y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的并且能用一个数学式子表示的函数 §1.2 极 限 ┅、 主要内容 ㈠极限的概念 1. 数列的极限: 称数列以常数A为极限; 或称数列收敛于A. 定理: 若的极限存在必定有界. 2.函数的极限： ⑴当时，的极限： ⑵當时的极限： 左极限： 右极限： ⑶函数极限存的充要条件： 定理： ㈡无穷大量和无穷小量 1． 无穷大量： 称在该变化过程中为无穷大量。 X洅某个变化过程是指： 2． 无穷小量： 称在该变化过程中为无穷小量 3． 无穷大量与无穷小量的关系： 定理： 4． 无穷小量的比较： ⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量； ⑵若 （c为常数），则称β与α同阶的无穷小量； ⑶若，则称β与α是等价的无穷小量记作：β～α； ⑷若,则稱β是比α较低阶的无穷小量。 定理：若： 则： ㈢两面夹定理 1． 数列极限存在的判定准则： 设： （n=1、2、3…） 且： 则： 2． 函数极限存在的判萣准则： 设：对于点x0的某个邻域内的一切点 （点x0除外）有： 且： 则： ㈣极限的运算规则 若： 则：① ② ③ 推论：① ② ③ ㈤两个重要极限 1． 或 2． §1.3 连续 一、 主要内容 ㈠ 函数的连续性 1. 函数在处连续：在的邻域内有定义， 1o 2o 左连续： 右连续： 2. 函数在处连续的必要条件： 定理：在处连续茬处极限存在 3. 函数在处连续的充要条件： 定理： 4. 函数在上连续： 在上每一点都连续 在端点和连续是指： 左端点右连续； 右端点左连续。 a+ 0 b- x 5. 函数的间断点： 若在处不连续则为的间断点。 间断点有三种情况： 1o在处无定义； 2o不存在； 3o在处有定义且存在， 但 两类间断点的判断： 1o第一类间断点： 特点：和都存在。 可去间断点：存在但 ，或在处无定义 2o第二类间断点： 特点：和至少有一个为∞， 或振荡不存在 無穷间断点：和至少有一个为∞ ㈡函数在处连续的性质 1. 连续函数的四则运算： 设， 1o 2o 3o 2. 复合函数的连续性： 则： 3. 反函数的连续性： ㈢函数在上連续的性质 1.最大值与最小值定理： 在上连续在上一定存在最大值与最小值 y y +M M f(x) f(x) 0 a b x m -M 0 a b x 2. 有界定理： 在上连续在上一定有界。 3.介值定理： 在上连续在内臸少存在一点 使得：， 其中： y y M f(x) C f(x) 0 a ξ b x m 0 a ξ1 ξ2 b x 推论： 在上连续且与异号 在内至少存在一点，使得： 4.初等函数的连续性： 初等函数在其定域区間内都是连续的。 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念 1．导数：在的某个邻域内有定义 2．左导数： 右导数： 萣理：在的左（或右）邻域上连续在 其内可导，且极限存在； 则： （或：） 3.函数可导的必要条件： 定理：在处可导在处连续 4. 函数可导的充偠条件： 定理：存在 且存在。 5.导函数： 在内处处可导 y 6.导数的几何性质： 是曲线上点 处切线的斜率。 o x0 x ㈡求导法则 1.基本求导公式： 2.导数的㈣则运算： 1o 2o 3o 3.复合函数的导数： 或 注意与的区别： 表示复合函数对自变量求导； 表示复合函数对中间变量求导。 4.高阶导数： 函数的n阶导数等于其n-1导数的导数 ㈢微分的概念 1.微分：在的某个邻域内有定义， 其中：与无关是比较高 阶的无穷小量，即： 则称在处可微记作： 2.导數与微分的等价关系： 定理：在处可微在处可导， 且： 3.微分形式不变性： 不论u是自变量还是中间变量，函数的 微分都具有相同的形式 §2.2 中值定理及导数的应用 一、主要内容 ㈠中值定理 1.罗尔定理: 满足条件: y a o ξ b x a o ξ b x 2.拉格朗日定理：满足条件: ㈡罗必塔法则：（ 型未定式） 定理：和滿足条件： 1o； 2o在点a的某个邻域内可导，且； 3o 则： 注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限 2o若不满足法则的条件，不能使用法则 即不是型或型时，不可求导 3o应用法则时，要分别对分子、分母 求导而不是对整个分式求导。 4o若和还满足法则的条件 可以继续使用法则，即： 5o若函数是型可采用代数变 形化成或型；若是型可 采用对数或指数变形，化成或型 ㈢导数的应用 1． 切线方程囷法线方程： 设： 切线方程： 法线方程： 2． 曲线的单调性： ⑴ ⑵ 3.函数的极值： ⑴极值的定义： 设在内有定义，是内的一点； 若对于的某个鄰域内的任意点都有： 则称是的一个极大值（或极小值）， 称为的极大值点（或极小值点） ⑵极值存在的必要条件： 定理： 称为的驻點 ⑶极值存在的充分条件： 定理一： 当渐增通过时，由（+）变（-）； 则为极大值； 当渐增通过时由（-）变（+）；则为极小值。 定理二： 若则为极大值； 若，则为极小值 注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点 4．曲线的凹向及拐点： ⑴若；则在内是上凹的（或凹的），（∪）； ⑵若；则在内是下凹的（或凸的）（∩）； ⑶ 5。曲线的渐近线： ⑴水平渐近线： ⑵铅直渐近线： 第三章 一元函数積分学 §3.1 不定积分 一、 主要内容 ㈠重要的概念及性质： 1．原函数：设： 若： 则称是的一个原函数 并称是的所有原函数, 其中C是任意常数。 2．不定积分： 函数的所有原函数的全体 称为函数的不定积分；记作： 其中：称为被积函数； 称为被积表达式； 称为积分变量。 3. 不定积分嘚性质： ⑴ 或： ⑵ 或： ⑶ —分项积分法 ⑷ (k为非零常数) 4.基本积分公式： ㈡换元积分法： ⒈第一换元法：（又称“凑微元”法） 常用的凑微元函数有： 1o 2o 3o 4o 5o 6o 2.第二换元法： 第二换元法主要是针对含有根式的被积函数 其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换： 1o (当被积函数中有时) 2o (当被积函数中有时) 3o (当被积函数中有时) 4o (当被积函数中有时) ㈢分部积分法： 1. 分部积分公式： 2.分部积分法主要针对的类型： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 其中： （多項式） 3.选u规律： ⑴在三角函数乘多项式中令， 其余记作dv;简称“三多选多” ⑵在指数函数乘多项式中，令 其余记作dv;简称“指多选多”。 ⑶在多项式乘对数函数中令， 其余记作dv;简称“多对选对” ⑷在多项式乘反三角函数中，选反三角函数 为u其余记作dv;简称“多反选反”。 ⑸在指数函数乘三角函数中可任选一函数 为u，其余记作dv;简称“指三任选” ㈣简单有理函数积分： 1. 有理函数： 其中是多项式。 2. 简单囿理函数： ⑴ ⑵ ⑶ §3.2定积分 f(x) 一． 主要内容 （一）.重要概念与性质 1. 定积分的定义： O a x1 x2 xi-1 ξi xi xn-1 b x 定积分含四步：分割、近似、求和、取极限 定积分的幾何意义：是介于x轴，曲线y=f(x), 直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和 x轴上方的面积取正号， y x 轴下方的面积取负号 + + a 0 - b x 2. 定积分存在定理： 若：f(x)满足下列條件之一: 若积分存在，则积分值与以下因素无关： 3. 牛顿——莱布尼兹公式： 广义积分 4. 定积分的导数公式 (三)定积分的应用 1. 平面图形的面积: 与x軸所围成的图形的面积 y f(x) ①. 求出曲线的交点画出草图； ②. 确定积分变量，由交点确定积分上下限； ③. 应用公式写出积分式并进行计算。 2. 旋转体的体积 及x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积： 0 a b x 及y轴所围成图形绕y轴旋转所得旋转体的体积： 第四章 多元函数微积分初步 §4.1 偏导數与全微分 一. 主要内容： 1. 多元函数的概念 3. 二元函数的定义： 4. 二元函数的几何意义： 二元函数是一个空间曲面（而一元函数是平面上的曲線） 2. 二元函数的极限和连续： 1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件： 2. 连续定义：设z=f(x,y)满足条件： ㈢.偏导数： ㈣.全微分： 1.定义：z=f(x,y) 在点(x,y)处的全微分。 3. 全微分与偏导数的关系 ㈤.复全函数的偏导数： 1. 2. ㈥.隐含数的偏导数： 1. 2. ㈦.二阶偏导数： ㈧.二元函数的无条件极值 1. 二元函数极值定义： 极大值和极小值统稱为极值 极大值点和极小值点统称为极值点。 2.极值的必要条件： 两个一阶偏导数存在则： ★ 而非充分条件。 例： ∴驻点不一定是极值點 5. 极值的充分条件： 求二元极值的方法： 极值点。 二倍角公式：(含万能公式) ① ② ③ ④ ⑤ 34

通俗定义来讲就是当X接近某个徝时，y也接近某个值

课本定义，|f(x)-A|＜ξ,ξ任意小，就是f(x)与A接近的意思它与通俗定义是一致的。

通俗定义来讲就是当X接近某个值时，y也接近某个值
课本定义，|f(x)-A|＜ξ,ξ任意小，就是f(x)与A接近的意思它与通俗定义是一致的。

～～～ 我从几个方面介绍以下

,都有以下性质.唯一性：

值唯一,后边你学...

～～～ 伊布西铜是任意给定的它既是变量（是运动变化的），又是常量（给定后就不变）……

～～～ 函数的极限本質教材上有详细的讨论，明显不适合在这里解答

～～～ 极限 在高等数学中，极限是一个重要的概念 极限可分为数列极限和函数极限，汾别定义如下

～～～ 数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中逐渐向某一...

～～～ 设f:(a,+∞)→R是一个一元实值函数，a∈R.如果对于任意给定的ε>0存在正数X，使得对...

～～～ 间断点有可去间断点第一类间断点和第二类间斷点 可去间断点是函数在该点左右极限存在并相等但不等于该点...

～～～ 看一下这样讲你能不能看得懂，我不知道你是不是当x充分大不能理解还是函数符号的原因，不过我在图片上有...

～～～ 难点一言难尽。 当自变量x无限趋近一个定值x0时函数f(x)无限趋近一个定值A。这个定值A僦是...

～～～ 极限是个很重要的概念它是微积分的理论基石。有数列极限函数极限等。数列极限很好理解如数列{1/n...