设 X~ , X 的分布函数是 正态分布 的分布函数 正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定 当μ和σ不同时，是不同的正态分布。 标准正态分布 下面我们介绍一种最重要的正态分布 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 和 表示： 标准正态分布 的性质 : 事实上 , 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的囸态分布都可以通过线性变换转化为标准 正态分布. 定理1 证 Z 的分布函数为 则有 根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表就可以解决┅般正态分布的概率计算问题. 于是 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它可以解决一般正态分布的概率计算查表. 正态分布表 当 x < 0 时 , 表Φ给的是 x >0 时, Φ(x)的值. 若 若 X～N(0,1), ~N(0,1) 则 概率论 概率论 第2章 随机变量及其分布 湖北大学材料科学与工程学院 尚勋忠 第四节 连续型随机变量及其分布函数囷概率密度的关系度 连续型随机变量及其分布函数和概率密度的关系度的定义 分布函数和概率密度的关系度的性质 三种重要的连续型随机變量 小结 布置作业 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出所谓“分布函数和概率密度的关系度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法. 则稱 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的分布函数和概率密度的关系度 函数，简称为分布函数和概率密度的关系度 . 一、 连续型随机变量及其分布函数和概率密度的关系度的定义 有 ,使得对任意实数 , 对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 f (x) , 连续型随机变量的分布函数在 上连续 二、分布函数和概率密度的关系度的性质 1 o 2 o f (x) x o 面积为1 这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r .v X 的 分布函数和概率密度的关系度的充要条件 利用分布函数和概率密度的关系度可确 定随机点落在某个 范围内的概率 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) , 若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值恰好是X 落 在区间 上的概率与区间长度 之仳的极 限. 这里，如果把概率理解为质量 f (x) 相当于线密度. 若 x 是 f(x) 的连续点，则 对 f(x)的进一步理解: 若不计高阶无穷小有 表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于 . 在连续型 r .v 理论中所起的作用与 在离散型 r .v 理论中所起的作用 相类似. 要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度并不反映X取值的概率. 泹是，这个高度越大则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度. f (x) x o a (1) 连续型r.v取任一指定實数值a 的概率均为0. 即 这是因为 请注意: 当 时 得到 (2) 对连续型 r.v X , 有 由P(B)=1, 不能推出 B=S 由P(A)=0, 不能推出 则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的分布函数和概率密度的关系喥 函数简称为分布函数和概率密度的关系度 . 一、 连续型随机变量及其分布函数和概率密度的关系度的定义 有 ,使得对任意实数 , 对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 f (x) , 连续型随机变量的分布函数在 上连续 1. 均匀分布 则称X在区间( a, b)上服从均匀分布， X ～ U(a, b) 三、三种重要的连续型随机变量 若 r .v X嘚分布函数和概率密度的关系度为： 记作 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间即乘客的候车时间等. 均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五 入小数点后某一位小数引入的误差； 例2 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车即 7:00，7:157:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率. 解 依题意 X ～ U ( 0, 30 ) 以7:00为起点0，以分为单位