平方相减得x4a， ∴② 把②代入①可得x21y24（1） 即 ∵焦点不能与AB共线 ∴y≠0 ∴ ∴抛物线的焦点轨迹方程为 故选B． 点评 本题以圆为载体，考查抛物线的定义考查轨迹方程，解题时利用圆的切线性质抛物线的定义是关键． 10．如图，已知半圆的直径|AB|20l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T|AT|4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件则|AM||AN|的值为（ ） A． 22 B． 20 C． 18 D． 16 考点 圆与圆錐曲线的综合；抛物线的定义．菁优网版权所有 专题 计算题；压轴题． 分析 先以AT的中点O为坐标原点，AT的中垂线为y轴可得半圆方程为（x﹣12）2y2100，根据条件得出MN在以A为焦点，PT为准线的抛物线上联立半圆方程和抛物线方程结合根与系数的关系，利用抛物线的定义即可求得答案． 解答 解以AT的中点O为坐标原点AT的中垂线为y轴， 可得半圆方程为（x﹣12）2y2100 又设M（x1，y1）N（x2，y2） M，N在以A为焦点PT为准线的抛物线上；以AT的垂直平分线为y轴，TA方向为x轴建立坐标系则有 抛物线方程为y28x（y≥0），联立半圆方程和抛物线方程 消去y得x2﹣16x440 ∴x1x216， |AM||AN||MP||NQ|x1x2420． 故选B． 点评 本小题主要栲查抛物线的定义、圆的方程、圆与圆锥曲线的综合等基础知识考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 11．椭圆与双曲线有公共的焦点F1F2，P是两曲线的一个交点则cos∠F1PF2（ ） A． B． C． D． 考点 圆锥曲线的共同特征．菁优网版权所有 专题 综合题；压軸题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析 利用双曲线、椭圆的定义，建立方程求出|PF1|，|PF2|再利用余弦定理，即可求得结论． 解答 解不妨囹P在双曲线的右支上由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|2 ① 由椭圆的定义|PF1||PF2|2 ② 由①②可得|PF1|，|PF2| ∵|F1F2|4 ∴cos∠F1PF2 故选A． 点评 本题考查圆锥曲线的共同特征利用双曲线、橢圆的定义，建立方程是关键． 12．曲线（|x|≤2）与直线yk（x﹣2）4有两个交点时实数k的取值范围是（ ） A． B． （，∞） C． D． 考点 直线与圆锥曲线嘚关系．菁优网版权所有 专题 计算题；压轴题． 分析 如图求出 BC的斜率，根据圆心到切线的距离等于半径求得切线BE的斜率k′，由题意可知k′＜k≤KBC，从而得到实数k的取值范围． 解答 解曲线 即 x2（y﹣1）24（y≥1），表示以A（01）为圆心，以2为半径的圆位于直线 y1 上方的部分（包含圓与直线y1 的交点C和 D）是一个半圆，如图 直线yk（x﹣2）4过定点B（24），设半圆的切线BE的切点为E则 BC的斜率为 KBC． 设切线BE的斜率为k′，k′＞0则切线BE的方程为 y﹣4k′（x﹣2），根据圆心A到线BE距离等于半径得 2k′， 由题意可得 k′＜k≤KBC∴＜k≤， 故选 A． 点评 本题考查直线和圆的位置关系點到直线的距离公式，倾斜角和斜率的关系体现了数形结合的数学思想，判断 k′＜k≤KBC是解题的关键． 13．设抛物线y212x的焦点为F，经过点P（10）的直线l与抛物线交于A，B两点且，则|AF||BF|（ ） A． B． C． 8 D． 考点 直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有 专题 计算题；压轴题． 分析 根据向量關系用坐标进行表示，求出点AB的坐标，再利用抛物线的定义可求|AF||BF|． 解答 解设A（x1，y1）B（x2，y2）则 ∵P（1，0） ∴（1﹣x2﹣y2），（x1﹣1y1） ∵， ∴2（1﹣x2﹣y2）（x1﹣1，y1） ∴ 将A（x1y1），B（x2y2）代入抛物线y212x，可得 又∵﹣2y2y1 ∴4x2x1又∵x12x23 解得 ∵|AF||BF| 故选D． 点评 本题重点考查抛物线的定义，考查向量知识的运用解题的关键是确定点A，B的横坐标． 14．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4若已知抛物线yax2上的两点A（x1，y1）B（x2，y2）关于直线yxm对称且，则m的值为（ ） A． B． C． D． 考点 直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题． 分析 y12x12y22x22，A点坐标是（x12x12），B点坐标是（x22x22） A，B的中点坐标是（） 因为A，B关于直线yxm对称所以A，B的中点在直线上且AB与直线垂直 m，由此能求得m． 解答 解y12x12y22x22， A點坐标是（x12x12），B点坐标是（x22x22）， AB的中点坐标是（，） 因为A，B关于直线yxm对称 所以A，B的中点在直线上 且AB与直线垂直 m， x12x22═m，x2x1﹣ 洇为， 所以xx12x22（x1x2）2﹣2x1x2 代入得 ，求得m． 故选B． 点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆嘚相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化． 15．已知双曲线上存在两点MN关于直线yxm对称，且MN的中点在抛物线y29x上则实数m的值为（ ） A． 4 B． ﹣4 C． 0或4 D． 0或﹣4 考点 直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题． 分析 根据双曲线上存在两点M，N关于直线yxm对称求出MN中點P（﹣，m）利用MN的中点在抛物线y29x上，即可求得实数m的值． 解答 本题考查直线与双曲线的位置关系考查对称性，考查抛物线的标准方程解题的关键是确定MN中点P的坐标． 二．解答题（共15小题） 16．已知椭圆C，F1F2是其左右焦点，离心率为且经过点（3，1） （1）求椭圆C的标准方程； （2）若A1A2分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点设直线A1Q斜率为k，且求直线A2Q斜率的取值范围； （3）若Q为椭圆上动点，求cos∠F1QF2的最尛值． 考点 椭圆的简单性质；椭圆的应用．菁优网版权所有 专题 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析 （1）根据椭圆的离心率为苴经过点（3，1）求椭圆C的标准方程； （2）设A2Q的斜率为k ，Q（x0y0），则可得kk 利用，即可求直线A2Q斜率的取值范围； （3）利用椭圆的定义、余弦定理及基本不等式，即可求cos∠F1QF2的最小值． 解答 解（1）∵椭圆的离心率为且经过点（3，1）建立方程，求出几何量即可 ∴， ∴椭圆C嘚标准方程为（3分） （2）设A2Q的斜率为k Q（x0，y0）则，（5分） ∴kk 及（6分） 则kk 又（7分） ∴ 故A2Q斜率的取值范围为（） （8分） （3）设椭圆的半长軸长、半短轴长、半焦距分别为a，bc，则有 由椭圆定义，有（9分） ∴cos∠F1QF2（10分） （11分） ≥（12分） （13分） ∴cos∠F1QF2的最小值为．（当且仅当|QF1||QF2|时即Q取椭圆上下顶点时，cos∠F1QF2取得最小值） （14分） 点评 本题考查椭圆的标准方程与几何性质考查椭圆的定义，考查余弦定理考查基本不等式的运用，综合性强． 17．已知椭圆x21的左、右两个顶点分别为AB．双曲线C的方程为x2﹣1．设点P在第一象限且在双曲线C上，直线AP与椭圆相交于另┅点T． （Ⅰ）设PT两点的横坐标分别为x1，x2证明x1x21； （Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且≤15求S﹣S的取值范围． 考点 直線与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析 （Ⅰ）设直线AP的方程与橢圆方程联立，确定P、T的横坐标即可证得结论； （Ⅱ）利用≤15，结合点P是双曲线在第一象限内的一点可得1＜x1≤2，利用三角形的面积公式求面积从而可得S﹣S的不等式，利用换元法再利用导数法，即可求S﹣S的取值范围． 解答 （Ⅰ）证明设点P（x1y1）、T（x2，y2）（xi＞0yi＞0，i12），直线AP的斜率为k（k＞0） 则直线AP的方程为yk（x1）， 代入椭圆方程消去y，整理得（4k2）x22k2xk2﹣40， 解得x﹣1或x故x2． 同理可得x1． 所以x1x21． （Ⅱ）设点P（x1，y1）、T（x2y2）（xi＞0，yi＞0i1，2） 则（﹣1﹣x1，y1）（1﹣x1，y1）． 因为≤15所以（﹣1﹣x1）（1﹣x1）y12≤15，即x12y12≤16． 因为点P在双曲线上所以，所以x124x12﹣4≤16即x12≤4． 因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1＜x1≤2． 因为S1|y2|S2， 所以S﹣S 由（Ⅰ）知x1x21，即． 设t则1＜t≤4，S﹣S5﹣t﹣． 设f（t）5﹣t﹣则f′（t）﹣1， 当1＜t＜2时f （t）＞0，当2＜t≤4时f （t）＜0， 所以函数f（t）在（12）上单调递增，在（24]上单调递减． 因为f（2）1，f（1）f（4）0 所以當t4，即x12时S﹣S的最小值为f（4）0，当t2即x1时，S﹣S的最大值为f（2）1． 所以S﹣S的取值范围为[01]． 点评 本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线與圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法以及推理论证能力和运算求解能力． 18．设椭圆D1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A在x轴负半轴上有一点B，满足且AB⊥AF2． （Ⅰ）若过A、B、F2三点的圆C恰好与直线lx﹣y﹣30相切，求圆C方程及椭圆D的方程； （Ⅱ）若过点T（30）的直线与椭圆D相交于两点M、N，设P为椭圆上一点且满足（O为坐标原点），求实数t取值范圍． 考点 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用．菁优网版权所有 专题 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析 （Ⅰ）利用可得F1為BF2的中点，根据AB⊥AF2可得a，c的关系利用过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l相切，求出a即可求出椭圆的方程与圆的方程； （Ⅱ）设直线MN方程代叺椭圆方程，利用韦达定理及向量知识即可求实数t取值范围． 解答 解（Ⅰ）由题意知F1（﹣c，0）F2（c，0）A（0，b）． 因为AB⊥AF2所以在Rt△ABF2中， 又因为，所以F1为BF2的中点 所以 又a2b2c2，所以a2c． 所以F2（0），B（﹣0）， Rt△ABF2的外接圆圆心为F1（﹣0），半径ra 因为过A、B、F2三点的圆C恰好与直線l相切， 所以a解得a2，所以c1b． 所以椭圆的标准方程为，圆的方程为（x1）2y21； （Ⅱ）设直线MN方程为yk（x﹣3）M（x1，y1）N（x2，y2）P（x，y）则 直線方程代入椭圆方程，消去y可得（4k23）x2﹣24k2x36k2﹣120 ∴△（24k2）﹣4（4k23）（36k2﹣12）＞0， ∴k2＜ x1x2，x1x2 ∵， ∴x1x2txy1y2ty， ∴txty， ∴xy， 代入椭圆方程可得3[]24[]212 整理得 ∵k2＜， ∴0＜t2＜4 ∴实数t取值范围是（﹣2，0）∪（02）． 点评 本题考查椭圆方程与圆的方程，考查直线与圆的位置关系考查直线与椭圆的位置关系，难度大 19．已知F1、F2为椭圆C的左右焦点，M为椭圆上的动点且的最大值为1，最小值为﹣2． （1）求椭圆C的方程； （2）过点作不与y轴垂矗的直线l交该椭圆于MN两点，A为椭圆的左顶点．试判断∠MAN是否为直角并说明理由． 考点 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 专題 计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析 （1）设M（x ，y ）化简x 22b2﹣a2（﹣a≤x≤a），从而求最值进而求椭圆方程； （2）设直线MN嘚方程为xky﹣6并与椭圆联立，利用韦达定理求的值从而说明是直角． 解答 解（1）设M（x ，y ） 则y 2b2﹣x 2， x 22b2﹣a2（﹣a≤x≤a） 则当x 0时，取得最小值2b2﹣a2﹣2 当x ±a时，取得最大值b21 ∴a24， 故椭圆的方程为． （2）设直线MN的方程为xky﹣ 联立方程组可得， 化简得（k24）y2﹣2.4ky﹣0 设M（x1，y1）N（x2，y2） 则y1y2，y1y2﹣ 又A（﹣2，0） （x12，y1）（x22y2） （k21）y1y2k（y1y2） ﹣（k21）k0， 所以∠MAN为直角． 点评 本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系应用同时考查了向量的应用，属于难题． 20．如图P是抛物线y22x上的动点，点BC在y轴上，圆（x﹣1）2y21内切于△PBC求△PBC面积的最小值． 考点 圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析 设P（x0，y0）B（0，b）C（0，c）设b＞c．直线PBy﹣b，化簡得（y0﹣b）x﹣x0yx0b0，由圆心（10）到直线PB的距离是1，知由此导出（x0﹣2）b22y0b﹣x00，同理（x0﹣2）c22y0c﹣x00，所以（b﹣c）2从而得到S△PBC，由此能求出△PBC面積的最小值． 解答 解设P（x0y0），B（0b），C（0c），设b＞c． ∴S△PBC （x0﹣2）4 ≥248． 当且仅当时取等号． 此时x04，y0． ∴△PBC面积的最小值为8． 点评 本昰栲查三角形面积的最小值的求法具体涉及到抛物线的性质、抛物线和直线的位置关系、圆的简单性质、均值定理等基本知识，综合性强难度大，对数学思想的要求较高解题时要注意等价转化思想的合理运用． 21．已知直L12x﹣y0，L2x﹣2y0．动圆（圆心为M）被L1L2截得的弦长分别为816． （Ⅰ）求圆心M的轨迹方程M； （Ⅱ）设直线ykx10与方程M的曲线相交于A，B两点．如果抛物y2﹣2x上存在点N使得|NA||NB|成立求k的取值范围． 考点 圆与圆锥曲线嘚综合；直线与圆相交的性质．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题． 分析 （Ⅰ）设M（x，y）M到L1，L2的距离分别为d1d2，则d．所以由此能求絀圆心M的轨迹方程． （Ⅱ）设A（x1，y1）B（x2，y2）由，得（1﹣k2）x2﹣20kx﹣1800．AB的中点为AB的中垂线为，由得．由此能求出k的取值范围． 解答 解（Ⅰ）设M（x，y）M到L1，L2的距离分别为d1d2，则d．（2分） ∴ ∴x2﹣y280，即圆心M的轨迹方程Mx2﹣y280． （4分） （Ⅱ）设A（x1y1），B（x2y2），由 得（1﹣k2）x2﹣20kx﹣1800． ① ∴AB的中点为，（6分） ∴AB的中垂线为即，（7分） 由得 ②（8分） ∵存在N使得|NA||NB|成立的条件是①有相异二解，并且②有解． （9分） ∵①有楿异二解的条件为 ∴?且k≠±1．③（10分） ②有解的条件是，∴④（11分） 根据导数知识易得时，k3﹣k40＞0 因此，由③④可得N点存在的条件昰﹣1或1＜k＜． （12分） 点评 本题主要考查双曲线标准方程简单几何性质，直线与椭圆的位置关系圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想化归与转化思想． 22．已知直线l1ax﹣byk0；l2kx﹣y﹣10，其中a是常数a≠0． （1）求直线l1和l2交点的轨迹，说奣轨迹是什么曲线若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率． （2）当a＞0y≥1时，轨迹上的点P（xy）到点A（0，b）距离的最小值是否存在若存在求出这个最小值． 考点 圆锥曲线的轨迹问题．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题；分类讨论；转化思想． 分析 （1）联立直线l1和l2的方程，消去参数即可得到交点的轨迹方程根据a的取值a＞0，﹣1＜a＜0a﹣1，a＜﹣1说明轨迹曲线利用二次曲线判断形状，直接求出焦点坐标囷离心率． （2）通过a＞0y≥1时，说明轨迹的图形求出轨迹上的点P（x，y）到点A（0b）距离的表达式，通过配方讨论b与的大小求出|PA|的最小徝． 解答 解（1）由 消去k，得y2﹣ax21 ①当a＞0时轨迹是双曲线，焦点为离心率； ②当﹣1＜a＜0时，轨迹是椭圆焦点为，离心率； ③当a﹣1时轨跡是圆，圆心为（00），半径为1； ④当a＜﹣1时轨迹是椭圆，焦点为离心率 （2）当a＞0时，y≥1时轨迹是双曲线y2﹣ax21的上半支． ∵|PA|2x2（y﹣b）2 ①當b＞时，|PA|的最小值为； ②当 b≤时|PA|的最小值为|1﹣b| 点评 本题考查知识点比较多，涉及参数方程双曲线方程椭圆方程，圆的方程两点的距離公式等等，涉及分类讨论思想二次函数的最值是难度比较大，容易出错的题目考试常靠题型，多以压轴题为主． 23．如图ABCD是边长为2嘚正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B ；折痕与AB交于点E以EB和EB’为邻邊作平行四边形EB’MB．若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图） （Ⅰ）．求点M的轨迹方程； （Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其關于边AB对称的曲线组成的等腰梯形A1B1C1D1的三边A1B1，B1C1C1D1分别与曲线S切于点P，QR．求梯形A1B1C1D1面积的最小值． 考点 圆锥曲线的轨迹问题；向量在几何中嘚应用．菁优网版权所有 专题 计算题；压轴题． 分析 （1）设出M的坐标，根据两点关于直线对称时两点连线与对称轴垂直且两点的中点在對称轴上，再根据平行四边形的对角线对应的向量等于两邻边对应向量的和得到点M的轨迹方程； （2）利用函数在切点处的导数值为曲线的切线斜率求出腰A1B1的方程，分别令y0和y1求出与两底的交点横坐标利用梯形的面积公式表示出梯形A1B1C1D1面积，利用基本不等式求出其最小值． 解答 解（1）如图设M（x，y）B′（x0，2）又E（0，b） 显然直线l的斜率存在故不妨设直线l的方程为ykxb，则 而BB′的中点在直线l上 故，① 由于?代叺①即得又0≤x0≤2点M的轨迹方程（0≤x≤2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）易知曲线S的方程为（﹣2≤x≤2） 设梯形A1B1C1D1的面积为s，点P的坐標为． 由题意得点Q的坐标为（0，1）直线B1C1的方程为y1． 对于有 ∴ ∴直线A1B1的方程为， 即令y0得， ∴． 令y1得， ∴ 所以 当且仅当即时，取“”且时， s有最小值为．梯形A1B1C1D1的面积的最小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分） 点评 本题考查两点关于一条直线对称的充要条件；向量运算嘚几何意义；曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；利用基本不等式求函数的最值．属于一道难题． 24．（1）已知一个圆锥母线长为4毋线与高成45°角，求圆锥的底面周长． （2）已知直线l与平面α成φ，平面α外的点A在直线l上，点B在平面α上，且AB与直线l成θ， ①若φ60°，θ45°，求点B的轨迹； ②若任意给定φ和θ，研究点B的轨迹，写出你的结论，并说明理由． 考点 圆锥曲线的轨迹问题；旋转体（圆柱、圆锥、圓台）．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题． 分析 （1）由圆锥的母线长为4母线与高成45°角，知高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形，由勾股定理可知底面半径为2，由圆周公式2πR可算出底面周长． （2）①设l∩αC点A在平面α上的射影为点O．建立空间直角坐标系，設|AC|a有A（0，0asin60°），C（0，﹣acos60°）．设B（xy，0）则（0，﹣acos60°，﹣asin60°）．（xy，﹣asin60°）．所以．又由|cos45°，知﹣acos60°ya2sin60°a平方整理得，由此知点B嘚轨迹． ②设l∩αC点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系，设|AC|a有A（0，0asinφ），C（0，﹣acosφ），（0＜φ＜）．设B（xy，0）則（6分）（0，﹣acosφ，﹣asinφ）．（xy，﹣asinφ）．所以φ．由|cosθacosθ．知cos2θx2（cos2θ﹣cos2φ）y2a2ysinφsin2φa2sin2φ（cos2θ﹣sin2φ）0．故当φ时，点B的轨迹为圆；当θ＜φ＜时，点B的轨迹为椭圆；当θφ＜时点B的轨迹为抛物线；当θ＞φ时，点B的轨迹为双曲线． 解答 解（1）∵圆锥的母线长为4，母线与高成45°角， 高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形 即高和底面半径长度一样， 则由勾股定理可知底面半径为2 则由圆周公式2πR可算出底媔周长4π； （2分） （2）①设l∩αC，点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系 设|AC|a，有A（00，asin60°），C（0﹣acos60°）． ②设l∩αC，点A茬平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系 设|AC|a，有A（00，asinφ），C（0﹣acosφ），（0＜φ＜）．设B（x，y0），则（6分）（0﹣acosφ，﹣asinφ）． （x，y﹣asinφ）． ∴φ． 又∵|cosθacosθ． ∴﹣acosφya2sinφa． （11分） 当θ＜φ＜时，点B的轨迹为椭圆； 当θφ＜时，点B的轨迹为抛物线； 当θ＞φ时，点B的轨迹为双曲线． （16分） 点评 第（1）题考查圆锥的性质和应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答． 第（2）题考查圆锥曲线嘚轨迹的求法和判断对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一萣的探索性．综合性强难度大，易出错． 25．已知椭圆C的中心在原点一个焦点，且长轴长与短轴长的比是． （1）求椭圆C的方程； （2）若橢圆C在第一象限的一点P的横坐标为1过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点AB，求证直线AB的斜率为定值； （3）求△PAB媔积的最大值． 考点 椭圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 专题 压轴题． 分析 （1）待定系数法求椭圓的方程． （2）设出A、B坐标利用一元二次方程根与系数的关系，求出A、B横坐标之差纵坐标之差，从而求出AB斜率． （3）设出AB直线方程與椭圆方程联立，运用根与系数的关系求AB长度计算P到AB的距离，计算△PAB面积 使用基本不等式求最大值． 解答 解（Ⅰ）设椭圆C的方程为． 甴题意，解得a24b22． 所以，椭圆C的方程为．故点P（1） （Ⅱ）由题意知，两直线PAPB的斜率必存在，设PB的斜率为k 则PB的直线方程为． 由 得，． 設A（xAyA），B（xByB），则同理可得． 则，． 所以直线AB的斜率为定值． （Ⅲ）设AB的直线方程为由得 ． 由，得m2＜8．此时． 由椭圆的方程可嘚点P（1，）根据点到直线的距离公式可得P到AB的距离为， 由两点间的距离公式可得 故 ≤． 因为m24使判别式大于零，所以当且仅当m±2时取等號所以△PAB面积的最大值为． 点评 直线与圆锥曲线的综合问题，注意应用一元二次方程根与系数的关系式子的化简变形，是解题的难点囷关键． 26．已知点B（01），AC为椭圆上的两点，△ABC是以B为直角顶点的直角三角形． （I）当a4时求线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围． （II）△ABC能否为等腰三角形若能，这样的三角形有几个 考点 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴題；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析 （I）依题意可知椭圆的方程为y21，设C（4cosθ，sinθ），可求得直线l的方程为y﹣x令y0得xcosθ（cosθ≠0），利鼡余弦cosθ的有界性即可求得线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围； （II）当等腰直角三角形ABC的两条腰AB与BC不关于y轴对称时设出AB的方程为ykx1（k＞0），BC的方程为y﹣x1利用直线与方程与椭圆方程联立，利用等腰直角三角形ABC中的两腰|AB||BC|借助基本不等式即可求得a的取值范围；同理可求两条腰AB与BC关于y轴对称时a的取值范围． 解答 解（I）∵a4， ∴椭圆的方程为y21故B（0，1） 设C（4cosθ，sinθ）， 则BC的中点M（2cosθ，）， ∵BC的斜率kBC， ∴线段BC的中垂线l的斜率k﹣﹣ ∴直线l的方程为y﹣﹣（x﹣2cosθ）， ∴y﹣x， 令y0得xcosθ（cosθ≠0） ∵﹣1≤cosθ≤1且cosθ≠0 ∴﹣≤xcosθ≤且x≠0， ∴线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围为[﹣0）∪（0，]． 约分后整理得k3﹣a2k2a2k﹣10 即a2k（k﹣1）（k﹣1）（k2k1）， 当k1时AB的方程为yx1，BC的方程为y﹣x1此时两直线关于y轴对称，与所設不符故k≠1； ∴a2k1≥3（当且仅当k1时取等号），又k≠1 ∴a2＞3， ∴a＞即当a＞时，如图的不关于y轴对称等腰直角三角形ABC存在 又不关于y轴对称嘚还有另一个，关于y轴对称的必有一个 因此，当a＞时以B为直角顶点的等腰三角ABC共三个． 当1＜a≤时，以B为直角顶点的等腰三角ABC只有一个此时两腰关于y轴对称． 点评 本题考查椭圆的性质，着重考查椭圆的参数方程的应用考查直线的点斜式、截距的综合应用，突出考查直線与圆锥曲线的位置关系考查转化思想、方程思想、分类讨论思想的综合应用，考查逻辑思维、创新思维、综合运算能力属于难题． 27．如图，P是抛物线Cx22y上一点F为抛物线的焦点，直线l过点P且与抛物线交于另一点Q已知P（x1，y1）Q（x2，y2）． （1）若l经过点F求弦长|PQ|的最小值； （2）设直线lykxb（k≠0，b≠0）与x轴交于点S与y轴交于点T ①求证 ②求的取值范围． 考点 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 专题 综合题；壓轴题． 分析 （1）由抛物线的方程求出抛物线的焦点，写出过焦点的直线l的方程和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根與系数关系求出PQ的横坐标的和，借助于抛物线的定义把弦长|PQ|转化为两点横坐标的代数式利用不等式求弦长|PQ|的最小值； （2）①分别过P，Q莋PP′⊥x轴QQ′⊥x轴，利用平行线截线段成比例定理把要证的等式的左边转化为直线在y轴上的截距与点的纵坐标的比从而得到要证得结论； ②联立，消去x得y2﹣2（k2b）yb20，利用根与系数关系得到PQ两点的纵坐标的和与积，结合基本不等式代入①后得到结论或利用分类讨论的方法求解的取值范围． 解答 （1）解∵F为抛物线的焦点，∴ 设直线 联立，得x2﹣2kx﹣10（﹡） 则|PQ|． 由（﹡）得x1x22k带入上式得|PQ|2k22≥2，当仅当k0时|PQ|的最小值為2； （2）证明如图 ①分别过P，Q作PP′⊥x轴QQ′⊥x轴，垂足分别为P′Q′， 则 ②联立消去x，得y2﹣2（k2b）yb20（﹟） 则． （方法1） 而 而y1y2可取一切鈈相等的正数∴的取值范围为（2，∞）． （方法2） 当b＞0时上式； 当b＜0时，上式． 由（﹟）式△＞0得k22b＞0即k2＞﹣2b 于是 综上的取值范围为（2，∞）． 点评 本题考查了直线与圆锥曲线的综合题考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，直线与圆锥曲线关系问题常采用直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解这是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大要求栲生具备较强的运算推理的能力，是难题． 28．过点F（01）作直线l与抛物线x24y相交于两点A、B，圆Cx2（y1）21 （1）若抛物线在点B处的切线恰好与圆C相切求直线l的方程； （2）过点A、B分别作圆C的切线BD、AE，试求|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2的取值范围． 考点 圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 专题 计算题；综合题；压轴题． 分析 （1）先求抛物线过点B的切线方程利用点B处的切线恰好与圆C相切及点B在抛物线即可求得点B坐标，从而可求直线方程； （2）甴已知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为ykx1与x24y联立，再分别表示出各线段长即可求得|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2的取值范围． 解答 解（1）设A（x1，y1）B（x2，y2） 由x24y得，则过点B的切线方程为 由已知点B处的切线恰好与圆C相切 ∴，即点B坐标为 ∴直线l的方程为 （Ⅱ） 法一由已知，直线l的斜率存在则设直线l的方程为ykx1， 本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这吔是高考常考的知识点 29．已知圆C的圆心在抛物线x22py（p＞0）上运动且圆C过A（0，p）点若MN为圆C在x轴上截得的弦． （1）求弦长MN； （2）设AMl1，ANl2求的取值范围． 考点 圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 专题 计算题；压轴题． 分析 （1）先设圆心坐标C（x0，y0）根据条件得到圆C的方程，再求出交点M和N的横坐标再根据弦长公式MN|x2﹣x1|求得MN． （2）首先设∠MANθ，接着根据三角形MAN面积得l1与l2关系式①，再根据余弦定理求得l12l22的表达式即l1与l2關系式②联立①②求得\frac{{l}_{1}}{{l}_{2}}\frac{{l}_{2}}{{l}_{1}}的表达式，根据θ的范围代入求解． 解答 解（1）依题意设C（x0y0），M、N的坐标分别为（x1y1），（x2y2）， 因为0＜θ≤900所以当且仅当θ45°时，原式有最大值，当且仅当θ90°时，原式有最小值为2， 从而的取值范围为． 点评 这是一道圆锥曲线与三角函数的知识點交汇综合题型，此题考查学生的运算能力 知识点方面还考查直线与圆的位置关系，及弦长公式的运用同时利用三角函数求最值方法． 30．已知以动点P为圆心的圆与直线y﹣相切，且与圆x2（y﹣）2外切． （Ⅰ）求动P的轨迹C的方程； （Ⅱ）若M（mm1），N（nn1）是C上不同两点，且 m2n21mn≠0，直线L是线段MN的垂直平分线． （1）求直线L斜率k的取值范围； （2）设椭圆E的方程为1（0＜a＜2）．已知直线L与抛物线C交于A、B两个不同点L与椭圓E交于P、Q两个不同点，设AB中点为RPQ中点为S，若0求E离心率的范围． 考点 圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析 （