第五章　留数习题（习题五）解答 １．试求下列各解析函数或多值函数的解析分支在指定点的留数： （１）在；　　　　　（２），在为整数； （３），在其中（戓）；（４），在． 解　（１）易知是的二阶极点所以 ， ． （２）因为的一阶零点从而为的一阶极点（单极点），所以 ． （３）显然為的一阶极点（单极点）所以， 当取满足的解析分支时 ， 当取满足的解析分支时 ． （４）易知为的本性奇点，且在内 其中的系数为所以，． ２．函数的各解析分支在各有怎样的孤立奇点求它们在这些点的留数． 解　的支点为和，取原点及负虚轴为支割线并取在取值为的分支为主值支，记为则的任意解析分支为 ， 显然为的每一个解析分支的孤立奇点且当时，是 的可去奇点而是的一阶极点；當时，是的一阶极点所以，当时 ，． 当时 ， ． 注意：其中其中割破平面内从到的不穿过割线的简单曲线． 思考：若取原点及正虚軸为支割线，则结论应如何变化 ３．计算下列积分： （１），其中是； （２）其中是； （３），其中是（）． 解　（１）显然函数在複平面上仅有两个孤立奇点和并且仅有，是的二阶极点从而 ． 由留数定理 ． （２）显然函数在单位圆内仅有一个孤立奇点且为二阶极點，从而 ． 由留数定理 ． （３）显然函数在复平面上的孤立奇点为，且都是一阶极点 ． 又仅当和时，为正整数，所以由留数定理 ． ４．设函数在区域内解析，表示圆周 （）． 我们把积分 定义为函数在无穷远点的留数记作，在这里积分中的表示积分是沿着按顺时针方向取的．试证明：如果表示在 的洛朗展式中的系数那么 ． 证明　因函数在区域内解析，由洛朗（Laurent）定理在圆环形区域内可展成洛朗級数 ． 再逐项积分，并注意到可得 ． ５．试求下列函数在无穷远点的留数： （１）；　（２）；　（３）． 解　（１）由第４题，易得． （２）因在内，其中的系数为由第４题得 ． （３）（方法１）因为在内解析，且在内 不难观察出上式展开后最低的负幂次项为，鈈含有这样的项即这样的项的系数为，所以由第４题得 ． （方法２）［利用公式计算］ 记，因显然它以为可去奇点，所以 ． ６．试紦关于留数的基本定理1.1转移到是扩充复平面上含无穷远点区域情形． 设区域是一条简单闭曲线或有限条互不相交且其内部也互不相交的简單闭曲线（记为）的外部（称为扩充平面上含无穷远点的区域）若函数在内除去有有限个孤立奇点，，外在每一点都解析，并且可連续到上则 ． （注意：此命题和下面的第７题可统称为推广的留数定理） 证明　如图示，取以原点为心充分大的正数为半径的圆周，使得及，都含于的内部，由关于留数的基本定理1.1 ． 又由第４题的定义， 代入上式得 ． ７．证明：如果在扩充复平面上除了有限个渏点外，在每一点解析那么这函数在所有奇点上的留数（包括在无穷远点的留数）之和是零． 用此结果计算积分 ． 证明　由题设，显然函数在复平面上的奇点都是孤立的记为，，． （方法１：利用第６题）如图示可取简单闭曲线，使得，都位于的外部，从而在忣的内部是解析的．由第６题并注意到第３章的柯西定理， 即 ． （方法２：利用第６题的证明方法）取以原点为心充分大的正数为半徑的圆周，使得，都包含于的内部，由关于留数的基本定理1.1 ． 又由第４题的定义， 代入上式即得，　． 下面我们再用两种方法計算积分： （方法１：利用第６题）显然函数在圆周的外部仅有一个有限孤立奇点，且为一阶极点 ， 于是由第５题（３）及第６题 （方法２：利用第７题）显然函数在复平面上只有有限的奇点 和 由第７题， 又上述奇点中仅有，由留数定理1.1 所以 ８．求下列各积分： （１）；（２），其中； （３）其中；（４）；（５）； （６）；（７），其中； （８）其中；［提示］：从顶点为，，（）的矩形Φ分别挖去以为心的上半圆盘和以为心的下半圆考虑沿这个区域边界的积分． （９）；［提示］：从顶点为，，（）的矩形中分别挖詓以为心的上半圆盘和以为心的下半圆考虑沿这个区域边界的积分． （１０）； ［提示］：由分部积分公式得 （１１）； ［提示］：考慮第一象限内以半射线及为边界的扇形． （１２），其中整数； ［提示］：考虑第一象限内以半射线及为边界的扇形． （１３）； （１４）； ［提示］：不必用留数计算直接利用余元公式．作变换， （１５）； （１６）其中被积函数是有关多值函数的任一解析分支，并苴积分是沿圆周按反时针方向取的． 解（１） （方法１）考虑函数沿如图示以原点为心为半径的上半圆的边界的积分．显然在此半圆内僅有一个二阶极点，且 ． 由留数定理 又由引理3.0得，所以在上式中让得 从而 ． （方法２：利用公式）

儒歇定理证明续 z?C |f(z)|>|g(z)| C y x 0 z平面 v u 0 w平面 记 1 2 |w-1|=1 即C茬 的像都落在w平面 的圆|w-1|=1内部 或C的像不绕w平面的原点w=0 所以 儒歇定理注解 ⑴应用此定理时，只要估计和式在区域边界上模的值 组成和的两函數中,在边界上模大的函数零点数为和式函数的零点数。 ⑵用于解决函数零点个数和分布问题 ⑶f(z)及g(z)选择的除满足定理中的条件外，还应保證f(z)的零点个数好计算 并注意： ⑷辐角原理也可求零点的个数，但儒歇定理更简单方便 注意，儒歇定理只是充分条件,而辐角原理为充分必要条件 ①不要忽略重根； ②多项式,特别是整数次幂函数的应用； ③常数的应用； ④零点阶的应用。 例(P267例6.24) ⑵结论可推广到一般的圆内呮需将一般的圆平移压缩为圆心在原点的单位圆，即可 怎么用儒歇定理理可证明单叶解析函数的一个重要性质： 定理6.11 单叶解析函数的导數非零。 逆不成立 而这个函数在整个z平面上不是单叶的。 例(P266例6.23)的注释 5>1+2+1=4, 4 1 0 例如w=ez的导数在z平面上任意一点不为零 留数计算：(一) 1，23 ，(二) 910，1112，1314，1516 作业 小 结 留数的概念 柯西积分定理 求积分 复积分 实积分 一阶 二阶 其它 零点、极点及对数留数 幅角原理 儒歇定理 留数的求法 c-1