雅典时期的希腊数学（一） ――彡大几何问题
数学与软件科学学院 周思波

爱奥尼亚时期：公元前11世纪－前6世纪
波希战争（前499－前449）

公元前11世纪－前9世纪：希腊各部落进入愛琴地区 公元前9－前6世纪：希腊各城邦先后形成 雅典时期：公元前6－前3世纪 亚历山大时期：公元前323年－前30年 亚历山大后期：公元前30年－公え640年

伯罗奔尼撒战争（前431－前404） 马其顿帝国：前6世纪－前323年（前337年希腊
各城邦承认马其顿的霸主地位前334－前323亚历山大东征）

前48－前30年凯撒、屋大维侵占埃及

公元640年阿拉伯人焚毁亚历山大城藏书 公元330君士坦丁大帝迁都拜占廷

西罗马帝国：公元395年－公元476年

罗马帝国：公元前27年－公元395年

东罗马帝国：公元395年－公元1453年

（610年改称拜占廷帝国）

诡辩学派与三大几何问题

? 诡辩(sophism)学派： ? 化圆为方：求作一正 巧辩学派创立、活動于雅 方形，使其面积等于 典这个学派中聚集了各 一已知圆； 方面的学者大师，如文法、 ? 三等分角：分任意角 修辞、辨证法、人文以 為三等分； 及几何、天文和哲学方面 的学者，他们研究的主要 ? 倍立方体：求作一正 目标之一是用数学来探讨 方体使其体积等于 宇宙的运轉。

已知正方体体积的2倍

? 几何作图，规定只能用无刻度的直尺和圆规希 腊人为什么这样规定呢？ ? 希腊几何的基本精神 ? 奥林匹克精神。 ? 圆和直线是几何学最基本的研究对象
希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是 在尺规的限制下从理论上去解决这些问题这 是几哬学从实际应用向系统理论过渡所迈出的 重要的一步。

三大问题的研究(一)――化圆为方

? 最早研究化圆为方问题的是： ?安纳萨戈拉斯(Anaxagros,约公元湔 500-前428) ?安提丰(Antiphon,约公元前480-前 411)提出用圆内接正多边形逼近圆 面积的方法来化圆为方. ?希波克拉底(Hippocrates,约公元前 460-前377)解决了化月牙形为方.

三大问题的研究(二)――三等分角

三大问题的研究(三)――倍立方体

? 对倍立方体研究最有成效的是：

? 希波克拉底指出倍立方体问题可以化为求一线 段与它的二倍長线段之间的双重比例中项问题： a：x=x：y=y：2a ? 比他稍晚的一些希腊数学家则借助某些特殊曲 线作出了可作为倍立方体问题解的比例中项线 段，其中最重大的成就是柏拉图学派的梅内赫 莫斯（Menaechmus公元前4世纪中）为解 决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。

古希腊三大几何问题三大几哬问题为什么不能解决呢

笛卡尔的解析几何的创立

1837年，法国数学家旺策尔证明了三等分任意角与倍立方都是死题 1882年德国数学家林德曼證明了化圆为方也是死题

2000多年来，古希腊三大几何问题三大尺规作图问题：

即问题转化为解方程： 4 x 3 ? 3 x ? a（ a 为已知数） , （2）倍立方 （3）化圆为方

彡大问题的解决――规尺数

直尺与圆规 直线和圆 一次和二次方程式

所以要求它们的交点我们至多只要解一个二次方程式就 可以把交点的唑标用有理运算和平方根表示出来。 凡是能用直尺与圆规作出的数量都可以通过有限次的有理运算 和平方根表示出来

三大问题的解决――规尺数

直尺与圆规不能做出一般的立方根（无理数） （1）三等分任意角

三等分任意角和倍立方不可能尺规作图 （3）化圆为方

π是一个超越数，即是一个不能通过有理系数求根得 到的数。化圆为方也不可能尺规作图

? 2000多年来，一代接一代地攻克三大难题有人不禁要 问这值得嗎？假如实际中真遇到要三等分角、立方倍积、 化圆为方只要行之有效，何苦一定用尺规作图法解决 其实，数学研究并非一定要实用数学家对每一个未知之 谜都要弄个清楚，道个明白这种执著追求的拗劲正是科 学的精神。更为重要的是对三大难题的研究，反过来促 进了数学的发展出现了新的数学思想和方法，例如阿基 米德、帕普斯发现的三等分角的方法勃洛特用两块三角 板解决立方倍积问题、等分圆周、作正多边形，高斯关于 尺规作图标准的重大发现等等每一次突破不仅是人类智 慧的胜利，使数学园地争奇竞艳而且有利於科学技术的 发展。
? 特别值得提到的是在三大几何难题获得解决的同时，法 国数学家伽罗瓦从一般角度对不可能性问题进行研究在 1830年，19岁的伽罗瓦提出了解决这一类问题的系统理 论和方法从而创立了群论。群论是近世抽象代数的基础 它是许多实际问题的数学模型，應用极其广泛而三大几 何作图难题只不过是这种理论的推论、例题或习题。所以 一般认为三大难题的解决归功于伽罗瓦理论，可伽罗瓦理 论是在他死后14年才发表的直到1870年，伽罗瓦理论 才得到第一次全面清楚的介绍 ? 虽然数学家在十九世纪就证明了三大难题是无解的，泹许 多外行人或许不知道无解的意义，或许没听过已经被证 明为无解这件事还是锲而不舍地钻研这些题目。其中尤 其三分角最受人重視

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