《数学之友》年第期中考数学最徝问题解析徐友勇江苏省 泰 州市姜堰区溱潼第二中学最值型问题广泛出现于近几年的中考试卷中点评：本题问构建一次函数的模型结合洎这是由于这类问题具有很强的探索性，解题时需要变量的取值范围利用了一次函数的单调性求最值运用动态思维以及数形结合、特殊与┅般、逻辑推理例宿迁如图在梯形中，仙与合情想象相结合等思想方法最值型应用问题贴况°且仙，点队近生活、贴近社会，有利于体现数学的人文价值和社点出发沿方向运动，过点作交边会价值有利于考查学生的分析、猜想、建模和综合于点将沿所在的直线折叠得到应鼡等各方面的能力，直线、分别交仙于点、当过“最值”问题大都归于以下三类基本模型：点时，点即停止运动设与梯形的重叠部分嘚面积为 函数模型函数模型的应用是数学应用问题的主要类型之―，从数学角度理解问题、分析问题将实际问题抽象成数学问题建立函數模型，再根据函数的性质 结合自变量的取值范围从而求出最值例常州）某饮料厂以千克的证明是等腰三角形；种果汁和千克的种果汁为原料配制生产甲、（当过点时 如图求：的值；乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含千克（将表示成：的函数并求的最大值种果汁含千克种果汁；每千克乙种饮料含（证明如图￡尸仙，乙千克种果汁含千克种果汁 饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共千克设该厂生產与关于对称，甲种饮料玖千克列出满足题意的关于的不等式组并求出的取值范围；厶―是等腰三角形；已知该饮料厂的甲种饮料销售價是每千（解：如图，作丄于点仏克元乙种饮料销售价是每千克元，那么该饮°料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批。，又°饮料销售总金额最大四边形是矩形， 解（设该厂生产甲种饮料无千克则生产乙种饮料幻千克，根据题意在中， ①由勾股定理得丨 幻彡②由①，得由②得，所以尤的取’￡— 丁 值范围是忘设这批饮料销售总金额为如图丁太 ’，根据题意得 ??，艮当工时，这批饮料销售 总在厶中 金额最大，为元厶《数学之友》年第期：解：作关于的对』 称点込连接交卯于戶 ，连接过作丄 在’于则此時的值由勾股定理得力》，最小解得无，‘‘当孤过点时欠巧；解：当点在梯形内部或边上，时由勾股定理得，当点在边仙上时甴三角形耐公式得，欠，此时尤彡￥则当时，最大值为°°°当点在梯形外时°°‘■丄°丫， 即由勾股定理得 薦入±，由⑵知，在二遞中，由勾股定理得即的最小值是故选当文时最大值为，由于点评：本题关键是求出点的位置，运用对称从业变换法求某些几何图形中嘚线段的和的最小值时可釆用轴对称变换的方法将其中条线段变换进点评：本题分情况讨论当点不在梯形外而把两条线段合并成一条线段从而求出最值时和点在梯形之外两种情况求出与之间的函例武汉）如图，是正方形 数关系式并 求出相应的自变量的取值范围，在自变嘚边几上两个动点满足连接交 量的取值范围内就可以求出相应的最大值’再比较于点连接交于点若正方形的边 长为 得出结论则线段长度嘚最小值是几何模型例苏州）如图，在平面直角坐标系中的顶点在轴的正半轴上顶点的坐标为“分析：根据正方形的性质可得，点的唑标为了，点为斜边上乙膽乙乙，然后利用“边角的一个动点则的最小值为（）边”证明全等，根据全等三角形对、应角相等可得乙乙利用“边角边”证明和△全等，根据全等三角形对应角相等可得《数学之友》年第期乙乙从而得到乙乙 ，然后 求出乙細°，取的中点，连接好、，根据直角三角形分析：通过数形结合，当从小于到等 于斜边上的顿軒斜細半可得他，翻大于变化擁巾餓逐議±平 移线段长喥从大变小再从小变大，因此线段的长度利用勾股定理列式求出以 然后根据三角形的三边有最小值当且当直线经过原点时 线段 关系可知當、丑三点共线时，的长度最小的长度取最小值故选 解：在正方形中，例连云港小明在一次数学兴趣小组活动中对一个数学问题作如丅探究：问题情境：如图四边形仙中，点￡为抓边的中点连接并延长交的延长线 在厘和中’于点求证四边形删表示面积）乙在和中？图圖问题迁移：如图在已知锐角乙内有一个定点过点任意作一条直线―分别交射线°于点’：°小明将直线绕着点旋转的过程中发现，°°°嘚面积存在最小值请问当直线在什么取的中点，连接，位置时的面积最小 并说明理由则伽，解：问题情境仙抓在中，点￡为边的Φ点§在：和中，根据三角形的三边关系，好 厶，当、、三点共线时册的长度最小，纖脚，最小值二芯故答案为，点评：本题综匼运用了正方形的性质全等三角即边形形的判定与性质 直角三角形斜边上的中线等于斜问题迁移：求出当直线旋胃边的一半的性质三角形的三边关系，确定出最到点是如的中点时最小时点輯位置是解题关键也是本题的难点小，过点的另条直线丑交，于点，设 合情推悝型过点作交图于象思维最直接的层面是合情推理归纳 和类 自问题情境可以得出当是丽的中点 时 比是常用的合情推理，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理因此，我们不仅要学会证明也要学会猜想、四边形，厶 例江西）如图当点尸是歴的中点时、膽最小；點评：本题运用由特殊到一般的数学思想，根据 直线与双曲线随情境的结论合理得出：当直线旋转到点是交于两点则当线段的““”的中點时￥最小解答时建立数学模型是长度取最小值时，的值为（）关键

线段最值问题包括线段最短和线段差最大问题.线段最短问题是人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第十三章轴对称第四节课题学习的教学内容,该部分内容是围绕将军饮马问题的解决来揭示线段最短的相关知识.笔者在教学此部分内容后,发现这部分知识学生从小学就开始接触,知识的呈现比较零散,学生對这部分内容的理解不够深刻、具体,对实际问题的解决不能将知识内化.为此笔者总结了几种常见的类型,供大家参考.一、线段或线段和的最尛值1.平面上任意两点间的最短路径例1如图1,从A地到B地有四条路可供选择,走哪条路最近?你的理由是什么?此题为数学基础知识的运用,由题意,要求從点A到点B哪条路最近,就要尽量缩短两地的路程,根据线段公理,两点之间线段最短,即可求出答案.【点评】此题是一道基础题,考查的是线段的性質,理解两点之间线段最短是解答的关键.2.点到直线的最短距离例2如图2,小明从点A处出发到河边l去取水,试问小明在河边l的何处取水最近?图3PAl图2A... 

教学內容:苏教版数学二年级(上册)第59~60页教学目标:1.使学生经历从具体情境中抽象出线段的过程,认识线段的特征,了解线段是有长短的,会正确地画线段、数线段。2.通过观察、比较、操作等活动,培养学生抽象简单几何图形的能力,发展初步的空间观念3.使学生能够积极主动地参与到数学学習活动中,体会数学与生活的联系。教学重点:理解线段的特征教学难点:线段表象的建立。教学过程:一、谈话引入“线”今天,我们的课堂上來了一位特殊的客人,你认识他吗?(图图)图图是一个非常聪明的小男孩,图图想由一个谜语来开始今天的学习注意听:“一根根,一条条,编织衣物尐不了,有时直来有时弯,缝缝补补要用到。”在我们生活中还有各式各样的线,比如小朋友用到的跳绳,观察一下它是什么形状的?拔河用的麻绳,咜现在是什么形状的?这些生活中的线有些是直的,有些是弯的二、动手操作、认识线段1.感受“直”,初识线段请拿出图图给你准备好的棉线,照样子拿在手里,观察一下,... 

如图:AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以PA和PB为边作两个等边APC和△BPD.求:线段CD的最小值.櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒智慧窗《求线段的最小值》参考答案解　设P...  (本文共2页)

利用线段解答数学問题是教师要传授给学生的必须掌握的一项基本解题技巧。因为线段图可以将题中蕴涵的抽象的数量关系以形象、直观的方式表达出来,能囿效地促进问题的解决但也不是所有的学生喜欢用线段图来解决问题,如果教师一味强调要求所有学生必须用线段图来解决问题,很有可能對学生的问题解决能力以及数学思维能力的发展带来消极的影响,所以在数学中要根据学生的实际知识经验、思维发展水平恰到好处地运用線段图来进行应用题的教学。一、利用线段图解答应用题如:人教版四年级下册第81页练习19第8题一个物体从高空落下,经过4秒落地。已知第一秒下落的距离是4.9米,以后每一秒下落的距离都比前一秒多9.8米,这个物体在下落前距离地面多少米?同学们在以后每一秒下落的距离都比前一秒多9.8米,很难理解,而且这是一个想象中的概念,且无法动手操作的问题,又属于物理中的自由落体的知识,单凭教师口头讲述很难讲清楚虽然题目中畫了自由落体的一个下落图,标出了第一秒的距离,... 

应用题是小学教学的难点和重点,而小学生数学经验和生活常识匮乏,对抽象的数学问题理解難度较大,教师单纯地应用文字或者语言指导学生理解题目难以达到预期的教学目的,因此在小学教学中应用线段图方法具有很大的必要性和偅要性。一、结合学生的学习需求使其画线段图的兴趣和能力得到培养和提升线段图是进行问题解决的思维工具,为了使线段图的作用得到充分发挥,必须根据学生的学习需求有针对性有目的性地应用线段图学生的实际学习需求是教师教学生画线段图的主要动力和原因。通常凊况下,学生在遇到以下两种情况时会自觉自发地画线段图:学生通过运用抽象思维、形象思维和直觉思维进行数学计算所获得的结果无法得箌证实且学生本身对结果存在疑问时,期望通过应用线段图验证答案的正确性;学生找不到正确的计算方法获得正确答案,寄希望于线段图,希望能够在线段图的启发下获得突破教师在教学过程中必须密切关注学生的动态,观察其作业质量、神态、动作以及语言等并根据其状态进行汾析学生是否需要... 

线段图是指用一定的线段、文字、数字等符号描绘事物几何特征、形态、位置及大小的一种形式。通过对2002年初审通过的囚教版的义务教育课程标准实验教科书线段图的简单统计(以书上看到一题线段图为1次)后发现,三年上册出现2次,六年上册出现10次,较旧教材有了奣显的淡化而2013年教育部新审定的人教版教材线段图,三年上册出现7次,六年上册出现5次。线段图在教材中出现的次数由高年级偏多变为中年級偏多,这是有一定道理的,因为作为一种几何直观的手段,线段图在帮助学生解决问题时起到了很大的作用,能有效渗透“数形结合”思想,有利於培养学生数学核心素养线段图不但不能淡化,反而应该从低中年级就要开始培养。一、线段图的作用(一)线段图是解题思路的“灯塔”三姩级学生认识时、分、秒后,要进行单位换算如:3时=()分240秒=()分。而学习困难的学生对两类题的思路总是不清晰,结果线段图帮助他们理清了思路同样是本单元计算经过的时间的问题,学生并没有真正理...