1-1求下列两个求下列微分方程的解公共解

解 两方程的公共解满足条件

代入检验可知y =-不符合，所以两方程的公共解为y =x 2 2

评注：此题是求解方程满足一定条件的解，即求两个求下列微分方程的解公共解在求解时由于令其导数相等，很容易产生增解因而要对所求结果回代原方程进行检验，舍去增解 1-2 求微分方程y '+x y '-y =0的直线积分曲线。

因而所求直线积分曲线为y =0或y =x +1

评注：此题是求解方程的部分解，采用的是待定系数法待定系数法是求解常微分方程常用的方法之一，有待定常数法和待定函数法本题首先设出满足题设条件的含有待定常数

的解，然后代入原方程来确定待定常数解決此类问题的关键在于正确地设出解的形式。

1-3 微分方程4x 2y '2-y 2=xy 3证明其积分曲线是关于坐标原点成中心对称的曲线。 证 设y =?(x ) 满足微分方程只须證明y =-?(-x ) 也满足方程即可。

作变换t =-x 则证明y =-?(t ) 满足方程即可，代入方程两端并利用y =?(x ) 满足此方程，得

评注：为了验证y =-?(-x ) 也满足方程利用積分曲线的性质，进行变量代换t =-x 将y =-?(-x ) 变换成y =-?(t ) 后，问题就很容易解决了

1-4 物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成正比，如果物體在20分钟内由100℃冷却至60℃那么，在多长时间内这个物体由100℃冷却至30℃？假设空气的温度为20℃

解 设物体在空气中时刻t 的温度为T =T (t ) 则依牛頓冷却定理得

可使物体由100℃冷却至30℃。

评注：这是来自于物理学领域的问题注意运用基本定律和定理来建立微分方程模型。 1-5 求一曲线族使它的切线介于坐标轴间的部分被切点分成相等的两部分。

dy 另一方面曲线在P 点的切线的斜率为，得 dx

因此方程的通解为xy =C ，即所求的曲線族为：xy =C (C ≠0)

解法2 设所求的曲线为y =y (x ) ，过曲线上任一点(x , y ) 的切线方程为

1-6 求一曲线所满足的微分方程过该曲线上任何一点的切线与两坐标轴所圍成的三角形的面积等于常数a 。 2

与两坐标轴的截距分别为

由三角形的面积公式可得

这就是所求曲线满足的微分方程

1-7 求一曲线所满足的微汾方程，使该曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为零 解 设曲线为y =f (x ) ，过其上点(x , y ) 切线斜率为

的夹角为零所以dy y ，向径的斜率为由于二鍺dx x dy y =，即所求曲线满足的微分方程为 x y '-y =0 dx x

评注：以上三题的求解方法类似于例1-3，这是考研中常见的题型