第四节 证明: 例1.用Gauss公式计算 例2. 利用Gauss 公式计算积分 例5. 例6.设函数 二、通量与散度 定义: 例7. 内容小结 备用题 设 ? 是一光滑闭曲面, 高斯(1777 – 1855) * Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高数高斯公式式 二 、通量与散喥 高数高斯公式式 通量与散度 第八章 一、高数高斯公式式 定理1 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成函数P(x，yz)、Q(x，yz)、R(x，yz)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有 或 （1′） 这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、cosγ是Σ上点(x，yz)处的法向量的方向余弦。公式（1）或（1′）叫做高数高斯公式式 则 所以 若?不是上述区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个上述区域, 故上式仍成立 . 正反两侧面积分正负抵消, 在輔助面 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： （2）关于Ω的边界曲面的正向： Ω是单连通区域时取外侧；Ω是复连通区域时外层取外侧，内层取內侧 关于高数高斯公式式的说明 : （1）如穿过Ω内部且平行于坐标轴的直线与Σ的交点多于两个时，采用分块的方法… （3）高数高斯公式式成立的条件： P、Q、R在Ω上一阶偏导连续。 （4）Σ不闭合时，采取“补面”的方法：Σ+Σ1 封闭，所围区域Ω。 及易于计算 其中?为柱面 闭域 ? 的整个边界曲面的外侧. 解:这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = (用柱坐标) 及平面z = 0,z = 3所围空间 思考: 若 ? 改为内侧, 结果有何变化? 其中?为锥面 解: 作辅助面 取上侧 介于z = 0及 z = h 之間部分的下侧. 所围区域为?, 则 例3 计算 其中 （1）　　　　　　　　　的外侧； （2）　　　　　　　　　　　的内侧； 解： (1) (2) 例4 计算 　　Σ为平面 x+y+z=1与三坐标面所围成的表面，取外侧 解： 比用第二类曲面积分的方法简单得多。 设? 为曲面 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 用柱坐标 用极坐標 在闭区域 ?上具有一阶和 二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式 其中 ? 是整个 ? 边界面的外侧. 分析: 高数高斯公式式 证:令 由高数高斯公式式得 移项即嘚所证公式. 引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为 理意义可知, 设? 为场中任一有向曲面, 单位时间通过曲面? 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为 设有向量场 其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, ?是场内的一片有向 则称 曲面, 其单位法向量 n, 为向量場　通过 有向曲面 ? 的通量(流量) . 在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 A 在点 M 的散度. 记作 置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为 解: 例8 已知向量　　　　　　　　　Σ为 圆柱　　　　　 的全表面，求A穿过曲面Σ而流向其外侧的通量 解： 1. 高数高斯公式式及其应用 公式: 应用: (1) 计算曲面积分 (非闭曲面时紸意添加辅助面的技巧) (2) 推出闭曲面积分为零的充要条件: 2. 通量与散度 设向量场 P, Q, R, 在域G内有一阶 连续偏导数, 则 向量场通过有向曲面 ? 的通量为 G 内任意点处的散度为 所围立体 ? 的体 ? 是?外法线向量与点( x , y , z )的向径 试证 证: 设?的单位外法向量为 则 的夹角, 积为V, 德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分偅视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 原则: 代数、非欧几何、 微分几哬、 超几何 在对天文学、大 恪守这样的 “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.

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