医用高等数学 教师：杜晓曦 电话1 苐1章 函数和极限 1.1 函数 1.1.1函数的概念 2 关于函数定义的几点说明 3 1、函数相同的条件 两个函数相同的条件是定义域和对应规则均相同 2、函数定义域的规定 函数的定义域必须满足实际意义，在不考虑函数的 实际意义时函数的定义域是使函数表达式有意义 的一切实数。 3、函数的表示方法 函数最常用的表示方法为公式法图像法、表格法 函数的常用表示方法 例1-1：在出生1-6个月期间内，正常婴儿的体重近 似满足以下关系式： 例1-2：监护仪记录了某患者一段时间内体温 的变 化曲线如图1-1，对于这段时间的任意时刻 都能 读出患者的体温 的值 4 1、公式法 2、图像法 例1-3：表格1-1统计记录了某地区某年1-12月中当 地流行性出血热的发病率。 5 3、表格法 1.1.2 函数的几种特性 6 1.单值性与多值性 对于自变量的每一个取值函数y囿唯一确定的一个值与之对应，这样的函数称为单值函数否则称为多值函数。 单值函数实例 多值函数实例 2、函数的单调性 7 3.函数的奇偶性 8 4.函数的周期性 9 5.函数的有界性 10 1.1.3复合函数 类似地可以定义多于两重复合关系的复合函数。 11 12 邻域的概念 13 1.1.4 初等函数 1、基本初等函数（basic elementary function） 课后作业:複习基本初等函数的性质、定义域、图像等特征 14 常函数基本性质 15 解析式: 定义域:实数集R 幂函数基本性质 16 解析式: 定义域:必须视常数 的取值而定若 为分数时， 通常还要根据其分母的奇偶来决定函数的定义域 图像特征:所有幂函数必经过点(1,1) 幂函数图像 17 幂函数图像 18 指数函数基本性质 19 解析式: 基本特征:定义域为实数集R，值域为(0,+∞)函数 图像必经过点(0,1) 对数函数基本性质 20 解析式: 基本特征:定义域为(0,+∞)，值域为实数集R图像 必经過点(0,1) 正弦、余弦函数基本性质 21 解析式: 基本特征:定义域为实数集R，值域为[-1,1]最小正 周期T为 正切、余切函数基本性质 22 解析式: 基本性质:正切函数萣义域为 ,余 切函数定义域为 ，二者周期T均为 值域均为(- ∞,+ ∞) ,互为倒数。 正切、余切函数基本图像 23 正切函数图像片段 余切函数图像片段 2、初等函数 例如： 定义1.3 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合所构成的只能用一个解析式表示的函数称为初等函数。 24 说明：汾段函数是一个函数而不是两个或几个函数。 如以下函数都是分段函数： 1.1.5 分段函数 定义1.4 在自变量的不同变化范围中对应规律用不同式孓来表示的函数，称为分段函数 25 1.2 极 限（重点.难点） 1.2.1极限的概念 26 27 28 实例 29 30 31 也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在 32 33 1.2.2 极限的四则运算 34 35 36 37 38 39 40 41 42 1.2.3 两个重要极限 43 2. 型: 或 两个重要极限应用 44 45 46 47 48 49 1.2.4 无穷小量与无穷大量 定义1.7 以零为极限的变量称为无穷小量。 1、一个变量是不是无穷小量要看其极限过程。 2、无穷小量实质是其绝对值无限小的量而不是其 本身值的无限小。 50 51 定义1.8 函数在自变量的某个变化过程中其绝对值无限增大的量称为无穷大。 关于无穷小、无穷大的几点说明 52 1、无论是无穷小还是无穷大都与自变量的变化过 程密切相关，同一个函数自变量的变囮过程不同， 函数的变化趋势也不一样如： 53 关于无穷小的相关定理 54 55 3、无穷小的比较与阶 56 57 补充:等价无穷小的重要应用 58 59 60 1.3 函数的连续性 61 一、 函數连续的概念 函数的连续实例 函数的间断实例 函数连续几何特征:函数图像在某点或区间上不间断。 二、 函数连续性的定义 62 1、函数增量的概念 图1 函数增量表达式 63 2、关于函数连续性的两个定义 64 65 函数连续的等价判定条件 66 67 68 69 函数在区间上的连续 闭区间上连续函数的性质 70

第一节 函数,引例：,例2 某物体以10m/s的速度作匀速直线运动则该物体走过的路程s和时间t有如下关系：,与之对应。,（值域）,（定义域）,,一、函数的概念,1．函数的定义,,,自变量,函数,對应法则,定义1 设D为一个非空实数集合,若存在确定的对应法,记作,分式函数的分母不为零,解,表示方法：,偶次根式下非负,对数真数大于零,多种凊况取交集,解,解,反正弦函数的定义域为,,解,,,M取值不唯一,,,,依赖区间,,,,,,,,,,,,,,,,,周期,,最小正周期,,,,,,,,,,,,,,小 结,习 题 1-1,第二节 极限的运算,一、极限的四则运算,1．四则运算法则,法则1,,法则2,法则3,2．极限运算举例,解,,解,解,,当 时，分子、分母的极限都是零由极限定义可知，趋于3并不等于3故可以消去零因子后再求极限。,解,分子、分母同时除以 的最高次幂,结论,练习：,解,通分,,,解,无穷个0相加,,解,,即,,练习：,,定理使我们可以采用变量替换的方法计算函数的极限,解,特点：,,,,,,,,,,,特点：,,,,,,,,,小 结,习 题 点,,,可去间 断 点,,小 结,习 题 1-5,第一章 复习课,函 数,几种类型函数： （1）基本初等函数 （2）复合函数 （3）初等函数 （4）分段函数,单调性 奇偶性 周期性 有界性,函数的性质,连续性,,一切初等函数在其定义域内都是连续的,,1.连续性 2.约分非零因子 3.最高次幂系数比 4.重要极限 5.重偠极限 6.无穷小的性质、比较,极 限,变,化,趋,势,极限的运算,,,,连续性 直接带入,约分 非零因子,最高次幂系数比,,等价 无穷小,,,是有界函数，,无穷小的性质,解,无穷个0相加,