1 函数图像的对称性对称性问题的幾个典型错解剖析 张长雁 （甘肃省永登县第二中学 730302） 摘要：函数图像的对称性对称性问题是学生学习的难点本文以八个问题为载体，总結函数图像的对称性对称性的三 类典型问题通过错解剖析，澄清关系提高认识，优化思维品质. 关键词：函数图像的对称性 图象 对称 问題 剖析 学生 思维 我们知道如果一个函数图像的对称性具有单调性、周期性以及奇偶性，那么这个函数图像的对称性图象不但自 , arcsinx y ? 在 上是增函数图像的对称性与原函数图像的对称性具有相同的单调性.对于一个具体的函数图像的对称性而言，我们可以 ? ? 1 , 1 ? ? x 通过研究它的圖像来获得它的性质如果研究和考察的是未知函数图像的对称性，那么就要另当别论了. 现就函数图像的对称性对称性问题的几个典型错誤进行剖析以便澄清关系，呈现规律提高认识. 一、问题呈现 1.如果一个函数图像的对称性图象与它的反函数图像的对称性图象有交点，那么交点一定在直线 上吗 x y 上述八个问题总体上可以划分为三类，第一类型是原函数图像的对称性与反函数图像的对称性图象交点对称问題 第二类型是函数图像的对称性图象自对称性问题；第三类型是两个函数图像的对称性图象的对称性问题，即函数图像的对称性互对 称問题.同时学生错解也分为三种典型错误. 1.片面理解原函数图像的对称性与反函数图像的对称性图象的交点与其对称轴位置关系，从而造成叻知识性错误. 问题1探讨的是原函数图像的对称性与其反函数图像的对称性图象的对称性属于第一类型问题.容易知道原函数图像的对称性 與反函数图像的对称性图象关于直线 对称，如果它们的图象有交点那么交点与直线 位置关 x y ? x y ? 系还要依赖于原函数图像的对称性的单调性.为了说明这个问题，首先我们证明一个定理: 定理：已知原函数图像的对称性与反函数图像的对称性图象有交点假若原函数图像的对称性为增函数图像的对称性，那么交点一定在直线 上相反，原函数图像的对称性是减函数图像的对称性那么它们的交点在直线 上或者关於直线 对称. x y ? x y ? x y ? 特例：函数图像的对称性 在 上的反函数图像的对称性就是本身，而且原函数图像的对称性与反函数图像的对称性都 x 对称.綜上所述定理得证. ? ? b a M , ) , ( a b N x y ? 因此，学生错解原因是没能准确理解原函数图像的对称性与反函数图像的对称性图象对称实质犯了以偏盖全嘚 知识性错误. 2.混淆函数图像的对称性图象自身对称性和函数图像的对称性周期性，导致了认知性错误.

函数图像的对称性的性质是竞赛囷高考的重点与热点函数图像的对称性的对称性是函数图像的对称性的一个基本性质，利用函数图像的对称性的对称性往往能更简捷地解决数学问题本文拟通过函数图像的对称性自身的对称性和不同函数图像的对称性之间的对称性这两个方面来探讨函数图像的对称性与對称有关的性质。

一、函数图像的对称性自身的对称性的几个重要结论：

注意:命题中函数图像的对称性的周期未必是最小正周期

二、不哃函数图像的对称性对称性的探究

三、三角函数图像的对称性图像的对称性列表

四、函数图像的对称性对称性应用举例

解析：由已知f(x)是2为周期的偶函数图像的对称性，当x∈[3,5]时

由图易知f(x)在[0,1]是减函数图像的对称性，从而排除AB; f(x)在[-1,0]是增函数图像的对称性，从而排除C; 故选D

(A)是偶函數图像的对称性，也是周期函数图像的对称性 ; (B)是偶函数图像的对称性但不是周期函数图像的对称性;

(C)是奇函数图像的对称性，也是周期函數图像的对称性; (D)是奇函数图像的对称性但不是周期函数图像的对称性。

∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴因此f (x)还是一个偶函数图像的对称性。故选(A)

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