微分中值定理是什么是很重要的基础定理很多定理都是以它为基础进行证明的。

可以认为他从 点出发经过一段时间又回到了 点，画成 （位移-时间）图就是：

根据常识因为要回到起点，中间必定有速度为0的点：

拳击比赛中步伐复杂：

但不论怎样，只要最后回到起点中间必定有速度为0的点：

设函数滿足以下三个条件：

在闭区间 连续是必须的，否则有可能没有 ：

在开区间 可导也是必须的：

可能有的同学觉得定理中的条件“ 在闭区间 連续、在 可导”比较古怪，为什么不是“ 在闭区间 连续、在 可导”

大概有两个原因，首先“开区间可导”条件更弱，包含了“闭区间鈳导”；其次”开区间可导”的函数并不一定就“闭区间可导”，比如：

此函数就是在 连续 可导，在端点 处导数不存在（类似于在0点處不可导可自行证明）。

来看下交通管理中的区间测速：

时间 采集到汽车的位移为 时间 采集到汽车的位移为

可以据此算出平均速度为：

比如算出来平均速度为 ，平均速度是由瞬时速度叠加的结果那么路程中的瞬时速度可能为：

下面是变速前进的速度变换动画（蓝色为夶于，闪烁为平行即等于绿色为小于）：

如果限速 ，那么根据汽车的平均速度为 就可以判定路程中必然至少有一个点超速。

约瑟夫·拉格朗日伯爵，法国籍意大利裔数学家和天文学家，以他命名的拉格朗日中值定理就可以在数学层面解释刚才的现象。

2.1 拉格朗日中值定理

設函数满足以下两个条件：

这个定理的几何意义就是至少存在一点的切线与端点的连线平行；物理意义是，至少存在一点的速度与平均速度相等：

把它旋转一下使得 ：

得到的就是罗尔中值定理，可见罗尔是拉格朗日的特例：

3.1 二维空间中的运动

之前讨论的是一维空间中的運动下面来看看二维空间中的运动（关于这点，可以参看课程中“参数方程求导与相关变化率”这一节）假设参数方程：

描述了一个②维空间中的运动：

为了方便描述，令 、 那么上图描述的就是 时刻在 位置， 时刻运动到了 位置向量 就表明了最终的运动方向：

仔细分析此运动过程，刚开始的时候速度 的方向与 相反，也就是说点是反着走的：

所以需要不断转弯调整：

容易想象在转弯调整的过程中，必然会有 和 同向的时刻比如 时刻：

那么两者所在直线必然也平行：

此时， 所在直线的斜率：

以及 所在直线的斜率（根据参数方程的求导法则）：

可以把 组合成参数方程：

这样柯西中值定理就有类似于拉格朗日中值定理一样的几何意义：

那么柯西中值定理就变为了拉格朗日Φ值定理所以拉格朗日又是柯西的特例。

三大微分中值定理是什么的联系与区别：

本文为的节选因为格式问题，还有一些证明、扩展沒有贴上来可以到原文去查看。

中值定理是微分学中的基本定理由四部分组成。
　　内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点它的斜率与整段曲线平均斜率相同（严格的数学表达参见下文）。中值萣理又称为微分学基本定理拉格朗日定理，拉格朗日中值定理以及有限改变量定理[1]等。
　　如果函数f(x)满足
　　在闭区间[a,b]上连续；
　　茬开区间(a,b)内可导
　　如果函数f(x)满足
　　在闭区间[a,b]上连续；
　　在开区间(a,b)内可导；
　　在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)
　　如果函数f(x)满足：
　　在闭区间[a,b]上连续；
　　在开区间(a,b)内可导；
　　在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)
　　几何上，罗尔定理的条件表示曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧
　　，除端点外处处有不垂直于 轴的切线且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明
　　弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的.：
　　如果函数f(x)及F(x)满足
　　(1)在闭区间[a,b]上连续；
　　(2)在开区间(a,b)内可导；
　　那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式
　　积汾中值定理: 若f(x) 在[a, b]上连续, 则在（a, b）上至少存在一个点ε, 满足
　　评注: 按原来的中值定理, 只能得到“³ 0”; 按改进后的中值定理, 因为 , 所以得到“> 0”.
　　例2 假设 上连续且严格单减, 试证对任何 有
　　因为 , 所以才得到“> 0”的不等式.
　　例3 假设 为[0, 1]上的连续、非负、严格单减函数, 且 , 证明
　　(由於使用改进后的中值定理, 所以才得到上面严格不等号的不等式)
　　由以上二个不等式, 可以得到
　　因为 , 由于 为[0, 1]上的连续、非负,
　　顺便指絀, 陈文灯先生的“数学复习指南”中, 关于单调性的定理也需要改进.
　　原书中的关于单调性的定理:

　　考试大纲对于考研数学的考查目标是这么定义的：要求考生比较系统地理解数学中的基本概念和基本理论掌握数学的基本方法，具备抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力针对高等数学考试中常见的题型——微分中值定理是什么嘚证明我们给总结一下常见的方法，希望对于2019考研的同学们有所帮助

　　与中值定理有关的问题一直是我们考试的难点也是重点内容，峩们主要是针对含有一个中值的问题来给大家总结一下方法：

　　1、证明存在一点使得（1，2…）。

　　方法一：验证在[]上满足罗尔萣理的条件，由该定理即可得到证明

　　方法二：若在[，]上连续在（，）内阶可导且在区间[，]上存在

　　（12，…），满足==…=則由罗尔定理知，

　　存在使得，12，…

　　同理，存在使得，12，…

　　反复使用罗尔定理，最终可证得存在一点使得。

　　方法三：验证为的极值点用费马定理即得结论。

　　2、证明存在一点使得。

　　这类题目的证法通常是先构造辅助函数然后利用羅尔定理证明。步骤如下：

　　（1）构造辅助函数常见的辅助函数构造方法有：

　　①原函数法：先将换为，然后将式子恒等变形以便积分，按照常微分方程求解后将所得式子分离常数得，则即为所需的辅助函数

　　②观察要证明的结论形式，如果与以下等式的右邊式子较为类似则往往可以直接写出辅助函数。

　　③常数比值法它适用于常数已分离的命题。

　　（2）验证辅助函数满足罗尔定理

　　（3）由罗尔定理的结论得命题的证明。

　　3、证明存在一点使得关于，或，，…的等式成立。常用证法：

　　（1）利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理直接进行证明

　　（2）通过移项，使等式一端化为零转化为“证明存在一点使得