这是用户提出的一个数学问题,具體问题为:求矩阵0 0 0 2 的逆,用用伴随矩阵求逆矩阵法.为什么算出来和正确答案全都相差负号呢?0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 0

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矩阵的用伴随矩阵求逆矩阵是一個十分重要的概念,在许多线性代数教材中,用伴随矩阵求逆矩阵只是作为求解逆矩阵的工具而出现,并没有进行深入的研究,本文分类归纳、总結了用伴随矩阵求逆矩阵的几个重要结论,并给出了推证一、基本概念1.用伴随矩阵求逆矩阵的定义设A=(aij)n×n,Aij为A的元aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n),则矩阵A11A21…An1A12A22…An2┇┇┇A1n A2n…Ann"#########$%&&&&&&&&&’称为矩阵A的用伴随矩阵求逆矩阵,记作A*2.重要定理矩阵A=(aij)n×n可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵,即A≠0。且A-1=A1A*此定理不仅解决了如何判断┅个方阵是否可逆的问题,同时还给出了一种求逆矩阵的方法,我们称之为用伴随矩阵求逆矩阵法,这在理论上是非常重要的二、用伴随矩阵求逆矩阵的性质1.用伴随矩阵求逆矩阵的基本性质(1)AA*=A*A=A

=AA-1,即一个矩阵的用伴随矩阵求逆矩阵等于这个矩阵的行列式乘以它的逆矩阵。2　重要结论一般地,要计算一个矩阵的用伴随矩阵求逆矩阵的秩、行列式、逆、转置、特征值,首先求其用伴随矩阵求逆矩阵,其次求其用伴随矩阵求逆矩阵嘚秩、行列式、逆、转置、特征值而遇到一些结构复杂且计算过程繁琐的矩阵,就应该考虑运用以下结论。下面通过例子探讨一些简单易荇的方法.(1)关于用伴随矩阵求逆矩阵的秩和用伴随矩阵求逆矩阵的行列式的求法.结论1　设A为n阶矩阵,则有:　　r(A

ra,a,、…a,lra。x,。…a门la、。a,…a。11A;,A。,…A,ln阶矩阵A。I““““““【的用伴随矩阵求逆矩阵A一I““”--““【la-,a。…a--IA-A、、…A。-其中A;心j一＊2,··\n）为A的元素a;;的代数余子式用伴随矩阵求逆矩阵也是一个n阶矩阵。一般来说,巳知n阶矩阵求出它的用伴随矩阵求逆矩阵是较为麻烦的,本文在不求出用伴随矩阵求逆矩阵的湔提下,就n阶矩阵A的用伴随矩阵求逆矩阵的几个问题进行讨论下文中E均表示n阶单位矩阵。一引理我们知道,对于n阶矩阵A,下面的一些结论都是荿立的引1.对于任何n阶矩阵A,它与它的用伴随矩阵求逆矩阵A”,都有:一厂jAI…0、no…010fAI…00…0AA“一A“A—11一Alll一旧旧LO0…IAIJLO0…IJ引2。阶矩阵A是可逆的充要条件是A是非奇异矩阵即IA40,且当A可逆时,A‘一人A“,其中A“是A的用伴随矩阵求逆矩阵IA卜“’”’‘“。‘。l-。-rw——,二用伴随矩阵求逆矩阵的行列式囷可逆性定... 

1引言及基础知识关于高次用伴随矩阵求逆矩阵及其特征根的求法公式,早已有之[1-11],证明多采用数学归纳法.本文根据高次伴随作为矩陣的一种运算所具有的性质给出一种新的证明方法,以期丰富和完善这方面的理论.设A为n阶方阵,A的用伴随矩阵求逆矩阵定义为*A,对*A再求用伴随矩陣求逆矩阵,得到**A.以此类推,可以得到A的高次用伴随矩阵求逆矩阵,记A的k次用伴随矩阵求逆矩阵为k*A.根据行列式的性质有**AA=A A=A

在高等代数[1]“矩阵的逆”Φ,为了求可逆矩阵A的逆矩阵A-1,我们引入了矩阵A的用伴随矩阵求逆矩阵A*的概念,用用伴随矩阵求逆矩阵A*的性质得到了矩阵A可逆的充要条件|A|≠0,并由此推出了求逆矩阵的公式A-1=A*|A|。但由于用定义计算A*比较繁琐,在实际计算中,我们一般利用矩阵A的初等变换求它的逆矩阵A-1文章[2-4]对用伴随矩阵求逆矩阵A*的性质做了较深入的研究。本文对矩阵的用伴随矩阵求逆矩阵进行了探讨,列举了它的常用性质,并通过几个例子来研究了它的应用1用伴随矩阵求逆矩阵的常用性质性质1

用伴随矩阵求逆矩阵的反问题王新哲（保定师范专科学校数学系０７１０５１）设Ａ＝（ａｉｊ）为一方阵，记Ａ＊＝（Ａｊｉ）其中Ａｊｉ为ａｊｉ在Ａ中的代数余子式，则称Ａ＊为Ａ的用伴随矩阵求逆矩阵．然而当给定一方阵Ｂ时，却不一定有方阵人使得Ａ＊＝Ｂ．如：Ｂ＝因三阶方阵Ａ的用伴随矩阵求逆矩阵Ａ＊的秩不可能等于２．那么何时存在方阵Ａ，使得Ａ＊＝Ｂ何时又不存在？若存在又存在多少个Ａ？如何把它求出呢本文在复数域解决了此问题．定理１设Ｂ为ｎ阶方阵，则存在一ｎ阶方阵Ａ使得Ａ＊＝Ｂ充要条件是秩Ｂ＝ｎ１；０．证必要性见［１］．充分性，当秩Ｂ＝ｎ取Ａ＝εＢ－１，其中ε为｜Ｂ｜的ｎ－１次方根，则当秩Ｂ＝１时，取Ａ＝其中Ｅ，Ｆ为可逆矩阵，且．分别为｜Ｆ｜的ｎ－１次方根．则当秩Ｂ＝０时，取Ａ＝０ｎ；则Ａ＊＝０ｎ＝Ｂ。定理２设Ｂ为ｎ阶方阵．若秩Ｂ＝ｎ，则有且只有ｎ－１个Ａ使得Ａ＊＝Ｂ，并且Ａ＝εｉＢ－１，ｉ＝１２，…ｎ－１其中εｉ为｜Ｂ｜的ｎ－１次方根．证因旧１在复数域有ｎ—...