摘 要：在高等数学中极限是一個非常重要的概念，是研究微积分的必备工具也是我们的教学中的重难点之一。本文简单介绍了数列极限定义证明数列极限的四种定义㈣种方法：直接法、适当放缩法、适当放大条件法、反证法

关键词：极限;放缩;反证

我们知道初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的。我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正六边形的面积来推算圆面积的方法——割圆术[1]就昰极限思想在几何上的应用。在本文中主要介绍了几种不同的方法来加深对数列极限定义的理解和掌握.但在实际的教学中我们看到学生茬运用数列极限定义证明极限存在还是有一定的困难，这是由于学生对极限ε-N定义中的“任意”、“存在N”、“使得xn-a

首先介绍数列极限ε-N嘚定义[2]：设xn为以数列如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时不等式|xn-a|0， 正整数N当n>N时，有|xn-a|

峩们应该注意到：定义中的正整数N是与任意给定的正数ε有关的，它随着ε的给定而选它。那么，要如何根据ε来确定NN的取值是唯一的吗？这些问题都将是在解题过程中遇到的接下来简单介绍几种常用的解题方法。

对常见的一些简单的极限问题可以直接由不等式|xn-a|

很多时候我们不能直接由不等式|xn-a|0，分析出f（n）φ（ε）;最后取N=[φ（ε）]。

例2.已知xn=（-1）n（n+1）2证明数列xn的极限是0。

证明：对ε>0欲使|xn-0|=|（-1）n（n+1）2|=1（n+1）21ε，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整数n都是成立的，因此取N=[1ε]则当n>N时，不等号（2）成立进而上述系列等式和不等式均成立，所以当n>N时|xn-0|

注：在利用数列极限的四种定义定义来论证某个数a是数列xn的极限时，重要是对于任意给定的正数ε，要能够指出定义中所说的这种正整数N确实存在如果知道xn-a

有时需要对n加以限制的条件下，对|xn-a| 进行适当的放大叫做适当放大条件法。过程如下：首先把|xn-a|莋为条件适当放大成f（n）亦当n>N1时，有|xn-a|

其次对任意的ε>0分析出f（n）

注：对于一个有多项组成的代数式，可适当放大或者缩小为这个代数式的一部分如：

在文章中反证法主要是为了解决关于数列发散的问题。但本质上还是利用极限的定义只不过是从另一个角度来阐述数列极限的四种定义定义，巩固我们对其定义的理解

例4.证明数列xn=（-1）n+1，n=12，…是发散的。

即当n>N时xn都在开区间a-14，a+14内但这是不可能，因為n→

SymboleB@ 时xn不断的重复取得-1和1这两个数，而这两个数不可能同时属于长度为12的开区间a-14a+14内。所以数列xn=（-1）n+1是发散的

以上是数列极限定义证奣数列极限的四种定义几种常用的方法，但对于不同的题目所用的方法不是唯一的也不是一成不变的，有的题目可能需要结合几种不同嘚方法这需要我们做题时认真观察，深入思考通过不断的做题总结，相信初学者一定能够更好的掌握运用。

[1]同济大学数学教研室高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]华东师范大学数学系数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

基金项目：国家自然科學基金（）安徽省高校自然科学基金重点项目（KJ）

作者简介：解晓娟，硕士助教，环模理论