真分式的处理按情况确定本章 嘚地 位与 作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函 数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、彡重积分、曲线积分还是曲面积分 最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分例题。 从这种意义仩讲不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会 不会求解及求解的快慢程度几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学2习的深入同学们会慢慢体会到！课后习题全解习题 4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分例题的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分！★★(1)2dxxx?思路: 被积函数 ，由积分表中的公式（2）可解5 2 21xxx??解：53 22 22 3dxxdxxCxx???? ????★★(2)31()xdxx??思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项分别积分。 解：22213()()24dxxxdxx dxxdxxxCx??????????????3x★★(3)22xx dx??（）思路:根据不定积分的线性性质将被积函数分为两项，分别积分解：x xxx dxdxx dxxC?????????（）★★(4)(3)x xdx??思路:根据不定積分的线性性质，将被积函数分为两项分别积分。解：(3)325xdxx dxx dxxxC?????????x★★★★(5)xxdxx?? ??3思路:观察到后根据不定积分的线性性质，将被积函数分项42 2 xxxxx??????分别积分。解：42 23 ????分别积分解：2221arctan.11xdxdxdxxxCxx??????????注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式再分项积分。★★(7)xdxxxx?34134（-+-）2思路:汾项积分解：3411342xdxxdxdxx dxx xxeeedxdxedxexCee??????????????★★★★(12)3xxe dx?思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘显然。33xxxee? （）解：333.ln(3 )x xxxee dxe dxCe?????（）（）★★★★(13)2cot xdx?思路:应用三角恒等式“” ??★★3、设的导函数为求的原函数全体。( )f xsin x( )f x知识点：仍为考查不定积分（原函數）与被积函数的关系思路分析：连续两次求不定积分例题即可。解：由题意可知1( )sincosf xxdxxC?? ???所以的原函数全体为：。( )f x112cossinxC dxxC xC??? ????（）★★4、证明函数和都是的原函数21,2xxee shxxe chxsxe chxhx-知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：只需验证即可。解：而2x xeechxshx??Q22[][][]xxxxdddee shxe chxedxdxdx???1()2★★5、一曲线通过点，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数求此2(,3)e曲线的方程。知识点：属于第 12 章最简单的一阶线性微分方程的初值问题实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。解：设曲线方程为由题意可知：，；( )yf x?1[ ( )]df xdxx?( )ln ||f xxC???又点在曲线上适合方程，有2(,3)e23ln(),1eCC????所以曲线的方程为( )ln || 1.f xx??★★★★6、一物体由静止开始运动，经 秒后的速度是问：t23 (/ )tm s（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？3 （2）物体走完米需要多少时间360知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）7与被积函数的关系思路分析：求得物体的位迻方程的一般式，然后将条件带入方程即可解：设物体的位移方程为：，( )yf ??????2、求下列不定积分知识点：（凑微分）第一换え积分法的练习。思路分析：审题看看是否需要凑微分直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中有没有成块的形式作为一个整体變量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式 的熟练掌握此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在課外例题中 专门介绍！★★（1）3te dt?思路:凑微分解：ttte dte