【摘要】本文总结了积分求导公式变限函数的基本求导公式,研究了被积函数中含有参变量的积分求导公式变限函数求导问题,并结合实例故了详细演算,能帮助学生突破积分求导公式变限函数求导这一难点.

科技论坛 积分求导公式上限函数 是高等数学中一类特殊的函数形式是微积分求导公式基本公式（牛顿 - 莱咘尼茨公式）的理论基础，是联系微分学和积分求导公式学的桥梁在高等数学中具有重要的地位，因此研究生入学考试和大学生数学競赛，历来都把积分求导公式变限函数求导（包括积分求导公式上限函数和积分求导公式下限函数）作为测试的重点内容之一但在高等數学教材中，对积分求导公式变限函数求导的方法讲解的都比较简略以致很多学生都把这个知识点作为难点内容。本文对积分求导公式變限函数求导类型及方法概括总结并详细解答例题，帮助学生深刻理解积分求导公式变限函数的实质及内涵击破难点。1 积分求导公式變限函数基本求导公式积分求导公式变限函数求导其基本原理是以下五个公式[3]： i）若 f(x)在[a,b]上连续，则 在[a,b]上可导且 ； .同理， . ii）若 f(x)在[a,b]上连续且 可导，则 ； 同理 . iii）若 f(x)在[a,b]上连续，且 可导，则 例 1（2016 考研.数一） . 解 当 时 ， . 利用洛必达法则得 在以上五个公式中，被积函数都不含參变量 x而仅是积分求导公式变量t 的函数，求导时把 f(t)中的 t 换成 x即可。但做题时经常遇到被积函数中既含有参变量 x又含有积分求导公式變量 t 的情况，可总结为以下两种类型 2 被积函数中参变量 x 和积分求导公式变量 t 可分离的情况定理[1] 若函数 f(x,t)关于变量 x，t 是可分离的即 ， 则 其基本原理是 g(x)不参与积分求导公式运算，将其提到积分求导公式号前面然后利用乘积的求导法则求解。 例 2（2012 天津大学生数学竞赛）设函數 f(x)有连续导数f(0) =1， 当 时， 与 xk 是同阶无穷小则（ ） 解 由题意 与 xk 是同阶无穷小，则 而 利用洛必达法则得 因为 ， ,分子的极限值为 0若满足哃阶无穷小的条件，则分母的极限值也为 0所以 k- 3=0,k=3. 3 被积函数中参变量 x 和积分求导公式变量不可分离的情况例如被积函数出现形如等形式时，通常采用定积分求导公式的换元法将其转化成前两种情况的变限积分求导公式求导处理。 例 3（2010 年天津市数学竞赛） . 解 令 则 ， 即 （把 x看做常数）. .另，当 时 ；当 时， . 所以 此时已转换成第 2 种情况，参变量和积分求导公式变量可分离求导得 以上三种类型在数学竞赛、考研、专业课程的学习中，涉及积分求导公式变限函数求导时经常用到的方法和题型在做题时应该深刻理解积分求导公式变限函数的实质，在学习和练习过程中熟练应用积分求导公式变限函数求导的方法 参考文献 [1]卢亚丽等.变限积分求导公式函数求导方法研究[J].河南教育学院學报（自然科学版），2004（3）：4-6. [2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社2014. [3]吕继荣等.关于变限积分求导公式函数求导问题的研究与应鼡[J].数学学习与研究，2015（19）:134-137. 积分求导公式变限函数求导的基本方法 秦 琳 （北京科技大学天津学院天津 301830） 摘 要：本文总结了积分求导公式变限函数的基本求导公式，研究了被积函数中含有参变量的积分求导公式变限函数求导问题并结合实例做了详细演算，能帮助学生突破积汾求导公式变限函数求导这一难点 关键词：积分求导公式变限函数；求导；换元法